【数学】2018届一轮复习人教A版（理）5-2平面向量基本定理及坐标表示学案 11页

‎§5.2　平面向量基本定理及坐标表示 考纲展示►　 考点1　平面向量基本定理及其应用 ‎1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．‎ 答案：不共线　有且只有　基底 ‎2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量正交分解．‎ 答案：互相垂直 向量相等的常见两种形式：用基底表示的向量相等；用坐标表示的向量相等．‎ ‎(1)已知向量a，b不共线，若λ‎1a＋b＝－a＋μ1b，则λ1＝__________，μ1＝__________.‎ 答案：－1　1‎ 解析：根据平面向量基本定理，用一组基底表示一个向量，基底的系数是唯一的，则有λ1＝－1，μ1＝1.‎ ‎(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，若c＝λa＋μb，则2λ＋μ ＝__________.‎ 答案：0‎ 解析：由c＝λa＋μb，得 ‎(3,4)＝λ(1,2)＋μ(2,3)＝(λ＋2μ，2λ＋3μ)，‎ ‎∴ 解得 ‎ 故2λ＋μ＝0.‎ 向量易忽略的两个问题：向量的夹角；单位向量．‎ ‎(1)等边三角形ABC中，若＝a，＝b, 则a，b的夹角为__________．‎ 答案：120°‎ 解析：求两向量的夹角要求两向量的起点是同一点，因此a，b的夹角为120°.‎ ‎(2)已知A(1,3)，B(4，－1)，则与向量共线的单位向量为__________．‎ 答案：或 解析：由已知得＝(3，－4)，所以||＝5，因此与共线的单位向量为＝或－＝.‎ ‎ [典题1]　(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)‎ A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　选项A中，设e1＋e2＝λe1，‎ 则无解；‎ 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，‎ 则无解；‎ 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，‎ 则无解；‎ 选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．‎ ‎(2)[2017·山东济南调研]如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设＝k，k∈R.‎ 因为＝＋＝＋k ‎＝＋k(－)‎ ‎＝＋k ‎＝(1－k)＋，‎ 且＝m＋，‎ 所以解得 ‎[点石成金]　用平面向量基本定理解决问题的一般思路 ‎(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．‎ 考点2　平面向量的坐标运算 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________，a－b＝________，λa＝________，|a|＝________.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点的坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________，‎ ‎||＝________.‎ 答案：(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)　 ‎(2)②(x2－x1，y2－y1)　‎ ‎ (1)[教材习题改编]已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2，λ)，若A，B，C三点共线，则λ＝________.‎ 答案：5‎ ‎(2)[教材习题改编]设P是线段P1P2上的一点，若P1(2,3)，P2(4,7)且P是P1P2的一个四等分点，则P的坐标为________．‎ 答案：或 ‎ [典题2]　(1)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)‎ A．(－2，－4) B．(－3，－5)‎ C．(3,5) D．(2,4)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意，得＝－ ‎＝－＝(－)－＝－2 ‎＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．‎ ‎(2)[2017·广东六校联考]已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC ‎|＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋(λ∈R)，则λ的值为(　　)‎ A．1 B. ‎ C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　过C作CE⊥x轴于点E.‎ 由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，‎ 所以＝＋＝λ＋，‎ 即＝λ，‎ 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.‎ ‎[点石成金]　平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．‎ ‎(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．‎ 考点3　平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔________.‎ 答案：x1y2－x2y1＝0‎ ‎ (1)[教材习题改编]已知a＝(3,4)，b＝(sin β，cos β)，且a∥b，则tan β＝__________.‎ 答案： 解析：由a∥b，得b＝λa, ‎ ‎∴sin β＝3λ，cos β＝4λ(λ≠0)，‎ ‎∴＝，即tan β＝.‎ ‎(2)[教材习题改编]已知e1，e2是平面向量的一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2.若a∥e2，则λ1＝________；a和e1共线的条件是________．‎ 答案：0　λ2＝0‎ 解析：若a∥e2，则设a＝λe2(λ≠0)，于是λe2＝λ1e1＋λ2e2，即(λ－λ2)e2＝λ1e1.又e1，e2不共线，所以λ－λ2＝0且λ1＝0.同理a和e1共线有λ2＝0.‎ ‎[考情聚焦]　平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 利用向量共线求参数或点的坐标 ‎[典题3]　(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m＝________.‎ ‎[答案]　－2‎ ‎[解析]　ma＋4b＝(‎2m－4,‎3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，由于ma＋4b与a－2b共线，‎ ‎∴－(‎2m－4)＝4(‎3m＋8)，解得m＝－2.‎ ‎(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．‎ ‎[答案]　(2,4)‎ ‎[解析]　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝2.‎ 设点D的坐标为(x，y)，‎ 则＝(4－x,2－y)，＝(1，－1)，‎ ‎∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，‎ 即(4－x,2－y)＝(2，－2)，‎ ‎∴解得 故点D的坐标为(2,4)．‎ ‎[点石成金]　1.利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y‎1”‎解题比较方便．‎ ‎2．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．‎ 角度二 利用向量共线解决三点共线问题 ‎[典题4]　已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则k＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　若A，B，C不能构成三角形，则向量，共线．‎ ‎∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，‎ ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，‎ ‎∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.‎ ‎[点石成金]　向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎ [方法技巧]　1.两向量平行的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．‎ ‎2．三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定．‎ ‎3．若a与b不共线且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.‎ ‎[易错防范]　1.若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．‎ ‎2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8 B．－6 ‎ C．6 D．8‎ 答案：D 解析：由向量的坐标运算，得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b) ⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D.‎ ‎2．[2015·四川卷]设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．6‎ 答案：B 解析：∵ a∥b，∴ 2×6－4x＝0，解得x＝3.‎ ‎3．[2014·福建卷]在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)‎ B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)‎ C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)‎ 答案：B 解析：解法一：若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a＝(3,2)表示出来，故选B.‎ 解法二：因为a＝(3,2)，若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以解得所以a＝2e1＋e2，故选B.‎ ‎4．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.‎ 答案： 解析：∵ λa＋b与a＋2b平行，∴ λa＋b＝t(a＋2b)，‎ 即λa＋b＝ta＋2tb，∴ 解得 ‎5．[2015·北京卷]在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________.‎ 答案：　－ 解析：∵ ＝2，∴ ＝.‎ ‎∵ ＝，∴ ＝(＋)，‎ ‎∴ ＝－＝(＋)－ ‎＝－.‎ 又＝x＋y，‎ ‎∴ x＝，y＝－.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 向量问题坐标化 向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征．而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．‎ ‎[典例1]　向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.‎ ‎[解析]　设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理得，λ＝－2，μ＝－，所以＝4.‎ ‎[答案]　4‎ ‎[典例2]　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎ [解]　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则A(1,0)，B，‎ 设∠AOC＝α，α∈，‎ 则C(cos α，sin α)，‎ 由＝x＋y，得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，‎ 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，‎ 又α∈，‎ 所以当α＝时，x＋y取得最大值2.‎ 方法探究 典例2首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x＋y的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势．‎