2020届二轮复习三角函数与解三角形课时作业（全国通用） 13页

第二十七讲 三角函数与解三角形 A组题 一、选择题 ‎1. （2017年山东卷理）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足 ，则下列等式成立的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以，选A.‎ ‎2.【2016辽宁大连双基测试】中，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由正弦定理得即，解得．因为所以，所以故选D．‎ ‎3.在△ABC中，内角所对的边分别是.若，，‎ ‎ 则的面积是(　　 ) A．3 B. C. D．3 ‎【解析】由得　①.由余弦定理及得　②.所以由① ②得，即.所以，故选.‎ ‎4.设的内角所对边的长分别为，若，‎ ‎ 则角(　　 ) A. B. C. D. ‎ ‎【解析】因为，所以由正弦定理可得.因为，所以.令，则由余弦定理得，所以故选 ‎5.(2016唐山一模)在直角梯形中，，，，则(　　)‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】由已知条件可得图形，如图，设，在中，，‎ ‎∴∴，故选.‎ ‎6.在中，三内角的对边分别为，面积为，若，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】，由余弦定理可得 ，联立，可得．‎ ‎7.已知锐角是的一个内角，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是(　 　)‎ ‎ A．　　　　　B． C． D．‎ ‎【解析】由 得 ∵ ∴，由余弦定理得， ∴ ，故选 二、填空题 ‎8．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .‎ ‎【解析】因为，所以，又，则 ‎ ，又，得，故，.‎ ‎9．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶 ‎ 在西偏北的方向上，行驶‎600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山 ‎ 的高度 m.‎ ‎【解析】依题意，，，在中，可得，因为，由正弦定理可得，即，在中，因为，，所以，所以.‎ 三、解答题 ‎10．（2017年全国1卷理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ‎ ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长 ‎【答案】（1）‎ ‎（2）的周长为.‎ ‎【解析】（1）由题设得，即.‎ 由正弦定理得.‎ 故.‎ ‎（2）由题设及（1）得，即.‎ 所以，故.‎ 由题设得，即.‎ 由余弦定理得，即，得.‎ 故的周长为.‎ ‎11.在中，分别是角的对边，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设函数，求函数在区间上的值域．‎ ‎【解析】（1）在中，∵，∴，‎ ‎ ∴，∴．‎ ‎ ∵是的内角，∴，∴，∴．‎ ‎（2）由（1）可知，∴‎ ‎ 由，∴，∴，∴函数的值域为．‎ ‎12.已知分别是的角所对的边，且，‎ ‎.‎ ‎（1）若的面积等于，求； （2）若，求的值.‎ ‎【解析】（1）由余弦定理得，‎ ‎ 的面积和等于，，，联立；‎ ‎ （2），，， ‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 当时，，由正弦定理得，联立，解得， ‎ ‎ ，，即，又，，综上所述，或.‎ B组题 一、选择题 ‎1.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（ ）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．由增加的长度决定 ‎【解析】设增加同样的长度为，原来三边长为，不妨设，由锐三角形，，新的三角形的三边长为，有，又 故得到新三角形为锐角三角形，故选C.‎ ‎2.【2016高考新课标3】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】设边上的高线为，则，所以，‎ ‎．由余弦定理，知，故选C．‎ ‎3.在不等边三角形中，角所对的边分别为，其中为最大边，如果 ‎ ，则角的取值范围为(　　)‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】由题意得，再由正弦定理得，即 ‎ ‎ ∵，∴.又为最大边，∴.因此得角A的取值范围是.故选 ‎4.在中，角所对的边分别为，已知，，则的取值范围为（ ）‎ A． B. C． D. ‎ ‎【解析】由已知得，解得.由余弦定理，有.又，，故.又，于是有，即有.故选 二、填空题 ‎5.已知分别为的三个内角的对边，且，，则 .‎ ‎【解析】由知，为锐角，作交于，设，，则，则 ‎ 即，，则 ‎ ‎6.在中，，且，则的面积为________．‎ ‎【解析】∵，∴‎ ‎，即，，‎ 所以．，所以．由得，当时，符合题意．所以．‎ ‎7.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 .‎ ‎【解析】，因此 ‎ ‎ ‎ ，故所求的最小值为 三、解答题 ‎8. （2017年北京卷理）在△ABC中， =60°，c=a.‎ ‎（Ⅰ）求sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）△ABC的面积.‎ ‎【解析】Ⅰ）在△ABC中，因为，，‎ 所以由正弦定理得.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以.‎ 由余弦定理得，‎ 解得或（舍）.‎ 所以△ABC的面积.‎ ‎9．【2016高考山东理数】在中，角的对边分别为，已知 ‎ ‎（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的最小值.‎ ‎【解析】由题意知，‎ 化简得， 即.‎ 因为, 所以.‎ 从而. 由正弦定理得.‎ 由知, 所以 ，‎ 当且仅当时，等号成立. 故 的最小值为.‎ ‎10.已知在中，角所对的边长分别为且满足 ‎．‎ ‎（1）求的大小； （2）若，求的长．‎ ‎【解析】（1）在三角形中，由正弦定理得，‎ ‎ 因为 所以 ‎ 即 整理得，‎ 由，可得 所以. ‎ ‎（2）在三角形中，，由，解得，‎ ‎ 又因为 ‎ 所以，‎ ‎ ，于是由可得，‎ ‎ ， 所以.‎ ‎11.设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由及正弦定理，得，，即 ‎ 又为钝角，因此，故，即.‎ ‎ （2）由（1）知，，得，于是 ‎ ，由得 ‎ ，‎ C组题 一、选择题 ‎1.如图，在中，，，点在线段上，且，则的值为（ ）‎ A． B. C． D. ‎ ‎【解析】由条件得，.在中，设，则由余弦定理得 ‎ ① ‎ ‎ 因为所以，所以 ②‎ 联立①②解得，所以.在中，故选 ‎2.已知的内角对的边分别为，，，当内角最大时，的面积等于(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】根据正弦定理及得，，‎ ‎，当且仅当，即时，等号成立，此时，故选 ‎3.在锐角中，角的对边分别为，若，则的值是（ ）‎ ‎ A． B. C． D. ‎ ‎【解析】取，则，由余弦定理得，在如图所示的等腰三角形中，‎ 可得，又，，∴.‎ ‎ 另解：由得，，即，‎ ‎∴ 故选 ‎4.在中，角所对的边分别为满足，， ，则的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由得：，则，‎ 由可知：为钝角，‎ 则，‎ 由于，，所以，，故选B.‎ 二、填空题 ‎5.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值 .‎ ‎【解析】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，则，设，则，由得，，在直角中，，故，令，，令得，，代入得，，故的最大值为 ‎6. 的内角的对边分别为，已知，则 .‎ ‎【解析】由余弦定理得，将已知代入，化简可得，再由正弦定理，可得，再结合条件及的范围求得的值.由余弦定理得，将已知条件代入上式，化简可得，，再由正弦定理，可得，，，，.‎ ‎，‎ ‎7.已知满足，，点在外，且，则的取值范围是________．‎ ‎【解析】由满足，，可得为等边三角形．又点在外，且，设等边边长为，如图1，若与在同侧，设，，在中，，则①，由，得②，①②联立可得，又，∴，∴‎ ‎，则；‎ 如图2，若与在异侧，设，，在中，则，可得，又，∴，则．综上，的最小值为1，最大值为3，故答案为：．‎ 三、解答题 ‎8.【2016年高考四川理数】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，求.‎ ‎【解析】（1）据正弦定理，可设，则 ‎ 故，有，变形得 ‎ ‎ ‎ （2）由已知，，根据余弦定理，有.‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 由（1）所以，故 ‎9. 在中，若，且.‎ ‎ （1）求角的大小； ‎ ‎ （2）求的面积.‎ ‎【解析】（1）由题可知：在中，，，因为，所以，即，而向量，是两个不共线向量，所以，所以，因为，所以，在等腰中，，所以，；由上知：，所以，所以，结合，所以，.‎ （2） 由（1）知，则，由正弦定理得：，‎ ‎ 所以，‎ ‎10. 如图，为平面四边形的四个内角.‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）若求的值.‎ ‎【解析】（1）.‎ ‎（2）由，得.‎ 由（1），有 ‎ ‎ ‎ 连结BD，‎ 在中，有，‎ 在中，有，‎ 所以 ，‎ 则，‎ 于是. 连结AC，同理可得 ‎，于是.‎ 所以 .‎ ‎.‎