湖南省五市十校2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 20页

www.ks5u.com 湖南省五市十校2019年上学期高一年级期末考试试题 数学（B卷）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据并集的概念和运算，求得两个集合的并集.‎ ‎【详解】两个集合的并集是由两个集合所有的元素组合而成，故.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两个集合并集的概念和运算，考查集合元素的互异性，属于基础题.‎ ‎2.下列条件：①；②；③；其中一定能推出成立的有（ ）‎ A. 0个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值证得①②不一定能推出，利用平方差公式证得③能推出.‎ ‎【详解】对于①，若，而，故①不一定能推出；‎ 对于②，若，而，故②不一定能推出；‎ 对于③，由于，所以，故，也即.故③一定能推出.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查实数大小比较，属于基础题.‎ ‎3.已知等比数列的前项和为，，，则（ ）‎ A. 31 B. 15 C. 8 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得.‎ ‎【详解】由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎4.若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. －3 B. 1 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线到的位置，此时目标函数取得最大值为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎5.已知向量，，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角.‎ ‎【详解】设两个向量的夹角为，则，故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题.‎ ‎6.已知为等差数列的前项和，，，则（ ）‎ A. 2019 B. 1010 C. 2018 D. 1011‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本元的思想，将已知条件转化为和的形式，列方程组，解方程组求得，进而求得的值.‎ ‎【详解】由于数列是等差数列，故，解得，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.‎ ‎7.函数在上的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】由于，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C选项.由于，所以排除D选项.由于，所以排除B选项.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.‎ ‎8.如图，某人在点处测得某塔在南偏西的方向上，塔顶仰角为，此人沿正南方向前进30米到达处，测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ）‎ A. 20米 B. 15米 C. 12米 D. 10米 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设塔底为，塔高为，根据已知条件求得以及角，利用余弦定理列方程，解方程求得塔高的值.‎ ‎【详解】设塔底为，塔高为，故，由于，所以在三角形中，由余弦定理得，解得米.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎9.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】由得，即恒成立，由于时，在上不恒成立，故，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数函数的性质，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题.‎ ‎10.已知关于的不等式的解集为，则的值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 7 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】由得，依题意上述不等式的解集为，故，解得（舍去），故.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查类似：已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于基础题.‎ ‎11.将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则在区间上的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先按照图像变换的知识求得的解析式，然后根据三角函数求最值的方法，求得在上的最小值.‎ ‎【详解】图像上所有的点向左平移个单位长度得到，把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到，由得，故在区间上的最小值为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数值域的求法，属于基础题.‎ ‎12.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和对称性，判断出函数的周期，由此画出的图像.由 化简得，画出的图像，由与图像的交点以及对称性，求得函数在区间上所有零点之和.‎ ‎【详解】由于，故是函数的对称轴，由于为奇函数，故函数是周期为的周期函数，当时，，由此画出的图像如下图所示.令，注意到，故上述方程可化为，画出的图像，由图可知与图像都关于点对称，它们两个函数图像的个交点也关于点对称，所以函数在区间上所有零点之和为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性以及周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空.‎ ‎13.已知直线过点，，则直线的倾斜角为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两点求斜率公式求得直线的斜率，然后求得直线的倾斜角.‎ ‎【详解】依题意，故直线的倾斜角为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两点求直线斜率的公式，考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.‎ ‎14.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角.‎ ‎【详解】连接，根据三角形中位线得到，所以是异面直线与所成角.在三角形中，,所以三角形是等边三角形，故.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎15.如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点建立平面直角坐标系，利用计算出两点的坐标，设出点坐标，由此计算出的表达式，，进而求得最值.‎ ‎【详解】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则①，由得②，由①②解得，故.设，则，当时取得最小值为.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积的坐标表示以及数量积求最值，考查二次函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎16.若正实数，满足，则的最小值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将配凑成，由此化简的表达式，并利用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】由得，所以.当且仅当，即时等号成立.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若点的横坐标为，求的值.‎ ‎【答案】(1)-1；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用表示出，然后利用诱导公式化简所求表达式，求得表达式的值.（2）根据点的横坐标即的值，求得的值，根据诱导公式求得的值，由此利用两角和与差的正弦公式，化简求得的值.‎ ‎【详解】解：（1）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）由已知点的横坐标为 ‎∴，，‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查利用诱导公式化简求值，考查两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎18.如图，三棱锥中，，、、、分别是、、、中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：四边形是菱形 ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等腰三角形的性质，证得,由此证得平面.（2）先根据三角形中位线和平行公理，证得四边形为平行四边形，再根据已知,证得，由此证得四边形是菱形.‎ ‎【详解】解（1）因为，是的中点，所以 因为，是的中点，所以 又，平面，平面 所以平面 ‎（2）因为、分别是、的中点 所以且 同理且 所以且，即四边形为平行四边形 又，所以 所以四边形是菱形.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查证明四边形是菱形的方法，考查等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19.已知，，分别为内角，，的对边，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求边上的高.‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知条件，利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得，进而求得的大小.（2）利用正弦定理求得，进而求得的大小，由此求得的值，根据求得边上的高.‎ ‎【详解】解：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即：，‎ ‎∴‎ ‎（2）由正弦定理：，∴‎ ‎∵∴∴‎ ‎∴‎ 设边上的高为，则有 ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查特殊角的三角函数值，属于中档题.‎ ‎20.已知数列满足，.‎ ‎（1）证明：数列为等差数列；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将已知条件凑配成，由此证得数列为等差数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，进而求得的表达式，利用分组求和法求得.‎ ‎【详解】（1）证明：∵‎ ‎∴‎ 又∵∴‎ 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；‎ ‎（2）由（1）知，，所以 所以 ‎【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题.‎ ‎21.已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）设是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.‎ ‎【答案】(1) 圆：. (2)证明见解析；，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出圆心坐标，利用点到直线距离公式以及圆弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆的方程.（2）设出点坐标，根据过圆的切线的几何性质，得到过，，三点的圆是以为直径的圆.设出圆上任意一点的坐标，利用，结合向量数量积的坐标运算进行化简，得到该圆对应的方程，根据方程过的定点与无关列方程组，解方程组求得该圆所过定点.‎ 详解】解：（1）设圆心，‎ 则圆心到直线的距离.‎ 因为圆被直线截得的弦长为 ‎∴.‎ 解得或（舍），∴圆：.‎ ‎（2）已知，设，‎ ‎∵为切线，∴，∴过，，三点的圆是以为直径的圆.‎ 设圆上任一点为，则.‎ ‎∵，，∴‎ 即.‎ 若过定点，即定点与无关 令 解得或，所以定点为，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查圆的弦长有关计算，考查曲线过定点问题的求解策略，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.‎ ‎22.对于定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数，”生成的.‎ ‎（1）若函数是“基函数，”生成的，求实数的值；‎ ‎（2）试利用“基函数，”生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为.求函数的解析式.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据基函数的定义列方程，比较系数后求得的值.（2）设出的表达式，利用为偶函数，结合偶函数的定义列方程，化简求得，由此化简的表达式，构造函数，利用定义法证得在上的单调性，由此求得的最小值，也即的最小值，从而求得的最小值，结合题目所给条件，求出的值，即求得的解析式.‎ ‎【详解】解：（1）由已知得，‎ 即，‎ 得，所以.‎ ‎（2）设，则.‎ 由，得，‎ 整理得，即，‎ 即对任意恒成立，所以.‎ 所以 ‎.‎ 设，，令，则，‎ 任取，且 则，‎ 因为，且 所以，，，故 即，所以在单调递增，‎ 所以，且当时取到“”.‎ 所以，‎ 又在区间的最小值为，‎ 所以，且，此时，‎ 所以 ‎【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查函数的单调性、奇偶性的运用，考查利用定义法证明函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查函数与方程的思想，综合性较强，属于中档题.‎ ‎ ‎