河北省邢台市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 17页

‎2019~2020学年高二年级（下）期中考试 数学 一、选择题 ‎1.若复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得，利用复数除法运算法则，即可求解.‎ ‎【详解】复数满足，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.‎ ‎2.已知随机变量的分布列如下，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分布列概率之和为1，建立方程求解.‎ ‎【详解】由题意可得，则 故选：D ‎【点睛】‎ 此题考查根据分布列性质求解参数的值，关键在于熟练掌握分布列性质，概率之和为1.‎ ‎3.的展开式中项的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式的通项，即可求解.‎ ‎【详解】的展开式中项为，‎ 所以展开式中项的系数为40.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记通项即可，属于基础题.‎ ‎4.已知函数，为的导数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数导数的运算法则，先求出，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算，熟记初等基本函数的导数和求导法则是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5.某同学在书店发现4本各不相同的辅导书，决定至少购买其中2本，则不同的购买方案有（ ）‎ A. 8种 B. 10种 C. 11种 D. 12种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算购买2本，3本，4本辅导书的方案总数即可得解.‎ ‎【详解】购买2本辅导书有种方案，购买3本辅导书有种方案，购买4本辅导书有种方案，‎ 故总的购买方案有种.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查计数原理和组合的应用，关键在于弄清题意，利用计数原理求解，也可考虑从对立事件入手求解.‎ ‎6.设服从二项分布的随机变量的期望与方差分别是10和8，则的值分别是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布的期望和方差公式建立方程组即可得解.‎ ‎【详解】题意可得解得.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查二项分布的认识，根据二项分布的期望和方差建立方程组求解参数，关键在于熟练掌握二项分布的期望方差公式.‎ ‎7.已知函数在处可导，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义，利用，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查导数定义的应用，要注意函数值的变化量要与自变量的变化量相对应，属于基础题.‎ ‎8.某射击运动员击中目标的概率是，他连续射击2次，且各次射击是否击中目标相互没有影响.现有下列结论：①他第2次击中目标的概率是；②他恰好击中目标1次的概率是；③他至少击中目标1次的概率是.其中所有正确结论的序号是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立事件的概率公式即可求解恰好击中一次，两次都未击中，至少一次击中目标的概率.‎ ‎【详解】由相互独立事件的概率可知每次击中目标的概率都是.①正确；‎ 恰好击中目标1次的概率是，②错误；‎ ‎2次都未击中目标的概率是，‎ 故至少击中目标1次的概率是，③正确.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查求独立事件 概率，关键在于准确分类，熟练掌握概率公式，根据公式求解概率.‎ ‎9.已知复数的实部为，虚部的绝对值为，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 是实数 B. ‎ C. D. 在复平面中所对应的点不可能在第三象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，根据复数除法运算法则，求出，逐项判断，即可求出结论.‎ ‎【详解】复数的实部为，虚部的绝对值为，，‎ 当时，对应的点在第四象限，‎ ‎ ，‎ 当时，对应的点在第一象限，‎ ‎，‎ 所以选项A，C，D正确，选项B错误.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查复数的代数运算、共轭复数、复数的基本概念和几何意义，属于基础题.‎ ‎10.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原式改写成，利用二项式定理解决系数问题即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以 故选：D ‎【点睛】此题考查二项式定理的理解辨析和应用，关键在于熟练掌握定理公式，根据公式处理系数关系.‎ ‎11.包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（ ）‎ A. 240种 B. 252种 C. 264种 D. 288种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先排甲、乙、丙外的4人，再对甲、乙、丙三人分类讨论即可得解.‎ ‎【详解】先排甲、乙、丙外的4人，有种排法，再排甲、乙2人，有两类方法：‎ 一类是甲、乙2人插空，又甲排在乙的左边，然后丙排在中间，‎ 故有种不同的站法；‎ 另一类是把甲、乙、丙按乙、丙、甲的顺序插入中间，有种不同的站法，‎ 所以共有264种不同的站法.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查计数原理的应用，利用排列组合相关知识解决排位问题，需要熟练掌握计数原理相关知识.‎ ‎12.已知对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，构造函数，可得，再结合已知可求出，画出图象，设，只需满足，求解即可.‎ ‎【详解】设，‎ 所以为常数），得，‎ ‎，‎ 当时，，当时，，‎ 所以的递增区间是，递减区间是，‎ ‎，‎ 设，可知该函数恒过点，‎ 画出的图象，如下图所示，‎ 不等式（其中）的解集中恰有两个整数，‎ 则这两个整数解，所以，‎ 即，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用、函数的概念与性质以及解不等式，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎13.设随机变量，且，则____________.‎ ‎【答案】0.3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布特点，结合对称性可得.‎ ‎【详解】由题意可得 故答案为：0.3‎ ‎【点睛】此题考查正态分布，根据正态分布密度曲线特征求解概率，关键在于熟练掌握正态分布密度曲线的对称性.‎ ‎14.已知线性相关的变量与的部分数据如表所示：‎ 若其回归直线方程是，则_____________.‎ ‎【答案】65‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据回归直线必过样本点的中心，代入即可求解.‎ ‎【详解】由题意可得，，‎ 则，解得 故答案为：6.5‎ ‎【点睛】此题考查回归直线方程的理解应用，利用回归直线方程求解参数的取值，需要掌握回归直线必过样本点的中心这一重要性质.‎ ‎15.某生产厂家生产一种产品的固定成本为万元，并且每生产百台产品需增加投入万元.已知销售收入（万元）满足（其中是该产品的月产量，单位：百台，），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设销售利润为，利用导数求出的最大值即可.‎ ‎【详解】设销售利润为，依题意可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，，当时，，‎ 所以在单调递增，在单调递减，‎ 所以时，取得极大值，也是最大值，‎ 所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大.‎ 故答案为：6.‎ ‎【点睛】本题考查函数应用问题以及运用导数求最值，考查数学建模、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎16.设随机变量的分布列如下：‎ 若，则的最大值是___________，的最大值是___________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据概率性质求得，计算出的范围；‎ ‎②计算出结合二次函数性质求解取值范围.‎ ‎【详解】①由题意可得 解得.‎ 因为，‎ 所以的最大值是，‎ ‎②因为 ‎，‎ 因为，所以，‎ 所以的最大值是 ‎【点睛】此题考查求解分布列的期望和方差，根据函数性质求解取值范围，易错点在于漏掉考虑概率的取值范围.‎ 三、解答题 ‎17.今年消毒液和口罩成了抢手年货，老百姓几乎人人都需要,但对于这种口罩，大多数人不是很了解.现随机抽取40人进行调查，其中45岁以下的有20人，在接受调查的40人中，对于这种口罩了解的占，其中45岁以上（含45岁）的人数占.‎ ‎（1）将答题卡上的列联表补充完整；‎ ‎（2）判断是否有的把握认为对这种口罩的了解与否与年龄有关.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）有的把握认为对这种口罩的了解与否与年龄有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意先计算出对于这种口罩了解的人有20人，其中45岁以上（含45岁）的人数有5人，完成表格；‎ ‎（2）由题意先求出，然后再作判断.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得对于这种口罩了解的人数为40×50%=20，‎ 则45岁以上的人对这种口罩了解的人数为.‎ 故列联表如下：‎ 了解 不了解 总计 ‎45岁以下 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎45岁以上（含45岁）‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎（2）由题意可得，‎ 因为，所以有的把握认为对这种口罩的了解与否与年龄有关.‎ ‎【点睛】本题考查完善列联表，考查独立性检验，属于基础题.‎ ‎18.已知复数，，.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设在复平面上对应点分别为，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，根据已知其虚部为0，建立的方程，求解即可；‎ ‎（2）利用（1）的结论，求出三角形三顶点坐标，即可求出三角形的面积.‎ ‎【详解】（1）由，，‎ 得，又，‎ ‎，解得或（舍去），‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以，所以，‎ 所以的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念和几何意义，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎19.设函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求的极值.‎ ‎【答案】（1）；（2）极大值为，极小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求，由已知可得，求出值即可；‎ ‎（2）由（1）得，求解不等式，得到的单调区间，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1），‎ 曲线在点处的切线方程为，‎ 所以，‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 令或，‎ 或，‎ 递增区间是，递减区间是，‎ 的极大值为，极小值为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义以及应用导数求函数的极值，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎20.某校医务室欲研究昼夜温差大小与高三患感冒人数多少之间的关系，他们统计了2019年9月至2020年1月每月8号的昼夜温差情况与高三因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 日期 ‎2019年9月8日 ‎2019年10月8日 ‎2019年11月8日 ‎2019年12月8日 ‎2020年1月8日 昼夜温差 ‎5‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎16‎ 就诊人数 ‎10‎ ‎16‎ ‎26‎ ‎30‎ ‎35‎ 该医务室确定的研究方案是先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.假设选取的是‎2019年9月8日与‎2020年1月8日的2组数据.‎ ‎（1）求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程 （结果精确到0.01）‎ ‎（2）若由（1）中所求的线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过3人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该医务室所得线性回归方程是否理想？‎ 参考公式：，.‎ ‎【答案】（1）；（2）该医务室所得线性回归方程是理想的.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出，然后由公式求出，再由回归直线过样本中心得出. (2)将和代入回归直线方程求出估计数据，然后与检验数据进行比较，看误差是否超过3人,从而得出答案.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得，，‎ 则，‎ ‎，‎ 故关于的线性回归方程为.‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，.‎ 因为，且，‎ 所以该医务室所得线性回归方程是理想的.‎ ‎【点睛】本题考查求回归直线方程和利用数据检验回归方程是否理想，属于基础题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若曲线存在与轴垂直的切线，求的取值范围.‎ ‎（2）当时，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在上有解，，设，求导根据函数的单调性得到最值，得到答案.‎ ‎（2）证明，只需证，记，求导得到函数的单调性，得到函数的最小值，得到证明.‎ ‎【详解】（1）由题可得，在上有解，‎ 则，令，，‎ 当时，单调递增；当时，单调递减.‎ 所以是的最大值点，所以.‎ ‎（2）由，所以，‎ 要证明，只需证，即证.‎ 记在上单调递增，且，‎ 当时，单调递减；当时，单调递增.‎ 所以是的最小值点，，则，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.‎ ‎22.甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为，若甲、乙各投篮三次，设为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.‎ ‎（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率；‎ ‎（2）求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）甲获胜的情况为3:1,3:2,2:1分别计算概率即可得解；‎ ‎（2）的所有可能取值是0，1，2，3，分别计算概率，写出分布列，计算数学期望.‎ ‎【详解】（1）甲以3:1获胜的概率，‎ 甲以3:2获胜的概率，‎ 甲以2:1获胜的概率，‎ 则甲获胜的概率 ‎（2）由题意可得的所有可能取值是0，1，2，3.‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故 ‎【点睛】此题考查求解概率和分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率.‎