江西省南昌市东湖区第十中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 23页

南昌十中2019-2020学年第一学期期中考试 高三数学（理科）试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出后可求.‎ ‎【详解】，故，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，此类问题属于基础题.‎ ‎2.已知为虚数单位，满足,则复数所在的象限为（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数计算公式化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ 复数所在的象限为第二象限.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题型.‎ ‎3.已知等差数列的前n项和为，且，则＝（　　）‎ A. 0 B. 10 C. 15 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，结合求得结果.‎ ‎【详解】由等差数列性质可知：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.‎ ‎4.函数，则的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎,‎ 故选A．‎ 考点：1．定积分；2．分段函数．‎ ‎5.已知命题函数在定义域上为减函数，命题在中，若　，则，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定命题p,q的真假，然后逐一考查所给的选项的真假即可.‎ ‎【详解】函数在定义域上不是单调函数，命题p为假命题；‎ 在中，当时，满足，但是不满足，命题q为假命题；‎ 据此逐一考查所给命题的真假：‎ A.为假命题；‎ B.真命题；‎ C.为假命题；‎ D.为假命题；‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，复合命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6.已知奇函数在R上是增函数，.若，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数在上是增函数可得为偶函数且在上为增函数，从而可判断的大小.‎ ‎【详解】的定义域为.‎ ‎，故为偶函数.‎ 因为为上的奇函数，故，‎ 当时，因为为上的增函数，故.‎ 设任意的，则，故，‎ 故，故为上的增函数，‎ 所以 ，而，‎ 故，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.‎ ‎7.若实数满足，则关于的函数的图象形状大致是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用特例法，分别计算时，的值，进而可得出结果.‎ ‎【详解】当时，排除C，D; 当时，排除A所以应选B．‎ 考点：判断图像形状，特殊值法的应用．‎ ‎【点睛】特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：‎ 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；‎ 第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．‎ 第三，选择题小题不可大作．‎ ‎8.在边长为1的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为坐标原点，为轴正半轴建立如图所示的平面直角坐标系，求出的坐标，设，则可用表示，利用二次函数的性质可求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 建立如图所示的平面直角坐标系，则，，.‎ 设，则，‎ 故，因为，故.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结为坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．‎ ‎9.已知三棱锥的外接球的表面积为，，则三棱锥 体积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出球心到底面距离的最大值，从而可求顶点到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 设外接球的球心为，半径为，则，故.‎ 设球心在底面上的投影为，因为，故为的外心.‎ 因为，，所以，故为直角三角形，‎ 故为的中点，所以，‎ 设到底面的距离为，则，‎ 所以三棱锥的体积的最大值为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．‎ ‎10.在锐角中，若，则的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，利用倍角公式和正弦定理可得，再根据的范围可求的取值范围.‎ ‎【详解】因为，故即，‎ 根据正弦定理可以得到即.‎ 因为为锐角三角形，故，所以，‎ 所以，故.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】在解三角形中，边的关系与已知的角的关系可以利用正弦定理来沟通，注意利用锐角三角形来限制最小角的范围.‎ ‎11.已知P为双曲线上一点，为双曲线C的左、右焦点，若，且直线与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据题意作出图象，由双曲线定义可得，又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，可得，对在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得，联立，即可求得，问题得解．‎ ‎【详解】依据题意作出图象，如下：‎ 则，，‎ 又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，‎ 所以,‎ 所以 由双曲线定义可得：，所以，‎ 所以 整理得：，即：‎ 将代入，整理得：，‎ 所以C的渐近线方程为 故选A ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．‎ ‎12.已知函数为自然对数的底数）与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的图像上与的图像上存在关于对称的点等价于与方程组有解，消元后利用导数可以得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】设的图像上与的图像上关于对称的点为，‎ 故，消去得到，两边取对数有：，‎ 因为，故，‎ 令，，则，.‎ 令.‎ 因为为上的增函数，且当时，,‎ 故当时，，当时，；‎ 所以当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数；‎ 因为，，‎ 所以的值域为，故.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】函数图像的之间的关系应转化为对应方程的解来处理，而后者可参变分离后利用导数讨论不含参数的新函数的值域即可得参数的取值范围.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当且仅当，即时成立，‎ 故所求的最小值为．‎ ‎【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．‎ ‎14.已知，则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和、差的正弦可得，再利用二倍角的余弦公式可求的值.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以即，‎ 所以即.‎ 又.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】三角函数中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.‎ ‎15.定义在R上的函数满足当时， ，_________．‎ ‎【答案】338‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数是的周期函数，计算一个周期的函数值和为1，再计算得到答案.‎ ‎【详解】故函数是的周期函数.‎ 故 故答案为 ‎【点睛】本题考查了周期函数的计算，确定一个周期的函数和值是解题的关键.‎ ‎16.已知定义在R上的单调递增奇函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数单调性和奇偶性得到，换元，利用均值不等式得到 ‎，计算得到答案.‎ ‎【详解】定义在R上的单调递增奇函数 故即 ‎ 设 变换为：‎ 当即时等号成立，故 故答案为 ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，均值不等式，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.数列满足，，.‎ ‎（1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将的两边同除以 ，得到 ‎，由等差数列的定义，即可作出证明；‎ ‎（2）有（1）求出，利用错位相减法即可求解数列的前项和.‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1.‎ 所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.‎ 从而bn＝n·3n.‎ Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①‎ ‎3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②‎ ‎①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1‎ ‎＝－n·3n＋1‎ ‎＝‎ 所以Sn＝.‎ 点睛：本题主要考查了等差数列的定义、等差数列的判定与证明和数列的求和，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本的解答中利用等差数列的定义得到数列为等差数列，求解的表达式，从而化简得到，利用乘公比错位相减法求和中，准确计算是解答的一个难点.‎ ‎18.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，，点为中点，与交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）易证得和，从而得平面，再由得平面，从而得证；‎ ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，利用法向量的夹角公式可得二面角的余弦.‎ 试题解析：‎ ‎（I）在△中，有 ‎ ‎ 同理可得：‎ 而，平面 ‎ 平面 在△中，易知、分别为、中点，则，而平面 ‎ 平面．‎ ‎（II）由（I）知：平面，故可建立空间直角坐标系，如图所示，则 ‎，，， ‎ ‎ ，，‎ 设、 分别为平面和平面的一个法向量，则 ‎，‎ ‎ ，‎ 不妨设，则，‎ ‎ ‎ 由图易知二面角为钝二面角 二面角的的余弦值为．‎ ‎19.如图，在梯形中，已知，，，，.‎ 求：（1）的长；‎ ‎（2）的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）在三角形ADC中，已知两角和一边，求一边，应用正弦定理求解：先利用三角形内角和为 ‎，以及两角和正弦公式求CD对应角的正弦值，再根据正弦定理解出CD（2）在三角形BDC中，已知BD，CD，以及由平行条件得的正切值，进而可求其余弦值，再由余弦定理得BC，最后根据三角形面积公式得 试题解析：（1）因，所以．‎ 所以 ‎，‎ 在△中，由正弦定理得．‎ ‎（2）因为， 所以．‎ 在△中，由余弦定理，‎ 得，解得，‎ 所以.‎ 考点：正余弦定理 ‎20.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段记作区间，记作，记作，记作，例如：10点04分,记作时刻64．‎ ‎（1）估计这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表；‎ ‎（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中,在之间通过的车辆数为，求的分布列与数学期望；‎ ‎（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布，其中可用这600辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替同一组中的数据用该组区间的中点值代表，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数结果保留到整数．‎ 参考数据：若,则；‎ ‎；．‎ ‎【答案】（1）10点04分；（2）分布列见解析，；（3）683‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用公式计算可得所求的平均值.‎ ‎（2）利用超几何分布可计算的分布列和数学期望.‎ ‎（3）先求出，根据可求，从而可估算在之间通过的车辆数.‎ ‎【详解】（1） 这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即10点04分．‎ ‎（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，‎ 在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数，‎ 即，所以的可能取值为0,1,2,3,4．‎ 所以， ，‎ ‎， ，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以 ．‎ ‎（3）由（1）可得，‎ ‎,‎ 所以，‎ 估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，‎ 由,得，‎ 所以估计在这一时间段内通过的车辆数为（辆）‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、数学期望以及正态分布，注意可根据常见的分布列（如超几何分布、二项分布等）来求离散型变量的分布列，在正态分布的应用中，注意对实际问题的合理转化，此类问题属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；（Ⅱ）借助第（Ⅰ）问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为.‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅰ）设，则当时，；当时，.‎ 所以f（x）在单调递减，在单调递增.‎ ‎（Ⅱ）设，由得x=1或x=ln（-2a）.‎ ‎①若，则，所以在单调递增.‎ ‎②若，则ln（-2a）＜1,故当时，；‎ 当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）（Ⅰ）设，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.‎ 又，取b满足b＜0且，‎ 则，所以有两个零点.‎ ‎（Ⅱ）设a=0，则，所以只有一个零点.‎ ‎（iii）设a＜0，若，则由（Ⅰ）知，在单调递增.‎ 又当时，＜0，故不存在两个零点；若，则由（Ⅰ）知，在 单调递减，在单调递增.又当时＜0，故不存在两个零点.‎ 综上，a的取值范围为.‎ ‎【考点】函数单调性，导数应用 ‎【名师点睛】本题第（Ⅰ）问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为,（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)直接写出直线、曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)两式相加消去参数，即得直线的普通方程，利用二倍角公式和进行求解；(Ⅱ)设出椭圆上点的参数坐标，再利用点到直线的距离公式和配角公式、三角函数的性质进行求解．‎ 试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为，‎ 因为，所以，则，‎ 即曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）∵曲线的直角坐标方程为，即，‎ ‎∴曲线上的点的坐标可表示为.‎ ‎∵，∴，∴的最小值为，的最大值为.∴，‎ 即的取值范围为.‎ 考点：1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化；2.点到直线的距离公式．‎ ‎23.‎ 已知函数，不等式的解集为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）记集合的最大元素为，若正数满足，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用零点分段法去绝对值，将原函数写成分段函数，由此可求解得不等式的解集.（2）由（1）得，即，利用分析法和基本不等式，可将不等式右边，两两组合并缩小为左边的形式，由此证得不等式成立.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由零点分段法化为:或或或，所以集合.‎ ‎（2）集合中最大元素为，所以，其中，因为，‎ 三式相加得：.‎ ‎ ‎