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  • 2021-06-24 发布

【数学】2018届高考一轮复习人教A版第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

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第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1. 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.‎ 2. 理解全称量词与存在量词的意义.‎ 3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 1. 以选择题的形式考查含有逻辑联结词的命题的真假.‎ 2. 以选择题或填空题的形式考查含有一个量词的命题的否定.‎ 3. 与函数、方程、不等式等知识相结合,考查全称命题或特称命题的真假.‎ 一、命题p∧q,p∨q,的真假判断 p q p∧q p∨q 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 二、常见词语的否定形式 正面词语 ‎=‎ ‎>‎ ‎<‎ 是 都是 至多有一个 至少有一个 任意 所有的 否定 ‎≠‎ ‎≤‎ ‎≥‎ 不是 不都是 至少两个 一个也没有 某个 某些 三、全称量词与存在量词 ‎1.全称量词与全称命题:(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.(3)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x).‎ ‎2.存在量词与特称命题:(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.(3)特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,p(x0).‎ 四、含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M,p(x)‎ ‎∃x0∈M,非p(x0)‎ ‎∃x0∈M,p(x0)‎ ‎∀x∈M,非p(x)‎ 考向一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1.已知命题p:∅⊆{0},q:{1}∈{1,2},由它们构成的“p∨q”,“p∧q”,“”形式的命题中,真命题有(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎2.已知命题p:(a-2)2+|b-3|≥0(a,b∈R),命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|12x+1‎ C.∃x0∈R,x+x0=-1 D.∀x∈,tan x>sin x ‎3.下列命题中,真命题是(  )‎ A.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数 B.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数 C.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 ‎1.全称命题真假的判断方法:(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.(2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可.‎ ‎2.特称命题真假的判断方法:要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.‎ 考向三 含有一个量词的命题的否定 例1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(  )‎ A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 ‎2.命题“能被5整除的数,末位是0”的否定是________.‎ ‎3.写出下列命题的否定,并判断其真假.‎ ‎(1)p:∀x∈R,x2-x+≥0; (2)q:所有的正方形都是矩形;‎ ‎(3)r:∃x0∈R,x+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数x0,使x+1=0.‎ ‎1.对含有一个量词的命题进行否定的方法:一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论.‎ ‎2.常见词语的否定形式:‎ 正面词语 是 都是 ‎>‎ 至少有一个 至多有一个 对任意x∈A使,p(x)真 否定词语 不是 不都是 ‎≤‎ 一个也没有 至少有两个 存在x0∈A,使p(x0)假 ‎3.要判断“p”命题的真假,可以直接判断,也可以判断p的真假,因为p与p的真假相反.‎ 考向四 根据命题真假确定参数的取值范围 例1.已知p:2x2-9x+a<0,q:且q是p的必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎2.已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-12,-4]∪[4,+∞) B.[-12,-4]∪[4,+∞) ‎ C.(-∞,-12)∪(-4,4) D.[-12,+∞)‎ ‎3.已知c>0,且c≠1,设p:函数y=cx在R上单调递减;q:函数f(x)=x2-2cx+1在上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数c的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ 根据命题的真假性求参数的方法步骤:‎ ‎1.求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围; 2.判断命题p,q的真假性;‎ ‎3.根据命题的真假情况,利用集合的交集和补集的运算,求解参数的取值范围.‎ 易错易误 命题的否定≠否命题 ‎☆答题模版1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则(  )‎ A. p:∀x∈A,2x∉B   B. p:∀x∉A,2x∉B C. p:∃x∉A,2x∈B D. p:∃x∈A,2x∉B ‎【解析】由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得.‎ 命题p是全称命题: ∀x∈A,2x∈B,则p是特称命题:∃x∈A,2x∉B.‎ ‎【答案】D.‎ ‎2.已知命题p:对任意x∈R,有cos x≤1,则(  )‎ A. p:存在x∈R,使cos x≥1 B. p:对任意x∈R,有cos x≥1‎ C. p:存在x∈R,使cos x>1 D. p:对任意x∈R,有cos x>1‎ ‎【解析】因为命题p是全称命题,故p是特称命题,则为:存在x∈R,使cos x>1.‎ ‎【答案】C ‎【防范措施】1.命题的否定是只否定这个命题的结论;而对于“若p,则q”形式的否命题为“若p,则q”.‎ ‎2.对于全(特)称命题的否定,书写时应从两方面着手:一是对量词或对量词符号进行改写;二是对命题的结论进行否定.两者缺一不可.‎ 一、选择(本大题共6小题,每题5分,共30分)‎ ‎1.下列命题是真命题的是(  )‎ ‎①27是3的倍数或27是9的倍数; ②27是3的倍数且27是9的倍数;‎ ‎③平行四边形的对角线互相垂直且平分; ④平行四边形的对角线互相垂直或平分;‎ ‎⑤1是方程x-1=0的根,且是方程x2-5x+4=0的根.‎ A.①③⑤ B.①②③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤‎ ‎2.若p是真命题,q是假命题,则(  )‎ A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题 C. p是真命题 D. q是真命题 ‎3.已知命题p:∀x∈R,sin x≤1,则(  )‎ A. p:∃x0∈R,sin x0≥1 B. p:∀x∈R,sin x≥1‎ C. p:∃x0∈R,sin x0>1 D. p:∀x∈R,sin x>1‎ ‎4.下列命题中的假命题是(  )‎ A.∀x∈R,2x-1>0      B.∀x∈N*,(x-1)2>0‎ C.∃x0∈R,lg x0<1 D.∃x0∈R,tan x0=2‎ ‎5.下列命题中为真命题的是(  )‎ A.∀x∈R,x2+2x+1=0 B.∃x0∈R,-≥0‎ C.∀x∈N*,log2x>0 D.∃x0∈R,cos x0>x+2x0+3‎ ‎6.命题p:“已知0x2‎ C.a+b=0的充要条件是=-1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件 ‎4.下列命题既是全称命题,又是真命题的个数是(  )‎ ‎(1)对数函数都是单调函数; (2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;‎ ‎(3)对于任意的无理数x,x2是无理数; (4)存在一整数x,使得log2x>0.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎5.已知命题p:∃x0∈R,cos x0=;命题q:∀x∈R,x2-x+1>0,则下列结论正确的是(  )‎ A.命题p∧q是真命题 B.命题p∧q是真命题 C.命题p∧q是真命题 D.命题p∨q是假命题 ‎6.设p、q是两个命题,则“复合命题p或q为真,p且q为假”的充要条件是(  )‎ A.p、q中至少有一个为真   B.p、q中至少有一个为假 C.p、q中有且只有一个为真 D.p为真,q为假 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)‎ ‎7.命题:“对任意k>0,方程x2+x-k=0有实根”的否定是________.‎ ‎8.若命题“∀x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.‎ ‎9.已知命题p:∃m∈R,m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为________.‎ 三、解答题(本大题共3小题,每小题15分,共45分)‎ ‎10.(15分)已知命题p:关于x的方程x2+2x+a=0有实数解,命题q:关于x的不等式x2+ax+a>0的解集为R,若p∧q是真命题,求实数a的取值范围.‎ ‎11.(15分)已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x0∈R,x+2ax0+2-a=0,若“p且q”为真命题,求实数a的取值范围.‎ ‎12.(15分)已知c>0,设命题p:函数y=cx为减函数.命题q:∀x∈,x+>c.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数c的取值范围.‎ 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考向一:例1.【解析】命题p为真命题,命题q为假命题,则p∨q为真命题,p∧q为假命题,为假命题.【答案】B 2.【解析】命题p:(a-2)2+|b-3|≥0(a,b∈R)是真命题,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|13时,(x-1)2-2>0,∴此命题成立;对于选项C,x2+x+1=2+>0,∴x2+x=-1对任意实数x都不成立,∴此命题不成立;对于选项D,当x∈时,tan x<0,sin x>0,命题显然不成立.【答案】B ‎3.【解析】由于当m0=0时,函数f(x)=x2+m0x=x2为偶函数,故“∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)为偶函数”是真命题.【答案】A 考向三:例1.【解析】特称命题的否定是全称命题,原命题的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.【答案】B 2.【解析】省略了全称量词“任何一个”,否定为:有些可以被5整除的数,末位不是0.【答案】有些可以被5整除的数,末位不是0‎ ‎3.【解析】(1) p:∃x0∈R,x-x0+<0,假命题.(2) q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.(3) r:∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题.(4) s:∀x∈R,x3+1≠0,假命题.‎ 考向四:例1.【解析】由得即20且c≠1,∴ p:c>1.‎ 又∵f(x)=x2-2cx+1在上为增函数,∴c≤.即q:00且c≠1,∴ q:c>且c≠1.‎ 又∵“p或q”为真,“p且q”为假,∴p真q假或p假q真.‎ ‎①当p真,q假时,{c|01}∩= 综上所述,实数c的取值范围是.‎ 基础自测:1-6.CDCBBC 7.【答案】(1) p:存在两个等边三角形,它们不相似.(2) p:∀x∈R,x2+2x+2≠0 8.【答案】(-,-1)∪(1,) 9.【答案】p、p∨q ‎10.【答案】[-2,2]‎ 能力提升:1-6.CBDACC 7.【答案】存在k>0,方程x2+x-k=0无实根 8.【答案】[-8,0] 9.【答案】(-∞,-2]∪(-1,+∞)‎ ‎10.【解析】因为p∧q是真命题.所以p和q都为真命题,即p为假命题且q为真命题.①若p为假命题,则Δ1=4-4a<0,即a>1. ②若q为真命题,则Δ2=a2-4a<0,所以0<a<4.由①②知,实数a的取值范围是{a|1<a<4}.‎ ‎11.【解析】由“p且q”为真命题,则p,q都是真命题.p:x2≥a在[1,2]上恒成立,只需a≤(x2)min=1,所以命题p:a≤1;q:设f(x)=x2+2ax+2-a,存在x0∈R使f(x0)=0,只需Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0⇒a≥1或a≤-2,所以命题q:a≥1或a≤-2.由得a=1或a≤-2 故实数a的取值范围是a=1或a≤-2.‎ ‎12.【解析】若命题p为真,则0<c<1.若命题q为真,则c<min,又当x∈时,2≤x+≤,则必须且只需2>c,即c<2.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p、q必有一真一假.当p为真,q为假时,无解;当p为假,q为真时,所以1≤c<2.综上,c的取值范围为[1,2).‎

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