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- 2021-06-24 发布
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参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
A
B
A
B
D
A
A
C
A
【解析】
1.,故选C.
2.,所以,故选D.
3.由已知,,所以,故选B.
4.真假为假,为真,①③为真命题,故选A.
5.未服药组的指标的取值相对集中,方差较小,所以B说法不对,故选B.
6.由诱导公式,所以(舍去)或,故选A.
7.是等腰直角三角形,在椭圆上,代入得,故选B.
8.方法一:由图可知,,
所以把的图象向右平移个单位得到的图象,故选D.
方法二:两个函数的振幅和周期相同,由图,点是图象的一个最高点,而由,得是图象的一个最高点,所以把的图象向右平移个单位得到的图象,故选D.
9.当时,截面是矩形;当时,截面是菱形;当时,截面是梯形,故选A.
10.取,已经有,不能进入循环,判断框应是进入循环;进入循环后第一次加上的应该是,所以先算,故选A.
11.依题意,一条渐近线是轴与另一条渐近线的对称轴,渐近线的倾斜角是或,所以,故选C.
12.,且,
,故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
题号
13
14
15
16
答案
【解析】
13.,分别作与的图象,并注意到指数函数的增长速度最终会远远超过幂函数的增长速度,所以两函数图象有3个交点,即有3个零点.
图1
14.如图1,由已知,在底面中,,由底面,易得都是,所以球心是
的中点,,.
图2
15.如图2,设,则且
,解得.
16.由已知是以4为周期的奇函数,,得,又,所以,所以.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
解:(1)高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为
,
完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为.
…………(6分)
(2)由直方图,样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率为0.28,
估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率为0.28.
………………………………(12分)
18.(本小题满分12分)
解:(1)设的首项为,公差为,取,
得解得或
当时,满足条件;
当时,不满足条件,舍去,
综上,数列的通项公式为. ………………………(6分)
(2),记,
在与上都是增函数(图象如
图3),
图3
对数列,当时,递增且都大
于,当时,递增且都小于,
数列的最大项是第4项,值为9,最小项是第5项,值为.……(12分)
19.(本小题满分12分)
(1)证明:设点,,,
过点,的直线方程为,同理过点,的直线方程为
,
因为点是两切线的交点,
所以,即恒过. ………………(6分)
(2)解:设直线为,与抛物线方程联立得,其中,
,,
因为在为直径的圆上,所以,
即
,
整理得,
即,解得或,
当时,,圆心为,半径,
圆的标准方程为;
当时,,圆心为,半径,
圆的标准方程为. ……………(12分)
20.(本小题满分12分)
(1)证明:如图4,设是的中点,因为,
所以,且,
图4
因为平面平面,交线为,平面,
所以平面,又平面,
所以,且,
四边形是平行四边形,从而,
在中,是的中点,所以,
所以,从而四点共面. ……………(6分)
(2)解:由(1),
所以到平面的距离是到平面距离的,
平面,
又平面,
所以到平面的距离为,
的面积,
. ……………………(12分)
21.(本小题满分12分)
解:(1),
当时,,在上单调递增;
当时,在上,,单调递减;在和上,,单调递增;
当时,在上,,单调递减;在和上,,单调递增;
综上,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减;在和上单调递增;
当时,在上单调递减;在和上单调递增.
………………(6分)
(2)当时,函数有两个极值和,
若函数有三个不同的零点,即,
又因为的取值范围恰好是,
所以令恰有三个零点,
若时,或;
当时,,解得符合题意;
当时,,
则不存在这个根,与题意不符,舍去,
所以. …………………………………(12分)
22.(本小题满分10分)【选修4−4:坐标系与参数方程】
解:(1)因为,
所以,则,
两边平方整理得.
点直角坐标,,
所以. ……………………………………(5分)
(2)设直线的参数方程为(为参数)与曲线的方程联立,得,其中,,
,
,
所以. ………………………(10分)
23.(本小题满分10分)【选修4−5:不等式选讲】
解:(1)
当时,<0;
当时,矛盾;
当时,矛盾,
综上,. ……………………………………(5分)
(2)对任意的时,因为,,
所以,则,
当,时,,
则恒成立,
所以的取值范围是. …………………………(10分)