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  • 2021-06-24 发布

甘肃省天水市甘谷县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题

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甘谷一中2019~2020学年第一学期高二期末考试 数学试题(文科)‎ 考生注意:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.‎ ‎2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选岀答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;第Ⅱ卷请用直径0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.‎ ‎3.本卷命题范围:选修1-1、选修1-2.‎ 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“”的否定是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 全称命题的否定是特称命题,据此选择.‎ ‎【详解】根据全称命题否定的转换原则,‎ 其否定为:.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定,注意结论也要否定.‎ ‎2.已知,是两个变量,下列四个关系中,,呈负相关的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个变量,的散点图,即可确定.‎ ‎【详解】根据的散点图可知,,不呈负相关.选项A,排除.‎ 根据的散点图可知,,不呈负相关.选项B,排除.‎ 根据的散点图可知,,呈正相关.选项C,排除.‎ 根据的散点图可知,,呈负相关.选项D,成立.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查变量的相关性,数形结合思想是解决本题的关键,属于较易题.‎ ‎3.“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对充分性和必要性都进行推证,即可得到结论.‎ ‎【详解】当时,存在不满足,‎ 当时,一定满足;‎ 综上:是的必要不充分条件.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查充要条件的判断,属基础题.‎ ‎4.函数在区间上的最大值为( )‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导,讨论单调性,求其最值即可.‎ ‎【详解】,故是单调增函数;‎ 则.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数在区间上的最值,属基础题.‎ ‎5.已知:抛物线的准线方程为;:双曲线的渐近线方程为.下列命题中为真命题的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别分析两个命题的真假,再根据或且非的真假判定原则进行选择.‎ ‎【详解】抛物线的准线方程为,故命题为真命题;‎ 双曲线的渐近线方程为,故命题为假命题,则为真命题;‎ 故为真命题.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题真假的判定,涉及抛物线方程及双曲线方程,属综合基础题.‎ ‎6.某公司在2014~2018年的收入与支出情况如下表所示:‎ 收入(亿元)‎ ‎2.2‎ ‎2.4‎ ‎3.8‎ ‎5.2‎ ‎6.0‎ 支出(亿元)‎ ‎0.2‎ ‎1.5‎ ‎2.0‎ ‎2.5‎ ‎3.8‎ 根据表中数据可得回归直线方程为,依此估计如果2019年该公司收入为8亿元时的支出为( )‎ A. 4.502亿元 B. 4.404亿元 C. 4.358亿元 D. 4.856亿元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求,,根据,求解,将代入回归直线方程为,求解即可.‎ ‎【详解】,‎ 即 令,则 故选:D ‎【点睛】本题考查回归分析,样本中心点满足回归直线方程,是解决本题的关键.属于中档题.‎ ‎7.若函数的极值点为-1,则的零点为( )‎ A. -2 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由极值点求得参数,再令解方程即可.‎ ‎【详解】因为,故 又因为极值点为-1,故 解得;‎ 故,令 解得.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查极值点的性质,以及零点的意义,属基础题.‎ ‎8.某算法的程序框图如图所示,则输出S为( )‎ A. B. ‎0 ‎C. -1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图,执行循环体,直至满足输出条件即可.‎ ‎【详解】由已知,‎ 因为,‎ 即每相邻八项之和为0,也即周期为8.‎ 因为,‎ 所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查计算程序框图的输出结果,涉及循环体的执行.‎ ‎9.若复数z是方程的一个根,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出复数,代入方程进行求解即可.‎ ‎【详解】令,‎ 有,‎ 整理为,‎ 有,‎ 解得:,‎ 则.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题综合考查复数的运算,涉及复数为实数的转化关系,属复数基础题.‎ ‎10.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为Q,若,则双曲线的离心率为( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得点的横坐标,代入抛物线得其纵坐标,再利用点在双曲线上,点的坐标满足双曲线方程,从而进行求解.‎ ‎【详解】因为抛物线的焦点为,设,‎ 则,解得,‎ 又点在抛物线上,故.‎ 点在双曲线上,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以,,‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义,以及双曲线离心率的求解,属综合基础题.‎ ‎11.观察下列各式:,,,…,则的末四位数字为( )‎ A. 3125 B. ‎5625 ‎C. 0625 D. 8125‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求,寻找周期性规律,结合周期可求.‎ ‎【详解】可以看出后四位呈周期出现,且周期为4,,所以的末四位数字为8125,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳推理,一般是利用所给项的特点推测目标项的特点,注意规律的总结.‎ ‎12.设函数,若集合中恰有一个元素,则实数a的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行“半分离参数”的转化,将问题转变为两个函数图像的问题,利用导数研究函数的单调性,数形结合,解决问题.‎ ‎【详解】记,, ‎ 依题意,恰有一个整数使得.‎ ‎∵在上递增,‎ 又,, ‎ ‎∴,,‎ 故在上递减,在上递增.‎ ‎(1)当,时,‎ ‎,,,‎ ‎,不符合题意;‎ ‎(2)当,时,‎ ‎∵过定点,且,‎ 由的单调性,有,‎ ‎∴,‎ 综上,实数a的取值范围为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数解决能成立问题,本题的关键步骤是半分离参数,同时也要注意数形结合.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知复数,则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的除法化简复数,再求其共轭复数即可.‎ ‎【详解】因为复数 故其共轭复数:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算,以及共轭复数的定义,属基础题.‎ ‎14.若椭圆的离心率为,则其长轴长为____________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据离心率公式,列方程求参数即可.‎ 详解】由椭圆方程可得,‎ 由离心率公式 解得,则,,‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程中的求解,属基础题.‎ ‎15.设函数,观察:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ 根据以上事实,由归纳推理可得:‎ 当且时,________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合已知条件,观察分子和分母随着项数的变化情况,即可求得结果.‎ ‎【详解】根据已知,分子随着项数不发生变化;‎ 分母上常数项为等比数列,的系数为等比数列减1,‎ 故由此推理得:=‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理,属基础题;此类问题,重在观察规律.‎ ‎16.过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于两点,且l与准线交于点C,若,则_____________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义,结合三角形相似求解比值关系.‎ ‎【详解】过点A作AH垂直于准线,垂足为H,‎ 过点B作BM垂直于准线,垂足为M,如下图所示:‎ 因为,故,‎ 即 因为,以及抛物线定义,‎ 则 故可得 故答案为:3.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义,涉及三角形相似,属基础题.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.‎ 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.‎ ‎17.设复数.‎ ‎(1)若为纯虚数,求a的值;‎ ‎(2)若,求a的值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用复数乘法法则进行化简,令实部为零,虚部不为零,求得参数;‎ ‎(2)利用(1)中化简的结果,利用模长公式求得参数.‎ ‎【详解】(1),‎ 由为纯虚数,‎ 得,,‎ 所以.‎ ‎(2)由,‎ 得,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘法法则,涉及复数的模长计算、纯虚数的定义.‎ ‎18.过抛物线的焦点F作平行于x轴的直线l,且l与抛物线交于两点,且.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)若直线与抛物线交于两点,求.‎ ‎【答案】(1);(2)-24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由通径可知参数,即可写出抛物线方程;‎ ‎(2)联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理,进行求解.‎ ‎【详解】(1)由题可知通径,‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎(2)由,得,‎ 设,‎ 则.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ 故 ‎【点睛】本题考查抛物线方程的求解,以及利用直线与抛物线相交,根据韦达定理,求向量的数量积.属抛物线基础题.‎ ‎19.为了了解某高校大学生是否愿意做志愿者.某调查机构从该高校访问了80人,经过统计,得到如下丢失数据的列联表:(,表示丢失的数据)‎ 无意愿 有意愿 总计 男 a b ‎40‎ 女 ‎5‎ d A 总计 ‎25‎ B ‎80‎ ‎(1)求出的值,并判断:能否有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关;‎ ‎(2)若表中无意愿做志愿者的5个女同学中,3个是大学三年级同学,2‎ 个是大学四年级同学.现从这5个同学中随机选2同学进行进一步调查,求这2个同学是同年级的概率.‎ 附:参考公式及数据:‎ ‎,其中 ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.708‎ l.323‎ ‎2.706‎ ‎6635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1),有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据表格中的数据,即可求得5个未知数的值;计算,结合参考数据求解;‎ ‎(2)用列举法求得全部可能,以及满足题意的可能,用古典概型概率计算公式求解.‎ ‎【详解】(1)由表得, ‎ ‎∵的观测值 ‎∴有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关 ‎(2)记3个大三同学分别为,2个大四同学分别为,‎ 则从中抽取2个的基本事件有:‎ 共10个 其中抽取的2个是同一年级的基本事件有4个: ‎ 则所求概率为.‎ ‎【点睛】本题考查的计算,以及古典概型的求解,属概率统计基础题.‎ ‎20.(1)求证:.‎ ‎(2)已知,用分析法证明:.‎ ‎【答案】(1)证明见详解;(2)证明见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用分析法,不等式的两边平方后,进行比较大小,从而问题得证;‎ ‎(2)根据分析法的证明步骤,利用不等式的基本性质,即可证明.‎ ‎【详解】(1)证明:因为和都是正数,‎ 所以要证,‎ 只需证,‎ 即证,‎ 只需证,‎ 只需证,‎ 又因为成立,‎ 所以成立.即证.‎ ‎(2)若证.‎ 即证,‎ 即证,‎ 即证.‎ 因为,所以恒成立,‎ 故原不等式成立.即证.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明,涉及不等式证明的方法(分析法),属基础题.‎ ‎21.已知椭圆经过点,其左焦点的坐标为.过的直线交椭圆于两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)当线段的中点的横坐标为时,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据椭圆上经过的一点,以及焦点坐标,待定系数,求出即可;‎ ‎(2)设出直线方程,联立椭圆,由韦达定理求得中点横坐标,求出直线斜率即可.‎ ‎【详解】(1)由椭圆过点 得,‎ 由焦点的坐标为 得,,‎ 所以, ‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设点A的坐标为,B的坐标为,的斜率为k(k显然存在).‎ 由,‎ 得,‎ 所以,‎ 中点的横坐标,‎ 所以,‎ 则的方程为,‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解,以及韦达定理的使用,属椭圆基础题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)若,求曲线在处的切线方程;‎ ‎(2)若,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用,求得参数,再根据导数的几何意义求切线的方程;‎ ‎(2)求导,对含参函数的单调性进行讨论,求得最大值,只需最大值小于等于零即可.‎ ‎【详解】(1)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∴曲线在处的切线方程为 即.‎ ‎(2)①当时,,符合题意;‎ 又 ‎②当时,令,得(负根舍去),‎ 令,得;令得.‎ ‎∴在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,∴‎ ‎③当时,在上单调递减,‎ 且与的图象在上只有一个交点,‎ 设此交点为,‎ 则当时,.‎ 故当时,不满足. ‎ 综上,a取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,以及利用导数,由恒成立问题,求参数的范围,属导数中档题.‎

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