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- 2021-06-24 发布
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华南师大附中2020届高三年级月考(二)
数 学(文科)
本试卷共5页,23题,满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
2.在复平面内,已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称,则( )
A. B. C. D.
3.在一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合,顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆锥的侧面展开图面积为( )
A. B. C.3π D.4π
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有( )灯
A.1盏 B.3盏
C.5盏 D.9盏
5.已知,若,则实数的值为( )
A.-2 B.2 C.0 D.1
6.已知,则y的最小值为( )
A.2 B.1 C.4 D.3
7.已知x,y∈R,且x>y>0,则( )
A. B.
C. D.lnx+lny>0
8.将函数的图象纵坐标不变,横坐标伸长到原来2倍,再向右平移个单位,得到函数的图象,则( )
A. B. C. D.0
9.已知△ABC的内角的对边分别为且,,,则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
10.等差数列的前项和为,若,,则使达到最大值的是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
11.黄金三角形有两种,其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如,正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成,如图所示,在一个黄金三角形中,,根据这些信息,可得=( )
A. B.
C. D.
12.已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上,,,
,顶点在平面上的投影为的中点,且,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知幂函数的图象过点,则的定义域是_______.
14.已知向量,,且,则______.
15.已知实数,满足,则目标函数的最大值为______.
16.设函数在处取得极值0,则
三、解答题:共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)
在公差不为0的等差数列中,,,成公比为的等比数列,数列满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,且底面.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求A到平面PBC的距离.
19.(本小题满分12分)
某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查,张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y(单位:万只)与相应年份x(序号)的数据表和散点图(如图所示),根据散点图,发现y与x有较强的线性相关关系.
年份序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
年养殖山羊/万只
1.2
1.5
1.6
1.6
1.8
2.5
2.5
2.6
2.7
(Ⅰ)根据表中的数据和所给统计量,求关于的线性回归方程(参考统计量:,;
(Ⅱ)李四提供了该县山羊养殖场的个数z(单位:个)关于x的回归方程.
试估计:①该县第一年养殖山羊多少万只?
②到第几年,该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了?
附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=,.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设与圆O:相切的直线l与椭圆C交于A,B两点(O为坐标原点),求△AOB面积的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知函数,.
(Ⅰ)证明:当时,;
(Ⅱ)若时不等式成立,求a的取值范围.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,直线,曲线为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求的极坐标方程;
(Ⅱ)若曲线的极坐标方程为,且曲线分别交于两点,求.
23.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)
已知函数,.
(Ⅰ)解不等式;
(Ⅱ)若方程在区间有解,求实数a的取值范围.
数学(文科)参考答案
一、选择题
1.A 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C
7.A 8.C 9.C 10.C 11.C 12.D
二、填空题
13. 14.10 15.3 16.
三、解答题
17.解:(Ⅰ)公差不为0的等差数列中, ,,成公比为的等比数列,
可得,,可得,,化简可得,
即有.
(Ⅱ)由(1)可得,;
前项和
.
18. (Ⅰ)证明:∵,∴,
∵,∴.
又∵底面,∴.
∵,∴平面.
(Ⅱ)解:,
.
.
由(1)平面,
又,
.
.
又,
设A到平面PBC距离为d,
由 可得
,
.
即A到平面PBC的距离为.
19. 解:(Ⅰ)设关于的线性回归方程为,
则,
,
则,所以,
所以关于的线性回归方程为.
(Ⅱ)估计第年山羊养殖的只数,
①第1年山羊养殖的只数为,故该县第一年养殖山羊约万只;
②由题意,得,整理得,
解得或(舍去)
所以到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了.
20. 解:(I)由题设:,
解得.
∴椭圆C的方程为.
(Ⅱ)设,
1.当ABx轴时,.
2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,
由已知,得.
把代入椭圆方程消去y,
整理得,
恒成立,
.
,
当且仅当,即时等号成立.
当时,.
综上所述,从而△AOB面积的最大值为.
21. 解:(Ⅰ)令 ,
,
,
即,
当时,.
(Ⅱ)令,则,
①当时,,所以函数在上单调递减,
所以,所以满足题意.
②当时,令,得,
所以当时, ,当时,.
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
(ⅰ)当,即时,在上单调递增,
所以,所以,此时无解.
(ⅱ)当,即时,函数在上单调递增,在上单调递减.
所以 .
设 ,则,
所以在上单调递增,
,不满足题意.
(ⅲ)当,即时,在上单调递减,
所以,所以 满足题意.
综上所述:的取值范围为.
22.解: (Ⅰ) ,
, , ,
, ,
(Ⅱ)曲线为,
设, 则
.
23. 解:(Ⅰ)可化为,
故,或,或;
解得:,或,或;
所以,原不等式的解集为;
(Ⅱ)由题意:,.
故方程在区间有解函数和函数,图象在区间上有交点.
当时,,
实数的取值范围是.