高中数学北师大版新教材必修一同步课件：2-1　生活中的变量关系 37页

第二章　函　　数 §1 　生活中的变量关系 必备知识 · 自主学习 导思 1. 两个变量之间一定是函数关系吗 ? 2. 什么是分段函数 ? 1. 函数关系 (1) 定义 : 如果在一个变化过程中 , 有两个变量 x 和 y , 对于变量 x 的 _______ 值 , 变 量 y 都有 _________ 的值和它对应 , 那么 y 就是 x 的函数 ; (2) 本质 : 刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具 . 每一个 唯一确定 2. 分段函数 形如 的函数 , 一般叫作分段函数 . 【 思考 】 分段函数是一个函数还是多个函数 ? 提示 : 一个函数 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 人的身高和年龄之间是依赖关系 . ( 　　 ) (2) 常量与变量之间不能构成依赖关系 , 也不能构成函数关系 . ( 　　 ) (3) 家庭收入与支出之间的关系是依赖关系 . ( 　　 ) 提示 : (1)√. 人的 身高和年龄之间是依赖关系 . (2)×. 常量与变量之间不能构成依赖关系 , 但能构成函数关系 , 如常数函数 . (3)√. 家庭收入与支出之间具有依赖关系 . 2. 俗语“名师出高徒”说明 ( 　　 ) A. 名师与高徒之间具有依赖关系 B. 名师与高徒之间具有函数关系 C. 名师是高徒的函数 D. 高徒是名师的函数 【 解析 】 选 A. 说明名师与高徒之间存在依赖关系 . 3.( 教材二次开发 : 习题改编 ) 下列各量间不存在依赖关系的是 ( 　　 ) A. 人的年龄与他 ( 她 ) 拥有的财富 B. 某人的体重与其饮食情况 C. 水稻的亩产量与施肥量 D. 某人的衣着价格与视力 【 解析 】 选 D. 衣着价格与视力不存在依赖关系 .ABC 中变量之间有一定的影响 , 有依赖关系 . 关键能力 · 合作学习 类型一　两个变量关系的判定 ( 数学抽象、直观想象 ) 【 典例 】 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系 ? ① 圆的面积和它的半径 ; ② 速度不变的情况下 , 汽车行驶的路程与行驶时间 ; ③ 家庭的食品支出与电视价格之间的关系 ; ④ 正三角形的面积和它的边长 . 【 思路导引 】 结合依赖关系与非依赖关系的特征分析判断 . 【 解析 】 ① 中 , 圆的面积 S 与半径 r 之间存在 S=πr 2 的关系 ; ② 中 , 在速度不变的情况下 , 行驶路程 s 与行驶时间 t 之间存在正比例关系 ; ③ 中 , 两个变量不存在依赖关系 . ④ 中 , 正三角形的面积 S 与其边长 a 之间存在 S= a 2 的关系 . 综上①②④中两个 变量间都存在依赖关系 . 【 解题策略 】 依赖关系的判断方法与步骤 　对于两个变量 , 如果一个变量的改变影响另一个变量 , 则这两个变量具有依赖关系 , 否则不具有依赖关系 . 【 跟踪训练 】 下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系 ? (1) 将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却 , 并将一温度计放入茶杯中 , 每隔一段时间 , 观察温度计示数的变化 , 冷却时间与温度计示数的关系 ; (2) 商品的价格与销售量 ; (3) 某同学的学习时间与其学习成绩 . 【 解析 】 (1) 冷却时间与温度计示数具有依赖关系 ; (2) 一般情况下 , 商品的价格越低销售量越大 , 是依赖关系 ; (3) 某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系 , 但学习成绩并不完全由学习时间而定 , 还受其他因素的影响 , 如这位同学的学习效率、智力等 , 因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系 . 综上所述 ,(1)(2)(3) 均存在依赖关系 . 类型二　函数关系的判定 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 【 典例 】 1.( 多选题 )2019 年 10 月 1 日上午 , 喜悦的豪情在北京天安门广场倾情绽放 , 新中国以一场盛大阅兵庆祝 70 岁生日 , 同时文都桐城也以自己的方式庆祝祖国七十华诞 , 此时发生在桐城的下列两个变量之间的关系是函数关系的是 ( 　　 ) A. 出租车车费与出租车行驶的里程 B. 商品房销售总价与商品房建筑面积 C. 铁块的体积与铁块的质量 D. 人的身高与体重 2.(2020· 温州高一检测 ) 以下形式中 , 不能表示“ y 是 x 的函数”的是 ( 　　 ) A. B. C.y=x 2 D.(x+y)(x-y)=0 x 1 2 3 4 y 4 3 2 1 【 思路导引 】 按照函数的定义进行判断 . 【 解析 】 1. 选 ABC. 对于 A 选项 , 出租车车费实行分段收费 , 与出租车行驶里程成分段函数关系 ; 对于 B 选项 , 商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积 , 商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系 ; 对于 C 选项 , 铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积 , 铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系 ; 对于 D 选项 , 有些人又高又瘦 , 有些人又矮又胖 , 人的身高与体重之间没有必然联系 , 因人而异 ,D 选项中两个变量之间的关系不是函数关系 . 2. 选 D. 根据函数的定义 , 每个 x 都有唯一的 y 和它对应 , 从而判断选项 A,B,C 都表示 “ y 是 x 的函数 ” ; 因为 (x+y)(x-y)=x 2 -y 2 =0, 所以 y 2 =x 2 , 所以任一非零实数 x 都有两个 y 与之对应 ,(x+y)(x-y)=0 不能表示 “ y 是 x 的函数 ” . 【 解题策略 】 关于函数关系的判定 　函数关系是一种两个变量之间确定的依赖关系 , 判定函数关系的关键是准确把握函数的定义 , 理解“变量 x 的每一个值 , 变量 y 都有唯一确定的值和它对应” . 同时也是判定函数关系的依据 . 【 跟踪训练 】 下列变量间的关系是函数关系的是 ( 　　 ) A. 匀速航行的轮船在 2 小时内航行的路程 B. 某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C. 正方形的面积 S 与其边长 a 之间的关系 D. 光照时间和苹果的亩产量 【 解析 】 选 C.A 是常量 ,B 是依赖关系 ,C 是函数关系 ,D 是依赖关系 . 类型三　函数 ( 依赖 ) 关系的应用 ( 逻辑推理、直观想象 ) 　角度 1 　变量关系的图象表示  【 典例 】 大家都听说过“龟兔赛跑”的故事 : 领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟 , 骄傲起来 , 睡了一觉 . 当它醒来时 , 发现乌龟快到终点了 , 于是急忙追赶 , 但为时已晚 , 乌龟还是先到达了终点 , 用 S 1 ,S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程 ,t 为时间 , 则下列图象中与故事情节相吻合的是 ( 　　 ) 【 思路导引 】 利用乌龟、兔子奔跑的路程随时间的变化特征判断 . 【 解析 】 选 D.A. 此函数图象中 ,S 2 先达到最大值 , 即兔子先到终点 , 不符合题意 ;B. 此函数图象中 ,S 2 第 2 段随时间增加其路程一直保持不变 , 与“当它醒来时 , 发现乌龟快到终点了 , 于是急忙追赶”不符 , 不符合题意 ;C. 此函数图象中 ,S 1 ,S 2 同时到达终点 , 不符合题意 ;D.S 1 一直增加 ;S 2 有三个阶段 ,1 、增加 ;2 、睡了一觉 , 不变 ;3 、当它醒来时 , 发现乌龟快到终点了 , 于是急忙追赶 , 增加 ; 但乌龟还是先到达终点 , 即 S 1 在 S 2 的上方 . 符合题意 . 【 变式探究 】 若将本例的条件变为“乌龟和兔子变成了好朋友 , 兔子跑到中途后停止 , 并和乌龟同时到达终点” , 那么哪个图象吻合这个故事情节 ? 【 解析 】 选 C. 乌龟和兔子到达终点所用的时间相同 , 奔跑的路程相同 , 在中途兔子的奔跑路程有一段时间不增加 , 结合上述特征 , 应选择 C. 　角度 2 　变量关系解释实际问题  【 典例 】 如图是一同学骑自行车出行的图象 , 从图中得到的正确信息是 ( 　　 ) A. 整个出行过程中的平均速度为 km/h B. 前 20 分钟的速度比后半小时的速度慢 C. 前 20 分钟的速度比后半小时的速度快 D. 从起点到达终点 , 该同学共用了 50 分钟 【 思路导引 】 分析图中所给出的图象 , 利用图象中的数据通过观察、计算判断 . 【 解析 】 选 C. 对于 A, 因为平均速度为 =7 km/h, 故 A 不正确 . 对于 B, 前 20 分钟的 速度为 km/min, 后半小时的速度为 km/min, 因为 , 故 B 不 正确 ,C 正确 , 而 D 显然不正确 . 【 解题策略 】 关于变量关系的应用 　利用图象表示两个变量的依赖关系更加直观 , 更能反映两个变量相互影响的变化趋势 . 解题时注意关注图象的上升、下降 , 增加减小的快慢等特征 . 还要注意利用图象中数据 . 【 题组训练 】 1. 下列说法不正确的是 ( 　　 ) A. 依赖关系不一定是函数关系 B. 函数关系是依赖关系 C. 如果变量 m 是变量 n 的函数 , 那么变量 n 也是变量 m 的函数 D. 如果变量 m 是变量 n 的函数 , 那么变量 n 不一定是变量 m 的函数 【 解析 】 选 C. 由依赖关系及函数关系的定义知 A,B 正确 ; 对于 C,D, 如 m=n 2 , 则 n=± , 不是函数关系 , 故 C 错误 ,D 正确 . 2. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程 . 如图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况 , 下列叙述中正确的是 ( 　　 ) A. 消耗 1 升汽油 , 乙车最多可行驶 5 千米 B. 以相同速度行驶相同路程 , 三辆车中 , 甲车消耗汽油最多 C. 甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶 1 小时 , 消耗 10 升汽油 D. 某城市机动车最高限速 80 千米 / 小时 , 相同条件下 , 在该市用丙车比用乙车 更省油 【 解析 】 选 D. 对于 A, 由图象可知当速度大于 40 km/h 时 , 乙车的燃油效率大于 5 km/L, 所以当速度大于 40 km/h 时 , 消耗 1 升汽油 , 乙车的行驶距离大于 5 km, 故 A 错误 ; 对于 B, 由图象可知当速度相同时 , 甲车的燃油效率最高 , 即当速度相同时 , 消耗 1 升汽油 , 甲车的行驶路程最远 , 所以以相同速度行驶相同路程 , 三辆车中 , 甲车消耗汽油最少 , 故 B 错误 ; 对于 C, 由图象可知当速度为 80 km/h 时 , 甲车的燃油效率为 10 km/L, 即甲车行驶 10 km 时 , 耗油 1 升 , 故行驶 1 小时 , 路程为 80 km, 燃油为 8 升 , 故 C 错误 ; 对于 D, 由图象可知当速度小于 80 km/h 时 , 丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率 , 所以用丙车比用乙车更省油 , 故 D 正确 . 课堂检测 · 素养达标 1. 下列变量之间的关系是函数关系的是 ( 　　 ) A. 生活质量与人的身体状况间的关系 B. 某人的身高与饮食状况 C. 一只 60 瓦的白炽灯的耗电量 W 与时间 t D. 蔬菜的价格与季节 【 解析 】 选 C.A,B,D 是依赖关系 , 对 C,W 是关于 t 的函数 . 2. 张大爷种植了 10 亩小麦 , 每亩施肥 x 千克 , 小麦总产量为 y 千克 , 则 ( 　　 ) A.x,y 之间有依赖关系 B.x,y 之间无依赖关系 C.y 是 x 的函数 D.x 是 y 的函数 【 解析 】 选 A. 小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系 . 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 假定甲、乙两人在一次百米赛跑中 , 路程与时间的关系如图所示 , 那么可以知道 : (1) 甲、乙两人中先到达终点的是 ________ ;  (2) 乙在这次赛跑中的速度为 ________ m/s.  【 解析 】 (1) 由图象可知甲、乙到达终点所用的时间分别为 12 s,12.5 s, 故甲 先到达终点 ; (2)v 乙 = =8(m/s). 答案 : (1) 甲　 (2)8 4. 给出下列关系 : ① 人的年龄与体重之间的关系 ; ② 抛物线上的点与该点坐标之间的关系 ; ③ 橘子的产量与气候之间的关系 ; ④ 某同学在 6 次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系 . 其中不是函数关系的有 ________ .  【 解析 】 由已知关系判断得 ,①③④ 中关系不确定 , 故不是函数关系 , 只有②是函数关系 . 答案 : ①③④ 5. 如图所示为某市一天 24 小时内的气温变化图 , 根据图象回答下列问题 . (1) 全天的最高气温、最低气温分别是多少 ? (2) 大约在什么时刻 , 气温为 0℃? (3) 大约在什么时刻内 , 气温在 0℃ 以上 ? (4) 变量 Q 是关于变量 t 的函数吗 ? 【 解析 】 观察图象可知 : (1) 全天最高气温大约是 9℃, 在 14 时达到 . 全天最低气温大约是 -2℃, 在 4 时达到 ; (2) 大约在 0 时、 8 时和 22 时 , 气温为 0℃; (3) 在 8 时到 22 时之间 , 气温在 0℃ 以上 ; (4) 由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降 . 对于时间 t 的每个取值 , 都有唯一的气温 Q 与之对应 , 所以气温 Q 是时间 t 的函数 .