【数学】2021届一轮复习人教版（理）25　三角函数的图象与性质 8页

‎　　　　　　　三角函数的图象与性质 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　)‎ A．y＝sin cos 　 B．y＝sin2x C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x A　[y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.]‎ ‎2．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　)‎ A．[－，] B．[0，π]‎ C．[π，] D．[，2π]‎ D　[将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.‎ ‎]‎ ‎3．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)对称，那么|φ|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. A　[由题意得3cos(2×＋φ)＝3cos(＋φ＋2π)＝3cos(＋φ)＝0，‎ 所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.‎ 所以φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，‎ 得|φ|的最小值为.]‎ ‎4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)‎ A．3，－1 B．3，－2‎ C．2，－1 D．2，－2‎ D　[y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x ‎＝－sin2x－2sin x＋1，‎ 令t＝sin x，‎ 则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，‎ 所以ymax＝2，ymin＝－2.]‎ ‎5．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在[－，0]上为减函数，则θ的一个值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. D　[由题意得f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋)．因为函数f(x)为奇函数，所以θ＋＝kπ，k∈Z，故θ＝－＋kπ，k∈Z.当θ＝－时，f(x)＝2sin 2x，在[－，0]上为增函数，不合题意．当θ＝时，f(x)＝－2sin 2x，在[－，0]上为减函数，符合题意．故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．函数y＝cos(－2x)的单调递减区间为________．‎ ‎[kπ＋，kπ＋](k∈Z)　[因为y＝cos(－2x)＝cos(2x－)，‎ 所以令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．]‎ ‎7．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________．‎ 　[由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴ω＝k＋，又ω∈(1，2)，∴ω＝，‎ 从而得函数f(x)的最小正周期为＝.]‎ ‎8．设函数f(x)＝sin(2x＋)．若x1x2＜0，且f(x1)－f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值范围为________．‎ ‎(，＋∞)　[如图，画出f(x)＝sin(2x＋)的大致图象，‎ 记M(0，)，N(，)，则|MN|＝.设点A，A′是平行于x轴的直线l与函数f(x)图象的两个交点(A，A′位于y轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x1，x2，结合图形可知，|x2－x1|＝|AA′|∈(|MN|，＋∞)，即|x2－x2|∈(，＋∞)．]‎ 三、解答题 ‎9．已知f(x)＝sin(2x＋)．‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈[，]时，求函数f(x)的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.‎ ‎(2)当x∈[，]时，≤2x＋≤，‎ 所以－1≤sin(2x＋)≤，‎ 所以－≤f(x)≤1，‎ 所以当x∈[，]时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.‎ ‎10．已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，－cos x)，函数f(x)＝a·b＋.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；‎ ‎(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝a·b＋ ‎＝(sin x，cos x)·(cos x，－cos x)＋ ‎＝sin x·cos x－cos2x＋ ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)．‎ 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋π(k∈Z)，‎ 即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋π(k∈Z)．‎ ‎(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于x＝对称，‎ 则x1＋x2＝，‎ ‎∴cos(x1－x2)＝cos[x1－(－x1)]‎ ‎＝cos(2x1－)＝cos[(2x1－)－]‎ ‎＝sin(2x1－)＝f(x1)＝.‎ ‎1．(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)的图象的一个对称中心为(，0)，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是(　　)‎ A．1 B. C．2 D．π B　[因为函数f(x)＝2sin(ωx＋)的图象的一个对称中心为(，0)，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)，得ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f(x＋)＝f(－x)恒成立，且f()＝1，则实数b的值为(　　)‎ A．－1 B．3‎ C．－1或3 D．－3‎ C　[由f(x＋)＝f(－x)可知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1或b＝3.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；‎ ‎(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．‎ ‎[解]　由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，‎ 所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，‎ 展开整理得sin 2xcos φ＝0，‎ 由已知上式对∀x∈R都成立，‎ 所以cos φ＝0.因为0＜φ＜，所以φ＝.‎ ‎(2)因为f＝，‎ 所以sin＝，即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 又因为0＜φ＜，所以φ＝，‎ 即f(x)＝sin，‎ 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 故f(x)的递增区间为(k∈Z)．‎ ‎1．设函数f(x)＝sin(2x＋)(x∈[0，])，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则2x1＋3x2＋x3的值为(　　)‎ A．π B. C. D. D　[由题意x∈[0，]，则2x＋∈[，]，‎ 画出函数的大致图象，如图所示．‎ 由图可得，当≤a＜1时，方程f(x)＝a恰有三个根．由2‎ x＋＝得x＝，‎ 由2x＋＝得x＝，‎ 由图可知，点(x1，a)与点(x2，a)关于直线x＝对称，点(x2，a)与点(x3，a)关于直线x＝对称，‎ 所以x1＋x2＝，x2＋x3＝，‎ 所以2x1＋3x2＋x3＝2(x1＋x2)＋(x2＋x3)＝.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝a(2cos2＋sin x)＋b.‎ ‎(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值．‎ ‎[解]　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b ‎＝asin(x＋)＋a＋b.‎ ‎(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin(x＋)＋b－1，‎ 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．‎ ‎(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，‎ ‎∴－≤sin(x＋)≤1.依题意知a≠0，‎ ‎①当a＞0时，∴a＝3－3，b＝5；‎ ‎②当a＜0时，∴a＝3－3，b＝8.‎ 综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.‎