【数学】河南省九师联盟2020届高三11月质量检测巩固卷试题（理）（解析版） 18页

河南省九师联盟2020届高三11月质量检测巩固卷 数学试题（理）‎ 一、选择题 ‎1.若集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由集合，‎ 又因为，所以或.‎ 故选B.‎ ‎2.已知向量，若，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得，解得.‎ 故选B.‎ ‎3.下列说法正确的个数为(　　)‎ ‎①若，则； ②，，则；‎ ‎③若，，则； ④若，，则.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】①,根据不等式的性质,可得,故①正确；‎ ‎②当,时,满足,且设,,满足,此时,故②不正确；‎ ‎③当,时,满足,且设,,满足,此时,故③不正确；‎ ‎④,,对两边同时除以得；‎ 又,,故④正确；‎ 综上,正确的为①④,共2个 故选B ‎4.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】令切点坐标为，且，，，∴.‎ ‎5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，，，则 ‎ B. 若，，，则 C. 若，，，则 ‎ D. 若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】A中，若，，，则，也有可能平行，故A错；‎ B中，若，，，则，，但，可能异面、平行，故B错；‎ C中，若，，，则，可能平行或相交，故C错；‎ D中，若，，则，又，所以，即D正确．‎ 故选D．‎ ‎6.若不等式与关于x的不等式的解集相同，则的解集是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，‎ 则或.由题意可得 则对应方程 的两根分别为，‎ 则的解集是 故选;D.‎ ‎7.函数的最小正周期是，若将该函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则函数的解析式为（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数的最小正周期是.‎ 所以，解得．所以．‎ 将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到图象所对应的函数解析式为，‎ 由此函数图象关于直线对称，得，‎ 即.‎ 由，得，‎ 所以函数的解析式为．‎ 故选C．‎ ‎8.若关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），‎ ‎∴x1+x2=4a，且x1x2=3a2；‎ ‎∴=4a+≥2=，‎ 当且仅当4a=，即a=时“=”成立；‎ 故所求的最小值是．‎ 故选C．‎ ‎9.在数列中，，，则的通项公式为（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得，‎ 所以 将上述个式子相加，整理的 又因为，所以．‎ 故选A．‎ ‎10.函数（且）的图象可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.‎ ‎11.已知定义在上的函数在上是增函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】是奇函数.‎ 函数图象对称中心为．‎ 函数图象的对称中心为且．‎ 又函数在上是增函数.‎ 函数在上为增函数.‎ ‎.‎ 由对称性，．‎ 画出函数图象的草图（如图）．‎ 结合图象可得的解集是．‎ 故选C．‎ ‎12.如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，设正方体棱长为1，．‎ 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．‎ 则，，所以．‎ 在正方体中，可证平面，‎ 所以是平面的一个法向量．‎ 所以．‎ 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．‎ 所以.‎ 故选A．‎ 二、填空题 ‎13.已知在等差数列中，，，则______．‎ ‎【答案】2019.‎ ‎【解析】因为，，，所以．‎ 故答案为：2019.‎ ‎14.若命题“”为假命题，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，可得恒成立，‎ 即解得.‎ 故答案为:‎ ‎15.设实数x，y满足约束条件则目标函数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出可行域，由图可知，当直线 过点时，取最小值，则；‎ 当直线过点时，‎ 取最大值，则，‎ 故目标函数的取值范围是.‎ 故答案为: ‎ ‎16.已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球面上，且，则三棱锥体积的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设为球心，则，‎ 可得在底面ABC的射影为的外心.‎ 由，‎ 可得是以斜边的直角三角形，‎ O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，‎ 则.‎ 当P，O，M三点共线时，三棱锥的体积最大，‎ 此时体积.‎ 故答案为: ‎ 三、解答题 ‎17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若B是锐角，，求的面积.‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ 解得或.‎ 又.‎ ‎∴或.‎ ‎（2）∵B是锐角，∴.‎ 由余弦定理，‎ 得，‎ 又，∴.‎ ‎∴的面积.‎ ‎18.2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆），需另投入成本万元，且 ‎，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.‎ ‎（1）求出2019年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额成本）‎ ‎（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.‎ 解：（1）由已知有当时，‎ 当时，，‎ 即，‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，取最大值，‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 又 ‎ 故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.‎ ‎19.已知函数，将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.‎ ‎（1）若，求函数的解析式；‎ ‎（2）若在区间上的单调增函数，求的取值范围.‎ 解：（1）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，‎ 得到图象对应的函数解析式为.‎ 当时，‎ 函数.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎∴令，‎ 解得，‎ 可得函数单调递增区间为.‎ ‎∵函数在上的单调增函数，‎ ‎∴‎ 解得.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎20.已知数列，的前项和分别为，，且 ‎，，．‎ ‎（1）求，的通项公式；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎（1）解：∵‎ ‎∴．‎ 故为等比数列，为等差数列，公差和公比均为．‎ 由，得，解得或（舍去）．‎ 故，．‎ ‎∴为以2为首项，2为公比的等比数列，；‎ 为以1为首项，2为公差的等差数列，．‎ ‎（2）证明：∵，∴．‎ 故 ‎．即证．‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连接．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角的正切值．‎ 解：（1）底面是矩形，平面 ‎，，‎ 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 因为是的一个三等分点（靠近点），所以，．‎ 因为是等腰三角形，且，所以．‎ 不妨设，则，，，．‎ 又由平行线分线段成比例，得，所以．‎ 所以点，，，，‎ 则，．‎ 设异面直线与所成角，‎ 则．‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎（2）建系，求点的坐标同（1），则，．‎ 设平面的法向量为，则，得．‎ 令，得平面的一个法向量为；‎ 又易知平面的一个法向量为．‎ 设二面角的大小为，由题意得为锐角，‎ 所以，则．‎ 所以二面角的正切值为．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，证明：函数在上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域是.‎ 求导得. ‎ 设，则与同号.‎ 所以，若，则对任意恒成立.‎ 所以函数在上单调递减. ‎ 又，‎ 所以当时，满足.即当时，满足.‎ 所以函数在上单调递减. ‎ ‎（Ⅱ）①当时，函数上单调递减.‎ 由，又，时，，‎ 取，则，‎ 所以一定存在某个实数，使得. ‎ 故在上，；在上，.‎ 即在上，；在上，.‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.此时函数只有1个极值点，不合题意，舍去； ‎ ‎②当时，令，得；令，得，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 故函数的单调情况如下表：‎ ‎0‎ ‎＋‎ 极小值 要使函数在内存在两个极值点，则需满足，即，‎ 解得又，，‎ 所以. ‎ 此时，，‎ 又，； ‎ 综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎