福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题 22页

www.ks5u.com 双十中学2019-2020学年高一上第一次月考考卷 一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A. {0} B. {﹣3，﹣4} C. {﹣1，﹣2} D. ∅‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∴CUA {−3，−4}，‎ ‎∴（CUA）∩B=={−3，−4}.‎ 故答案选B.‎ 点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．‎ ‎2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．‎ ‎3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎2.已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抽象函数定义域求法,即可求其定义域.‎ ‎【详解】因为函数的定义域是 所以 所以的定义域满足 解不等式,可得,即 故选B ‎【点睛】本题考查了抽象函数定义域的求法,紧扣定义域为的取值范围这一概念即可,属于基础题.‎ ‎3.已知集合，则B的子集个数为（　　）‎ A. 3 B. 4 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，列举出M中的元素，利用集合含子集的个数与集合中元素个数的关系求出集合M的子集个数.‎ ‎【详解】∵集合，‎ ‎∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}，‎ 所以B中含有3个元素，‎ 集合B的子集个数有23=8‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查若一个集合含有n个元素则其子集的个数是2n，其真子集的个数为2n﹣1，属于基础题．‎ ‎4. 如图所示，I为全集，M、P、S为I的子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）‎ A. （M∩P）∪S B. （M∩P）∩S C. （M∩P）∩（CI S） D. （M∩P）∪（CI S）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由图示可知阴影部分为集合M,P的公共部分，并且不在集合S中，因此为（M∩P）∩（CI S）‎ 考点：集合的表示方法 ‎5.函数的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，因为，所以为偶函数．所以的图象关于y轴对称．故选D.‎ 考点：函数的奇偶性．‎ ‎6.函数的值域是(　　)‎ A. [0，＋∞) B. (－∞，0] C. D. [1，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用换元法转化为求二次函数的值域求解或根据函数的单调性求解．‎ ‎【详解】方法一：设，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数的值域是．‎ 故选C．‎ 方法二：由得，‎ ‎∴函数的定义域为，‎ 又由题意得函数为增函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数的值域是．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】对于一些无理函数，可通过换元转化为有理函数（如二次函数），再利用有理函数求值域的方法解决问题，“换元法”的实质是等价转化的思想方法，解题中要注意新元的范围．‎ ‎7.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论与两种情况.当时满足题意,当时,根据即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时,分母变为常数1,所以定义域为,即符合题意 因为定义域为,所以当时, 符合题意.且同时满足 即,解不等式可得 ‎ 综上所述,实数的取值范围为,即 故选D ‎【点睛】本题考查了函数定义域的求解,定义域为R时函数满足的条件,属于基础题.‎ ‎8.已知，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性,选取中间量,即可比较大小.‎ ‎【详解】根据指数函数的性质可知,‎ 函数为单调递减函数,所以,即 因为单调递增函数,所以,即 综上可知, ‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了指数函数图像与性质,指数幂形式的比较大小,属于基础题.‎ ‎9.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式,结合特殊值法即可判断选项.‎ ‎【详解】因为 定义域为,所以排除A选项 当时, 且,所以;分母增长的速度大于分子中 的增长速度,所以,排除选项D 当时,分母,分子,所以,排除选项B 综上,故选C ‎【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图像,属于基础题.解决有关函数图像这一类题目,一般从三个方面入手研究图像:（1）分析函数的单调性;（2）分析函数的奇偶性;（3）特殊值法检验,特殊值法包括具体取值与极限取值.‎ ‎10.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式,可知函数为偶函数,结合函数的单调性,解不等式即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】函数,定义域为R 则 所以,即函数为偶函数 当时,为增函数,为增函数 则在时为增函数,在时为减函数 不等式 即满足即可 不等式化简可得 即 解得,即 故选D ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的综合应用,根据函数性质解不等式,属于基础题.‎ 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的五个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.‎ ‎11.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）‎ A. B. C. ‎ D. E. ‎ ‎【答案】DE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性定义和函数单调性的判定即可得解.‎ ‎【详解】对于A,,定义域为.为奇函数,在单调递减,在单调递减,但递减不成立,所以A错误;‎ 对于B,定义域为.为偶函数,所以B错误 对于C,,定义域为.非奇非偶函数,所以C错误;‎ 对于D,,定义域为R,为奇函数,且在R上为递减函数,所以C正确;‎ 对于E, ,定义域为R,即 ,画出函数图像如下图所示 所以为奇函数,且在R上为递减函数,所以E正确 综上,故选DE ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的判定,注意定义域的特殊要求,属于基础题.‎ ‎12.对任意两个实数，，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）‎ A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数在区间单调递增 D. 函数有4个单调区间 E. 函数有最大值为1，无最小值 ‎【答案】ABDE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意函数为取小函数,画出与在同一坐标系中的图像,可得的图像,根据图像即可判断选项.‎ ‎【详解】由题意函数为取小函数 根据与,画出的图像如下图所示:‎ 由图像可知,函数关于轴对称,所以A正确.‎ 函数图像与轴有三个交点,所以方程有三个解,所以B正确.‎ 函数在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,在内单调递减,所以C错误,D正确.‎ 由函数图像可知,函数有最大值为1,无最小值,所以E正确 综上,故选ABDE ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性与最值的综合应用,根据函数图像研究函数的性质,属于基础题.‎ ‎13.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（ ）‎ A. B. C. ‎ D. E. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知定义域不同且解析式和值域相同,得函数必为不单调函数,举出满足条件的例子构造出同族函数即可.‎ ‎【详解】对于A,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以A正确;‎ 对于B,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以B正确;‎ 对于C, 在定义域内,函数图像在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减,不满足定义域不同时,值域相同,所以C错误;‎ 对于D,定义域为,当定义域分别为与时,值域均为,所以D正确 对于E,定义域为R,且函数在R上单调递增,所以不满足定义域不同时,值域相同,所以E错误 综上,故选ABD ‎【点睛】本题考查了函数新定义的理解,注意定义域、值域和解析式间的关系,属于中档题.‎ ‎14.对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. ‎ B. 函数的最大值为1‎ C. 函数的最小值为0‎ D. 方程有无数个根 E. 函数是增函数 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,画出函数的图像,根据图像分析函数的性质即可.‎ ‎【详解】根据符号的意义,讨论当自变量取不同范围时函数的解析式：‎ 当时,,则 当时,,则 当时,,则 当时,,则 画出函数的图像如下图所示：‎ 根据定义可知,,即,所以A正确；‎ 从图像可知,函数最高点处取不到,所以B错误；函数图像最低点处函数值为0,所以C正确；‎ 从图像可知,即有无数个根,所以D正确 根据函数单调性,可知函数在特定区间内为增函数,在整个定义域内没有增减性,所以E错误 综上,故选ACD ‎【点睛】本题考查了函数新定义的内容,分段函数图像的画法.画出所给函数图像,根据图像分析函数的性质是解决问题的常见方法,属于中档题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎15.函数（，且）的图像恒过定点________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数过定点,结合函数图像平移变换,即可得过的定点.‎ ‎【详解】因为指数函数（,且）过定点 是将向左平移2个单位,向上平移3个单位得到 所以过定点 ‎【点睛】本题考查了指数函数的图像与性质,函数图像的平移变换,属于基础题.‎ ‎16.函数单调减区间是__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间。‎ ‎【详解】去绝对值，得函数 ‎ 当 时，函数 的单调递减区间为 ‎ 当 时，函数的单调递减区间为 ‎ 综上，函数 的单调递减区间为，‎ ‎【点睛】本题考查了含绝对值函数单调性的求法。首先根据定义去绝对值，写成分段函数形式，再依据各自区间内的单调性写出单调区间；最后注意单调区间不能写成并集。‎ ‎17.已知函数是定义在的增函数，且满足，则不等式的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可知函数为奇函数,根据单调性及定义域解不等式,进而求得不等式的解集.‎ ‎【详解】因为,即,定义域为 所以函数为奇函数 则不等式,即 由奇函数性质可化简得 根据函数是定义在的增函数 可得,解不等式组可得 即不等式组的解集为 ‎ 所以不等式的解集为 ‎【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性、单调性的综合应用,解决问题时一定在定义域内求解,属于中档题.‎ ‎18.已知f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则t的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论．‎ ‎【详解】由于当x＞0时，f（x）=x++t在x=1时取得最小值为2+t，‎ 由题意当x≤0时，f（x）=（x﹣t）2，‎ 若t≥0，此时最小值为f（0）=t2，‎ 故t2≤t+2，‎ 即t2﹣t﹣2≤0，解得﹣1≤t≤2，此时0≤t≤2，‎ 若t＜0，则f（t）＜f（0），条件不成立．‎ 故答案为：[0，2]．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数最值的应用，根据分段函数的性质，结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键．‎ 四、解答题：（本大题共6小题70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19.（1）计算：‎ ‎（2）己知集合，，若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或..‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数幂运算法则,化简运算即可.‎ ‎（2）根据可知A为B的子集.讨论与两种情况关于的不等式满足的条件,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由指数幂运算,化简 ‎（2）因为所以 ‎①当时,即 解得,此时满足.‎ ‎②当时,即,且 则 则有,‎ 综上所述, 的取值范围为或.‎ ‎【点睛】本题考查了指数幂的化简求值,集合与集合关系的简单应用,注意研究集合与集合关系时,讨论集合是否为空集的情况,属于基础题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若，用定义证明在上是增函数；‎ ‎（2）若，且在上的值域是，求的值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入得函数解析式,根据作差法证明函数的单调性即可.‎ ‎（2）利用分离常数法对函数解析式变形,可判断出函数在定义域内单调递减,通过函数的定义域与值域,即可分析得.代入解析式即可求得的值.‎ ‎【详解】（1）因为 所以 证明:任取,则 因为 ‎ 所以,‎ 故即 故在上是增函数.‎ ‎（2）对函数解析式变形可得 由于,故在上单调递减 因为在上的值域是 所以,代入解析式可得,解方程求得 故有 ‎【点睛】本题考查了利用定义证明函数的单调性,并根据单调性求参数的取值,属于基础题.‎ ‎21.设函数对任意实数，都有，且时，，.‎ ‎（1）求证是奇函数；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）最小值-1，最大值1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用赋值法,令,代入函数式,可求得,再令代入函数式,即可证明函数为奇函数.‎ ‎（2）利用定义法,可证明函数在上单调递减.再根据,用表示出最大值与最小值即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：令,代入函数式可得 即 令,代入函数式可得 所以 函数定义域为R,所以是奇函数 ‎（2）先证明函数的单调性,证明过程如下:‎ 任取,则 由题意可知 因为 所以 即 所以在上单调递减,且 所以在区间上的, ‎ ‎【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性、单调性的综合应用,注意在解决此类问题时,赋值法在求值中的应用,属于中档题.‎ ‎22.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.‎ ‎（1）写出函数的解析式；‎ ‎（2）若函数，；求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数为偶函数，求得当时函数的解析式，由此求得函数的解析式.（2）利用配方法化简的解析式，根据其对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的最小值的表达式.‎ ‎【详解】解：（1）时，，‎ ‎∵为偶函数，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）时，，‎ 对称轴，‎ ‎①当时，即时，在区间上单调递增，‎ 所以：‎ ‎②当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以：‎ ‎③当，即时，在区间上单调递减，‎ 所以.‎ 综上所述，‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数的解析式，考查二次函数最小值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎23.集合，，且实数．‎ ‎（1）证明：若，则；‎ ‎（2）是否存在实数，满足且？若存在，求出，的值，不存在说明理由．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1），则代入方程成立，两边同除以可得代入成立，即可得证；（2）由（1）的结论可知，所以 ‎，由方程根与系数的关系可求得，的值 试题解析：（1）若，则，可得，即是方程实数根，即．‎ ‎（2）假设存在，则根据，，易知集合、有且只有一个公共元素，设，根据条件以及（1）有，，显然，则有，那么，，代入方程有，，联立解得，所以存在满足且．‎ 考点：1．方程的根的情况；2．集合的交并补运算 ‎24.已知函数在区间单调递减，在区间单调递增.函数.‎ ‎（1）请写出函数与函数在的单调区间；（只写结论，不需证明）‎ ‎（2）求函数的最大值和最小值；‎ ‎（3）讨论方程实根的个数.‎ ‎【答案】（1）的减区间是，增区间是；的减区间是，增区间是；（2）最小值，最大值；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知函数的单调区间，即可得到所求的两个函数的单调区间；‎ ‎（2）化简的函数解析式，再由已知结论，可得函数在上单调递减，在上单调递增，即可得到所求函数的最值；‎ ‎（3）化简方程可得或，又函数在上单调递减，在上单调递增，分类讨论可得到方程根的个数.‎ ‎【详解】根据条件，的单调递减区间是 单调递增区间是；‎ 函数的单调递减区间是，单调递增区间是；‎ ‎ ‎ 由可知，与均在单调递减，在上单调递增，‎ 则有函数在单调递减，在上单调递增，‎ 所以，；‎ 由可得，‎ 所以有或，‎ 又函数在单调递减，在单调递增，‎ 而，‎ 所以当时，方程无实数根；‎ 当时，有一个实数根；‎ 当，且即，方程有两个实数根；‎ 当，，方程有三个实数根；‎ 当时，方程有四个实数根．‎ 综上，当时，方程实根个数为0；‎ 当时，方程实根个数为1；‎ 当时，方程实根个数2；‎ 当，时，方程实根个数为3；‎ 当时，方程实根个数为4．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及函数与方程的综合应用问题，其中解答中合理利用题设条件，求得函数的单调区间和最值，以及利用函数与方程的思想合理转化，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，以及推理与运算能力，属于难题.‎ ‎ ‎