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- 2021-06-24 发布
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专题限时集训(一) 三角函数的图象和性质
[专题通关练]
(建议用时:30分钟)
1.已知sin α-cos α=,α∈(0,π),则tan α=( )
A.-1 B.- C. D.1
A [由得2cos2α+2cos α+1=0,
即(cos α+1)2=0,∴cos α=-.
又α∈(0,π),∴α=,∴tan α=tan =-1.]
2.函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
B [f(x)=1-2sin2x+6sin x=-22+,当sin x=1时,f(x)取得最大值5,故选B.]
3.(2019·长沙模拟)已知将函数f(x)=tan(2<ω<10)的图象向右平移个单位之后与f(x)的图象重合,则ω=( )
A.9 B.6 C.4 D.8
B [将函数f(x)=tan(2<ω<10)的图象向右平移个单位后得函数y=tan=tan的图象,结合题意得-=kπ,k∈Z,即ω=-6k,k∈Z.因为2<ω<10,所以ω=6.]
4.[一题多解]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象在y轴左侧且离y轴最近的最高点为,最低点为,则函数f(x
)的解析式为( )
A.f(x)=3sin
B.f(x)=3sin
C.f(x)=3sin
D.f(x)=3sin
A [法一:设函数f(x)的最小正周期为T,根据相邻最高点与最低点的横坐标的关系,有=--=,∴T=π,∴|ω|==2.又由三角函数图象最高点的纵坐标为3,得A=3,∴f(x)=3sin(2x+φ)或f(x)=3sin(-2x+φ).将点代入函数f(x)=3sin(2x+φ)中,得3sin=3,解得φ-=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ+π(k∈Z),而|φ|<,∴φ无解;将点代入函数f(x)=3sin(-2x+φ)中,得3sin=3,解得φ+=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ+(k∈Z),又|φ|<,∴φ=,即f(x)=3sin.故选A.
法二:将x=-代入函数f(x)=3sin中,得f(x)=3,即点在函数f(x)=3sin的图象上;将x=-代入函数f(x)=3sin中,得f(x)=-3,即点不在函数f(x)=3sin的图象上;将x=-代入函数f(x)=3sin中,得f(x)=,即点不在函数f(x)=3sin的图象上,将x=-代入函数f(x)=3sin中,得f(x)=-,即点不在函数f(x)=3sin的图象上.故选A.]
5.已知函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=时取得最小值,则f(x)在[0,π]
上的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
A [因为0<θ<π,所以<+θ<,又f(x)=cos(x+θ)在x=时取得最小值,所以+θ=π,θ=,所以f(x)=cos.由0≤x≤π,得≤x+≤.由π≤x+≤,得≤x≤π,所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间是,故选A.]
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意的x都有f=f,则f=________.
±2 [函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意的x都有f=f,则其图象的对称轴为x=,所以f=±2.]
7.[一题多解](2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则cos(α-β)=________.
- [法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z).
∵sin α=,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=(k∈Z).
当cos α==时,cos β=-,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.
当cos α=-=-时,cos β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.
综上,cos(α-β)=-.
法二:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z).
∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α,cos β=cos[(2k+1)π-α]=-cos α,k∈Z.
当sin α=时,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=-(1-sin2α)+sin2α=2sin2α-1=2×-1=-.]
8.(2019·桂林模拟)若函数f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1,则ω=________.
[因为0<ω<1,0≤x≤,所以0≤ωx<.所以f(x)在区间上单调递增,则f(x)max=f=2sin=1,即sin=.又0≤ωx<,所以=,解得ω=.]
[能力提升练]
(建议用时:15分钟)
9.函数f(x)=2sin2-cos 2x的最大值为( )
A.2 B.3
C.2+ D.2-
B [f(x)=1-cos 2-cos 2x=sin 2x-cos 2x+1=2sin+1,可得f(x)的最大值是3.]
10.[易错题](2019·西安模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则
A.f(x)的图象关于直线x=-对称
B.f(x)的图象关于点对称
C.若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(-2,-]
D.将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象
C [根据题中所给的图象,可知函数f(x)的解析式为f(x)=2sin,∴2×+=-π,从而f(x)的图象关于点对称,而不是关于直线x=-对称,故A不正确;2×+=-,∴f(x)的图象关于直线x=-对称,而不是关于点对称,故B不正确;当x∈时,2x+∈,结合正弦函数图象的性质,可知若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(-2,-],故C正确;根据图象平移变换的法则,可知应将y=2sin的图象向左平移个单位长度得到f(x)的图象,故D不正确.故选C.]
11.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
[解] (1)由sin=,cos=-,
f=2-2-2××,
得f=2.
(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得
f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以,f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
12.设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3,已知f=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.
[解] (1)因为f(x)=sin+sin,
所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx
=sin ωx-cos ωx
=
=sin.
由题设知f=0,
所以-=kπ,k∈Z,
故ω=6k+2,k∈Z.又0<ω<3,所以ω=2.
(2)由(1)得f(x)=sin,
所以g(x)=sin
=sin.
因为x∈,所以x-∈,
当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.
题号
内容
押题依据
1
三角函数的对称性、单调性和最值
三角函数的性质是每年高考的热点,每年均有考查,本题将正弦函数的周期性、单调性、最值、对称性等有机结合,较好的考查了学生的直观想象及逻辑推理等核心素养
2
三角函数图象变换
给出尽可能简单的信息,将函数零点、最小正周期、图象变换等多个知识点结合起来,考查学生的直观想象及逻辑推理等核心素养
【押题1】 设函数f(x)=sin,下列结论中正确的是( )
A.f(x)的最大值等于2
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x=-对称
D.f(x)的图象关于点对称
C [由正弦函数的性质可以得到f(x)的最大值等于,所以选项A是错误的;
计算可得函数f(x)的最小正周期为π,f(x)在区间上先增后减,所以选项B是错误的;
结合图象(图略)并分析可知,当x=-时,f(x)取得最小值,f(x)的图象关于直线x=-对称,故选项C是正确的;
分析可知,x=不是f(x)的零点,所以选项D是错误的.故选C.]
【押题2】 [新题型]如图所示,函数y=sin(ωx-1)(0<ω<2)的图象与x轴交于点P,将函数的图象平移|m|个单位长度后得到函数y
=cos ωx的图象,则ω=________,|m|的最小值为________.
1+ [将点P代入y=sin(ωx-1),得sin=0,又0<ω<2,解得ω=,所以y=sin的最小正周期是4.
将y=sin的图象向左平移个单位长度,
得sin=cosx,而且此时平移的距离最短.]