【数学】2019届一轮复习人教A版（文）4-7解三角形的综合应用学案 16页

‎ 4.7 解三角形的综合应用 最新考纲 考情考向分析 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.‎ 以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.‎ ‎ ‎ 实际测量中的常见问题 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求竖直高度 底部可达 ‎∠ACB＝α，BC＝a 解直角三角形AB＝atanα 底部不可达 ‎∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a 解两个直角三角形AB＝ 求水平距离 山两侧 ‎∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a 用余弦定理 AB＝ 河两岸 ‎∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a 用正弦定理AB＝ 河对岸 ‎∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a 在△ADC中，AC＝在△BDC中，BC＝；‎ 在△ABC中，应用余弦定理求AB 知识拓展 ‎ 实际问题中的常用术语 ‎1．仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．‎ ‎2．方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．‎ ‎3．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．‎ ‎4．坡度(又称坡比)‎ 坡面的垂直高度与水平长度之比．‎ 题组一 思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )‎ ‎(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( × )‎ ‎(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ )‎ ‎(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P11例1]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.‎ 答案 50 解析 由正弦定理得＝，又∵B＝30°，‎ ‎∴AB＝＝＝50(m)．‎ ‎3．[P13例3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝______米．‎ 答案 a 解析 由题图可得∠PAQ＝α＝30°，‎ ‎∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，‎ 又∠PBC＝γ＝60°，‎ ‎∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，‎ ‎∴＝，∴PB＝a，‎ ‎∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ ‎＝a×sin60°＋asin15°＝a.‎ 题组三 易错自纠 ‎4．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于( )‎ A．10° B．50°‎ C．120° D．130°‎ 答案 D ‎5.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点 的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.‎ 答案 a 解析 由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，‎ 所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.‎ ‎6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________km/h.‎ 答案 60° 20 解析 如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20，∠COy＝30°＋30°＝60°.‎ 题型一 求距离、高度问题 ‎ ‎1．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )‎ A.km B.km C.km D．2km 答案 A 解析 如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，∴AC＝2×＝(km)．‎ ‎2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝________.‎ 答案 解析 由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ ‎∴AC＝＝.‎ 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝.‎ 故山高CD为.‎ ‎3．(2018·枣庄模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8nmile.此船的航速是______nmile/h.‎ 答案 32‎ 解析 设航速为vnmile/h，‎ 在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，‎ 由正弦定理得＝，则v＝32.‎ 思维升华求距离、高度问题的注意事项 ‎(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．‎ 题型二 求角度问题 典例 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________．‎ 答案 解析 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，‎ 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，‎ 得BC＝20.‎ 由正弦定理，得＝，‎ 即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，‎ 则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.‎ 思维升华解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义；‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．‎ 跟踪训练 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的______的方向上．‎ 答案 北偏西10°‎ 解析 由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，‎ 又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，‎ ‎∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上．‎ 题型三 三角形与三角函数的综合问题 典例(2018·石家庄模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cosB－‎ bcosC＝0.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)设函数f(x)＝2sinxcosxcosB－cos2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．‎ 解 (1)因为(2a－c)cosB－bcosC＝0，‎ 所以2acosB－ccosB－bcosC＝0，‎ 由正弦定理得2sinAcosB－sinCcosB－cosCsinB＝0，‎ 即2sinAcosB－sin(C＋B)＝0，‎ 又C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sinA.‎ 所以sinA(2cosB－1)＝0.在△ABC中，sinA≠0，‎ 所以cosB＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为B＝，‎ 所以f(x)＝sin2x－cos2x＝sin，‎ 令2x－＝2kπ＋(k∈ )，得x＝kπ＋(k∈ )，‎ 即当x＝kπ＋(k∈ )时，f(x)取得最大值1.‎ 思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．‎ 跟踪训练 设f(x)＝sinxcosx－cos2.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．‎ 解 (1)由题意知f(x)＝－ ‎＝－＝sin2x－.‎ 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈ , ‎ 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈ ；‎ 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈ , ‎ 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈ .‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈ )；‎ 单调递减区间是(k∈ )．‎ ‎(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝，‎ 由题意知A为锐角，所以cosA＝.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，‎ 即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．‎ 因此bcsinA≤.‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ 函数思想在解三角形中的应用 典例(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．‎ 思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．‎ 规范解答 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则[1分]‎ S＝ ‎＝＝.[3分]‎ 故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.‎ 即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分]‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇．‎ 则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，[8分]‎ 故v2＝900－＋.∵0