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- 2021-06-24 发布
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2020年4月数学模拟试卷
一、单选题
1.设集合则=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．
B＝{x|x2－1<0}＝{x|－10}∪{x|－1－1}，故选C．
2.设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
复数是纯虚数，必有利用充分条件与必要条件的定义可得结果.
【详解】若复数是纯虚数，必有所以由能推出；
但若,不能推出复数是纯虚数. 所以由不能推出.，
因此是充分不必要条件,故选A.
【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
3.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.
【详解】；，
即：
为偶函数
又在上单调递增
，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.
4.已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为
A. 16 B. 9 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，由等差中项的定义分析可得1，进而分析可得a+9b＝（a+9b）（）＝10，由基本不等式的性质分析可得答案．
【详解】解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，
则21；
则a+9b＝（a+9b）（）＝1010+216；
当且仅当，即=时取到等号，
∴a+9b的最小值为16；
故选A．
【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到1．
5.设函数，则，则（ ）
A. 在单调递增，其图象关于直线对称
B. 在单调递增，其图象关于直线对称
C. 在单调递减，其图象关于直线对称
D. 在单调递减，其图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
,
由得，再由,所以.
所以y=f(x)在在单调递减,其图象关于直线对称,故选D.
6.已知随机变量服从正态分布, 且, 则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算出，由正态密度曲线对称性得出
，于是得出可得出答案．
【详解】由题可知，，
由于，所以，，
因此，，故选B.
【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题．
7.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．
【详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；
选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；
选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；
选项D正确，由，便得，又，，即.
故选：D.
【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，
属于基础题.
8.设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
记椭圆的左焦点为，则，即，，，即，即 ，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.
【方法点晴】本题主要考查利用椭圆定与性质求椭圆的离心率，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的定义以及三角形两边与第三边的关系构造出关于的不等式，最后解出的范围.
9.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时，；
②函数有2个零点；
③解集为；
④，，都有.
其中真命题的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
对于①，利用函数是定义在R上的奇函数求解即可；对于②，由函数解析式及函数为奇函数求解即可；对于③，分别解当时，当时，即可得解；对于④，利用导数研究函数的单调性，再求值域即可得解.
【详解】解：对于①，函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，，即①错误；
对于②，由题意可得，即函数有3个零点，即②错误；
对于③，当时，，令，解得，当时，，令，解得，综上可得的解集为，即③正确；
对于④，当时，，，令，得，令，得，即函数在为减函数，在为增函数，即函数在的最小值为，且时，，又，则，由函数为奇函数可得当时，，又，即函数的值域为，即，，都有，即④正确，
即真命题的个数为2，
故选：C.
【点睛】本题考查了函数性质的应用，重点考查了导数的综合应用，属中档题.
二、填空题
10.设复数满足，则＝__________.
【答案】
【解析】
【详解】分析：由可得，再利用两个复数代数形式的除法法则化简，结合共轭复数的定义可得结果.
详解：满足，
，
所以，
故答案为.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
11.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是______ .
【答案】-189
【解析】
令，得展开式中各项系数之和为.由，得，所以展开式的通项为.
由，得，展开式中系数是.
12.在三棱锥中，底面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，在三棱锥中，可得，进而求得三棱锥的外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解．
【详解】由题意，在三棱锥中，底面，，，，
可得，
故三棱锥的外接球的半径，
则其表面积为.
【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．
13.若经过抛物线焦点的直线与圆相切，则直线的斜率为__________．
【答案】
【解析】
抛物线的焦点为，设直线的方程为，，即，直线与圆相切，，解得，故答案为.
14.某大学安排4名毕业生到某企业的三个部门实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到部门工作，安排方法有______种用数字作答．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据题意，设4名毕业生为甲、A、B、C，分2种情况讨论：甲单独一人分配到B或C部门，甲和其他人一起分配到B或C部门，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，设4名毕业生为甲、A、B、C，分2种情况讨论：
（1）甲单独一人分配到B或C部门，则甲有2种情况，
将A、B、C分成2组，有种分组方法，再将2组全排列，分配到其他2个部门，有种情况，
则此时有种安排方法；
甲和其他人一起分配到B或C部门，
在A、B、C中任选1人，与甲一起分配到B或C部门，有种情况，
将剩余的2人全排列，分配到其他2个部门，有种情况，
则此时有种安排方法；
则一共有种不同的安排方法；
故答案为24
【点睛】本题主要考查分类计数原理与排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，认真审题、分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
15.已知菱形的边长为，，点、分别在边，上，，，若，则的最小值__________．
【答案】
【解析】
【详解】,.由于,在区间上为增函数,故当时取得最小值为.
【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算,考查向量加法的运算,考查利用二次函数求最值的方法,考查化归与转化的数学思想方法.首先是利用题目所给的条件，,计算化简出表达式,然后利用二次函数配方法来求得函数的最小值,要注意变量的取值范围.
三、解答题
16.已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）设的内角的对边分别为，且，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角和辅助角公式可将函数整理为，利用求得结果；（2）由，结合的范围可求得；利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简已知等式，可求得；分别在和两种情况下求解出各边长，从而求得三角形面积.
【详解】（1）
的最小正周期：
（2）由得：，即：
，，解得：，
由得：
即：
若，即时，
则：
若，则
由正弦定理可得：
由余弦定理得：
解得：
综上所述，的面积为：
【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期、三角形面积的求解，涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、两角和差正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，考查学生对于三角函数、三角恒等变换和解三角形知识的掌握.
17.中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼的时间/分钟
总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；
锻炼不达标
锻炼达标
合计
男
女
20
110
合计
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，
（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？
（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
临界值表
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）见解析；（2）（i）男生有6人，女生有4人. （ii）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）（i）由男女生所占的比例直接求解；（ii）分别求得不同取值下的概率，列出分布列，根据期望公式计算结果即可.
【详解】（1）
锻炼不达标
锻炼达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
由列联表中数据，计算得到的观测值为 .
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.
（2）（i）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为，故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有6人，女生有4人.
（ii）的可能取值为0，1，2；
，
，
，
∴的分布列为
0
1
2
∴的数学期望.
【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样及离散型随机变量的应用问题，是基础题．
18.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面
（I）求证：；
（II）若M为中点，求证：平面；
（III）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为？若存在，求得值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)不存在这样的点P.
【解析】
【详解】（I）由，根据面面垂直的性质得到平面，从而可证明；（II）由于，建立空间直角坐标系，利用的方向向量与平面 的法向量数量积为零可得平面 ；（III）由（II）可知平面的法向量，设，利用空间向量夹角余弦公式列方程可求得，从而可得结论.
详解：证明：（I）在直三棱柱中，
∵平面 ∴
∵平面平面，且平面平面
∴平面
∴
（II）在直三棱柱中，
∵平面，∴
又，
建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，
，，，，
设平面的法向量
∵ ∴ 令 则
∵为的中点，∴
∵ ∴
又平面，∴平面
（III）由（II）可知平面的法向量
设
则
若直线DP与平面所成的角为，
则
解得
故不存在这样的点P，使得直线DP与平面所成的角为
点睛：本题主要考查利用空间向量的证明与求值，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19.设数列满足：，，且
1求数列的通项公式；
2设数列，，设的前项和证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
1由已知得，从而推导出是首项为1，公差为的等差数列，由此能求出数列的通项公式;2由，利用裂项相消法能证明．
【详解】1数列满足：，，且，
，
又，，
，，
是首项为1，公差为的等差数列，
，
2证明：数列，，
，
．
故
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．这个题目也涉及了数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．
20.设椭圆：的左，右焦点分别为，，其离心率为，过的直线与 C 交于两点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，证明：当的斜率为时，点在以为直径的圆上．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形周长为可得的值，结合离心率可得的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）先得直线方程为，将其于椭圆方程联立，根据韦达定理得到，，证得即可.
【详解】（1）的周长等于 ，
所以，从而．
因为，所以，即，
椭圆的方程为.
（2）由（1）得，．
设， ，
依题意，的方程为，
将的方程代入并整理，可得，
所以，．
所以，
综上， 点在以为直径的圆上.
【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，将题意转化为是解题的关键，属于中档题.
21.设函数.
（1）若在点处的切线为，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若，求证：在时，.
【答案】(1) ，,(2) 当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为；（3）见解析．
．
【解析】
【详解】（1）∵，∴，
又在点的切线的斜率为，∴，∴，
∴切点为把切点代入切线方程得：；
（2）由（1）知：
①当时，上恒成立，
∴在上是单调减函数，
②当时，令，解得：，当变化时，随变化情况如下表：当时，单调减，当时，，单单调增，综上所述：当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为.
(3)当时，要证，即证，令，只需证，∵由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数又，，∴，在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为，则，即，由的单调性知：当时，，为减函数当时，，为增函数，所以当时，，又，等号不成立，∴.
点睛: 本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，(1)利用导数的几何意义；（2）研究单调性，即研究导函数的正负；（2）：证明恒成立，转化为函数最值问题．
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