【数学】2018届一轮复习北师大版垂直关系教案 15页

第四节　垂直关系 ‎ [考纲传真]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．‎ ‎1．直线与平面垂直 ‎(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．‎ ‎(2)定理 ‎2.二面角 ‎(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．‎ ‎(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．‎ ‎3．平面与平面垂直 ‎(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(2)定理 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)‎ ‎(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(　　)‎ ‎(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.(　　)‎ A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m A　[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]‎ ‎3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足 m∥α，n⊥β，则(　　)‎ A．m∥l　　　　　 B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n C　[∵α∩β＝l，∴lβ.‎ ‎∵n⊥β，∴n⊥l.]‎ ‎4．如图741，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．‎ 图741‎ ‎4　[∵PA⊥平面ABC，‎ ‎∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，‎ 则△PAB，△PAC为直角三角形．‎ 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.‎ 因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]‎ ‎5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________.‎ ‎【导学号：66482336】‎ a　[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．‎ 即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝a，‎ ‎∴A′C＝＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]‎ 线面垂直的判定与性质 ‎　如图742，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.‎ 图742‎ ‎(1)求证：CD⊥平面ABD；‎ ‎(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．‎ ‎[解]　(1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD平面BCD，‎ 所以AB⊥CD. 2分 又因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，‎ AB平面ABD，BD平面ABD，‎ 所以CD⊥平面ABD. 5分 ‎(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.‎ 又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝×12＝. 8分 因为M是AD的中点，所以S△ABM＝S△ABD＝.‎ 根据(1)知，CD⊥平面ABD，‎ 则三棱锥CABM的高h＝CD＝1，‎ 故VAMBC＝VCABM＝S△ABM·h＝. 12分 ‎[规律方法]　1.证明直线和平面垂直的常用方法：‎ ‎(1)判定定理；‎ ‎(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；‎ ‎(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；‎ ‎(4)面面垂直的性质．‎ ‎2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．‎ ‎[变式训练1]　 如图743所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.‎ 图743‎ 求证：PA⊥CD.‎ ‎[证明]　因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°. 3分 设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，‎ 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO. 8分 因为PD⊥平面ABC，CD平面ABC，‎ 所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，所以PA⊥CD. 12分 面面垂直的判定与性质 ‎　(2017·郑州调研)如图744，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．‎ 图744‎ ‎(1)求证：BD∥平面FGH；‎ ‎(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.‎ ‎[证明]　(1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，‎ 连接MH. 1分 在三棱台DEFABC中，‎ AB＝2DE，G为AC的中点，‎ 可得DF∥GC，DF＝GC，‎ 所以四边形DFCG为平行四边形. 3分 则M为CD的中点，‎ 又H为BC的中点，‎ 所以HM∥BD，‎ 由于HM平面FGH，BD 平面FGH，‎ 故BD∥平面FGH. 5分 ‎(2)连接HE，CE，CD.‎ 因为G，H分别为AC，BC的中点，‎ 所以GH∥AB. 6分 由AB⊥BC，得GH⊥BC.‎ 又H为BC的中点，‎ 所以EF∥HC，EF＝HC，‎ 因此四边形EFCH是平行四边形，‎ 所以CF∥HE. 10分 由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.‎ 又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H.‎ 所以BC⊥平面EGH.‎ 又BC平面BCD，‎ 所以平面BCD⊥平面EGH. 12分 ‎[规律方法]　1.面面垂直的证明的两种思路：‎ ‎(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；‎ ‎(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．‎ ‎2．垂直问题的转化关系：‎ ‎ [变式训练2]　如图745，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．‎ 图745‎ ‎(1)求证：PB∥平面MNC；‎ ‎(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.‎ ‎[证明]　(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，2分 又因为MN平面MNC，PB平面MNC，‎ 所以PB∥平面MNC. 5分 ‎(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.‎ 因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 7分 因为平面PAB⊥平面ABC，‎ CM平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.‎ 所以CM⊥平面PAB. 10分 因为PA平面PAB，所以CM⊥PA.‎ 又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC. 12分 平行与垂直的综合问题 ‎☞角度1　多面体中平行与垂直关系的证明 ‎　(2016·江苏高考) 如图746，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A‎1F，A‎1C1⊥A1B1.‎ 图746‎ 求证：(1)直线DE∥平面A‎1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ ‎[证明]　(1)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，A‎1C1∥AC.‎ 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，‎ 所以DE∥AC，于是DE∥A‎1C1. 3分 又因为DE平面A‎1C1F，A‎1C1平面A‎1C1F，‎ 所以直线DE∥平面A‎1C1F. 5分 ‎(2)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，A‎1A⊥平面A1B‎1C1.‎ 因为A‎1C1平面A1B‎1C1，所以A‎1A⊥A‎1C1. 7分 又因为A‎1C1⊥A1B1，A‎1A平面ABB‎1A1，A1B1平面ABB‎1A1，A‎1A∩A1B1＝A1，所以A‎1C1⊥平面ABB‎1A1.‎ 因为B1D平面ABB‎1A1，所以A‎1C1⊥B1D. 10分 又因为B1D⊥A‎1F，A‎1C1平面A‎1C1F，A‎1F平面A‎1C1F，A‎1C1∩A‎1F＝A1，所以B1D⊥平面A‎1C1F.‎ 因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A‎1C1F. 12分 ‎[规律方法]　1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．‎ ‎2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．‎ ‎☞角度2　平行垂直中探索开放问题 ‎　(2017·秦皇岛调研)如图747(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A‎1F⊥CD，如图747(2)所示．‎ ‎(1)　　　　　　　　(2)‎ 图747‎ ‎(1)求证：A‎1F⊥BE；‎ ‎(2)线段A1B上是否存在点Q，使A‎1C⊥平面DEQ？并说明理由.‎ ‎【导学号：66482337】‎ ‎[证明]　(1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.‎ 所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，‎ 因为DC∩DA1＝D，‎ 所以DE⊥平面A1DC. 2分 由于A‎1F平面A1DC，所以DE⊥A‎1F.‎ 又因为A‎1F⊥CD，CD∩DE＝D，‎ 所以A‎1F⊥平面BCDE，‎ 又BE平面BCDE，‎ 所以A‎1F⊥BE. 5分 ‎(2)线段A1B上存在点Q，使A‎1C⊥平面DEQ. 6分 理由如下：‎ 如图，分别取A‎1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.‎ 又因为DE∥BC，则DE∥PQ.‎ 所以平面DEQ即为平面DEQP. 9分 由(1)知，DE⊥平面A1DC，‎ 所以DE⊥A‎1C.‎ 又因为P是等腰三角形DA‎1C底边A‎1C的中点，‎ 所以A‎1C⊥DP.‎ 又DP∩DE＝D，‎ 所以A‎1C⊥平面DEQP.从而A‎1C⊥平面DEQ.‎ 故线段A1B上存在点Q，使得A‎1C⊥平面DEQ. 12分 ‎[规律方法]　1.对命题条件探索性的主要途径：‎ ‎(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；‎ ‎(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．‎ ‎2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.‎ 线面角的求法与应用 ‎　(2016·浙江高考)如图748，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.‎ 图748‎ ‎(1)求证：BF⊥平面ACFD；‎ ‎(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示. 1分 因为平面BCFE⊥平面ABC，‎ 且AC⊥BC，‎ 所以AC⊥平面BCK，3分 因此，BF⊥AC.‎ 又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.‎ 所以BF⊥平面ACFD. 5分 ‎(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角. 8分 在Rt△BFD中，BF＝，DF＝，得cos∠BDF＝，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为. 12分 ‎[规律方法]　1.利用综合法求空间角的步骤：‎ ‎(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角．‎ ‎(2)证：证明找出的角即为所求的角．‎ ‎(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．‎ ‎2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．‎ ‎[变式训练3]　如图749，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．‎ 图749‎ ‎(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；‎ ‎(2)证明：AE⊥平面PCD.‎ ‎[解]　(1)在四棱锥PABCD中，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，‎ 故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，‎ 从而AB⊥平面PAD，2分 故PB在平面PAD内的射影为PA，‎ 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．‎ 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.‎ ‎∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°. 5分 ‎(2)证明：在四棱锥PABCD中，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，‎ 故CD⊥PA.‎ 由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAC. 7分 又AE平面PAC，∴AE⊥CD.‎ 由PA＝AB＝BC，‎ ‎∠ABC＝60°，可得AC＝PA.‎ ‎∵E是PC的中点，‎ ‎∴AE⊥PC. 10分 又PC∩CD＝C，‎ 故AE⊥平面PCD. 12分 ‎[思想与方法]‎ ‎1．证明线面垂直的方法：‎ ‎(1)线面垂直的定义：a与α内任一直线都垂直⇒a⊥α；‎ ‎(2)判定定理1：⇒l⊥α；‎ ‎(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；‎ ‎(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎2．证明面面垂直的方法．‎ ‎(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；‎ ‎(2)判定定理：aα，a⊥β⇒α⊥β.‎ ‎3．转化思想：垂直关系的转化 ‎[易错与防范]‎ ‎1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．‎ ‎2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．‎