新疆石河子第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 14页

新疆石河子一中2018-2019学年高一下学期 期末数学试题 考试时间：120分钟；满分150分 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、单选题 ‎1.已知数列是等比数列，若，且公比，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，结合可得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎2.如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（ ）海里/小时．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的值，再根据正弦定理求出的值，从而求得船的航行速度.‎ ‎【详解】由题意，‎ 在中，由正弦定理得 ‎，得 所以船的航行速度为（海里/小时）‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于简单题.‎ ‎3.在△ABC中，角所对的边分别为,且则最大角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理可得三边的比例关系；由大边对大角可知最大，利用余弦定理求得余弦值，从而求得角的大小.‎ ‎【详解】 由正弦定理可得：‎ 设，，‎ 最大 为最大角 ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及到三角形中大边对大角的关系，属于基础题.‎ ‎4.中，，，，则的面积等于（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据余弦定理求AC，再根据面积公式得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以或2，‎ 因此的面积等于或等于，‎ 选D.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理与三角形面积公式，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎5.设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求得，结合，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，正项等比数列满足，，‎ 即，，所以，‎ 又由，因为，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了的等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.在正项等比数列中，，为方程的两根，则（　　）‎ A. 9 B. ‎27 ‎C. 64 D. 81‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦达定理得，再利用等比数列的性质求得结果.‎ ‎【详解】由已知得 是正项等比数列 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的三项之积的求法，关键是对等比数列的性质进行合理运用，属于基础题.‎ ‎7.在正项等比数列中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合对数的运算，得到，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，在正项等比数列中，，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列性质，以及对数的运算求值，其中解答中熟记等比数列的性质，合理应用对数的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎8.已知是等差数列，且，，则（ ）‎ A. -5 B. ‎-11 ‎C. -12 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是等差数列，求得，则可求 ‎【详解】∵是等差数列，设,∴故 故选B ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，是基础题 ‎9.已知数列中，，，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由递推关系，结合，，可求得，，的值，可得数列是一个周期为6的周期数列，进而可求的值．‎ ‎【详解】因为，由，，得；‎ 由，，得；‎ 由，，得；‎ 由，，得；‎ 由，，得；‎ 由，，得 由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列，所以，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题．‎ ‎10.设等比数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A. 63 B. ‎62 ‎C. 61 D. 60‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可得S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，代入数据计算可得．‎ ‎【详解】因为，，成等比数列，即3，12，成等比数列，所以，解得.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质与前项和的计算，考查运算求解能力.‎ ‎11.在中，内角所对的边分别为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA，进而利用二倍角余弦公式得到结果.‎ 详解】∵．‎ ‎∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA 即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC ‎∴sinC＝4cosAsinC ‎∵0＜C＜π，sinC≠0．‎ ‎∴1＝4cosA，即cosA，‎ 那么．‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎12.在中,,则是（ ）‎ A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二倍角公式可得，，再根据诱导公式可得，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将化简成，所以，即可求得答案．‎ ‎【详解】因为，‎ ‎，‎ 所以，，即，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用二倍角公式，两角和与差的余弦公式进行三角恒等变换，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13.在等差数列中，，，则公差______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列公差性质列式得结果.‎ ‎【详解】因为，，所以.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.记等差数列的前项和为，若，则________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列求和的性质可得，求得，再利用性质可得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，故 故答案为10‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，熟悉其性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎15.数列满足，则数列的前6项和为_______．‎ ‎【答案】84‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎16.在中，角所对的边分别为，，则____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理将边角关系式中的边都化成角，再结合两角和差公式进行整理，从而得到.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得：‎ 即：‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查李用正弦定理进行边角关系式的化简问题，属于常规题.‎ ‎17.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．‎ ‎【答案】4π ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.‎ ‎【详解】由，解得．．解得．‎ ‎，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．‎ 故答案为：4π．‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.‎ ‎18.在△ABC中,已知30,则B等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形正弦定理得到角，再由三角形内角和关系得到结果.‎ ‎【详解】根据三角形的正弦定理得到，‎ 故得到角，当角时，有三角形内角和为，得到，‎ 当角时，角 ‎ 故答案为 ‎【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ 三、解答题 ‎19.已知数列满足：.‎ ‎（1）证明数列是等比数列，并求数列通项；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由变形得，即，从而可证得结论成立，进而可求出通项公式；（2）由（1）及条件可求出，然后根据分组求和法可得．‎ ‎【详解】（1）证明：因为，‎ 所以．‎ 因为 所以 所以．‎ 又，‎ 所以是首项为，公比为2的等比数列，‎ 所以．‎ ‎（2）解：由（1）可得，‎ 所以 ‎ ‎．‎ ‎【点睛】证明数列为等比数列时，在得到后，不要忘了说明数列中没有零项这一步骤．另外，对于数列的求和问题，解题时要根据通项公式的特点选择合适的方法进行求解，属于基础题．‎ ‎20.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为8，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理，将csinA＝acosC转化为，可得，从而可得角C的大小；(2)利用面积公式直接求解b即可 ‎【详解】（1）由正弦定理得，‎ 因为所以sinA＞0，从而，即，又，所以；‎ ‎(2)由 得b=8‎ ‎【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦定理的应用，面积公式的应用，考查化归思想属于中档题．‎ ‎21.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值.‎ ‎【答案】(1)，；(2)的最大值是，最小值是.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由条件列关于公差与公比方程组，解得，，再根据等差与等比数列通项公式求通项公式（2）化简可得，再根据等比数列求和公式得，结合函数单调性，可确定其最值 试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则 解得，，‎ 所以，.‎ ‎（2）由（1）得，故，‎ 当为奇数时，，随的增大而减小，所以；‎ 当为偶数时，，随的增大而增大，所以，‎ 令，，则，故在时是增函数.‎ 故当为奇数时，；‎ 当为偶数时，，‎ 综上所述，的最大值是，最小值是.‎ ‎22.数列中，，（为常数）.‎ ‎（1）若，，成等差数列，求的值；‎ ‎（2）是否存在，使得为等比数列？并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数，使得{an}为等比数列 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知求得a2，a4，再由-a1，，a4成等差数列列式求p的值；‎ ‎（Ⅱ）假设存在p，使得{an}为等比数列，可得，求解p值，验证得答案．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由a1=2，，得，，‎ 则，，‎ ‎，．‎ 由，，a4成等差数列，得a2=a4-a1，‎ 即，解得：p=1；‎ ‎（Ⅱ）假设存在p，使得{an}为等比数列，‎ 则，即，则2p=p+2，即p=2．‎ 此时，‎ ‎，∴，‎ 而，又，所以，‎ 而，且，‎ ‎∴存在实数，使得{an}为以2为首项，以2为公比等比数列．‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题．‎