上海市控江中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 21页

www.ks5u.com ‎2018学年控江中学高一年级下学期期末卷 一、填空题 ‎1.函数的定义域________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反正弦函数的定义得出，解出可得出所求函数的定义域.‎ ‎【详解】由反正弦的定义可得，解得，‎ 因此，函数的定义域为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.函数的最小正周期为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正切型函数的周期公式可计算出函数的最小正周期.‎ ‎【详解】由正切型函数的周期公式得，‎ 因此，函数的最小正周期为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于正切型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知数列是等比数列，公比为，且，，则_________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先利用等比中项的性质计算出的值，然后由可求出的值.‎ ‎【详解】由等比中项的性质可得，得，所以，，，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列公比的计算，充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题.‎ ‎4.已知，则_________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在分式中分子分母同时除以，将代数式转化为正切来进行计算.‎ ‎【详解】由题意得，原式，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要应用于以下两种题型：‎ ‎（1）弦的次分式齐次式：当分式是关于角的次分式齐次式，在分子分母中同时除以，可以将分式化为切的分式来求解；‎ ‎（2）弦的二次整式：当代数式是关于角弦的二次整式时，先除以，将代数式转化为关于角弦的二次分式齐次式，然后在分式分子分母中同时除以，可实现弦化切.‎ ‎5.在中，角、、所对的边为、、，若，，，则角________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围得出角的值.‎ ‎【详解】由余弦定理得，‎ ‎，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎6.在中，角所对的边为，若，且的外接圆半径为，则________．‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理求出的值，结合角的取值范围得出角的值.‎ ‎【详解】由正弦定理可得，所以，，‎ ‎，或，故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的应用，在利用正弦值求角时，除了找出锐角还要注意相应的补角是否满足题意，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知数列满足，，，则数列的通项公式为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出，可得出数列为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式.‎ ‎【详解】设，整理得，对比可得，‎ ‎，即，且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8.已知数列的通项公式为，是其前项和，则_____．（结果用数字作答）‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，数列的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出的值.‎ ‎【详解】由题意可得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.在等差数列中，若，且它的前n项和有最大值，则当取得最小正值时，n的值为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为等差数列前项和有最大值，所以公差为负，所以由得，所以，＝，所以当时，取到最小正值．‎ 考点：1、等差数列性质；2、等差数列的前项和公式．‎ ‎【方法点睛】求等差数列前项和的最值常用的方法有：(1)先求，再利用或求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前项和的最值；（3）利用等差数列的前项和(为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．‎ ‎10.已知无穷等比数列的首项为，公比为q，且，则首项的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极限存在得出，对分、和三种情况讨论得出与之间的关系，可得出的取值范围.‎ ‎【详解】由于，则.‎ ‎①当时，则，；‎ ‎②当时，则，；‎ ‎③当时，，解得.‎ 综上所述：首项的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎11.在数列中，，是其前项和，当时，恒有、、成等比数列，则________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出，当时，由，代入，化简得出，利用倒数法求出的通项公式，从而得出的表达式，于是可求出的值.‎ ‎【详解】当时，由题意可得，即，‎ 化简得，得，‎ 两边取倒数得，，‎ 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，‎ ‎，，‎ 则，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了数列通项的求解，在含的数列递推式中，若作差法不能求通项时，可利用转化为的递推公式求通项，考查分析问题和解决问题的能力，综合性较强，属于中等题.‎ ‎12.设集合，它共有个二元子集，如、、等等．记这个二元子集、、、、，设，定义，则_____．（结果用数字作答）‎ ‎【答案】1835028‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别分析中二元子集中较大元素分别为、、、时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果.‎ ‎【详解】当二元子集较大的数为，则较小的数为；‎ 当二元子集较大的数为，则较小的数为、；‎ 当二元子集较大的数为，则较小的数为、 、；‎ 当二元子集较大的数为，则较小的数为、、、、.‎ 由题意可得 ‎，‎ 令，‎ 得，‎ 上式下式得，‎ 化简得，‎ 因此，，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.‎ 二、选择题 ‎13.已知是常数，那么“”是“等式对任意恒成立”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式结合条件得出、的值，由结合同角三角函数得出、的值，于此可得出结论.‎ ‎【详解】由可得或，‎ 由辅助角公式 ‎，其中，.‎ 因此，“”是“等式对任意恒成立”的必要非充分条件，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查同角三角函数的基本关系以及辅助角公式的应用，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎14.已知是常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 将点的坐标代入函数的解析式，得出，求出的表达式，可得出的最小值.‎ ‎【详解】由于函数的图象关于点中心对称，则，‎ ‎，则，‎ 因此，当时，取得最小值，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查余弦函数的对称性，考查初相绝对值的最小值，解题时要结合题中条件求出初相的表达式，结合表达式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎15.某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则 时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（ ）‎ A. 当时，该命题不成立 B. 当时，该命题成立 C. 当时，该命题不成立 D. 当时，该命题成立 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.‎ ‎【详解】由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，‎ 由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎16.已知，实数、满足关系式，若对于任意给定的，当在上变化时，的最小值为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出，然后利用基本不等式可得出的值.‎ ‎【详解】，‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当时，由于，即当时，等号成立，‎ 因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17.在数列中，，，且满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知，数列是等差数列，可设该数列的公差为，根据题中条件列方程解出的值，再利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）先求出数列的通项公式，并将该数列的通项裂项，然后利用裂项法求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）对任意的，，则数列是等差数列，设该数列的公差为，‎ 则，解得，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉等差数列的几种判断方法，同时也要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎18.设函数，定义域为．‎ ‎（1）求函数的最小正周期，并求出其单调递减区间；‎ ‎（2）求关于的方程的解集．‎ ‎【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，由周期公式可得出函数的最小正周期，由 ‎，解出的范围得出函数的单调递减区间；‎ ‎（2）由，得出，解出该方程可得出结果.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 所以，函数的最小正周期为，‎ 由，得，‎ 因此，函数的单调递减区间为；‎ ‎（2）令，得，‎ 或，‎ 解得或，‎ 因此，关于的方程的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.已知函数，是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．且，，，．‎ ‎（1）分别求数列、的通项公式；‎ ‎（2）已知数列满足：，求数列的通项公式．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意分别列出关于、的方程，求出这两个量，然后分别求出数列、的首项，再利用等差数列和等比数列的通项公式可计算出数列、的通项公式；‎ ‎（2）令可得出的值，再令，由得出，两式相减可求出，于此得出数列的通项公式.‎ ‎【详解】（1）由题意得，，‎ ‎，解得，且，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ 且，整理得，解得，，‎ ‎，由等比数列的通项公式可得；‎ ‎（2）由题意可知，对任意的，.‎ 当时，，；‎ 当时，由，‎ 可得，‎ 上述两式相减得，即，.‎ 不适合上式，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解，以及利用作差法求数列通项，解题时要结合数列递推式的结构选择合适的方法求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.已知常数且，在数列中，首项，是其前项和，且，.‎ ‎（1）设，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；‎ ‎（2）设，，证明数列是等差数列，并求出的通项公式；‎ ‎（3）若当且仅当时，数列取到最小值，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；‎ ‎（2）证明见解析，；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，求出的值，再令，由，得出，将两式相减得，再利用等比数列的定义证明为常数，可得出数列为等比数列，并确定等比数列的首项和公比，可求出；‎ ‎（2）由题意得出，再利用等差数列的定义证明出数列为等差数列，确定等差数列的首项和公差，可求出数列的通项公式；‎ ‎（3）求出数列的通项公式，由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，再利用参变量分离法可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，有，即，；‎ 当时，由，可得，将上述两式相减得，‎ ‎，，‎ 且，‎ 所以，数列是以，以为公比的等比数列，；‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，由等差数列定义得，‎ 且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，‎ 因此，；‎ ‎（3）由（2）知，，，‎ 由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，‎ 由，得，‎ 得在时恒成立，‎ 由于数列在时单调递减，则，此时，；‎ 由，得，‎ 得在时恒成立，‎ 由于数列在时单调递减，则，此时，.‎ 综上所述：实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列，证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明，同时也考查数列最值问题，需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题，利用参变量分离法可简化计算，考查化归与转化思想和运算求解能力，综合性较强，属于难题.‎ ‎21.已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；‎ ‎（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；‎ ‎（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；‎ ‎（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.‎ ‎【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，，‎ 令，得，‎ 由于直线为函数的一条对称轴，所以，，‎ 得，由于，，则，‎ 因此，；‎ ‎（2），由三角形的内角和定理得，.‎ ‎，且，，.‎ ‎，‎ 由，得，由锐角三角函数的定义得，，‎ 由正弦定理得，，‎ ‎，‎ ‎，且，，，.‎ ‎，因此，的取值范围是；‎ ‎（3）将函数的图象向右平移个单位，‎ 得到函数，‎ 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，‎ ‎，‎ 令，可得，‎ 令，得，，‎ 则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，‎ ‎（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，‎ 从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；‎ ‎（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，‎ 所以，关于的方程在上有三个根，‎ 由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；‎ ‎（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，‎ 所以，关于的方程在上有三个根，‎ 由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，‎ 方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，‎ 因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.‎ 综上所述：，.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.‎ ‎ ‎