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  • 2021-06-24 发布

【数学】2018届一轮复习北师大版垂直关系教案

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第四节 垂直关系 ‎ [考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.‎ ‎1.直线与平面垂直 ‎(1)定义:如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.‎ ‎(2)定理 ‎2.二面角 ‎(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.‎ ‎(2)二面角的度量——二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫作直二面角.‎ ‎3.平面与平面垂直 ‎(1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.‎ ‎(2)定理 ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.(  )‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(  )‎ ‎(3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行.(  )‎ ‎(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.(教材改编)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且lα,mβ.(  )‎ A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m A [∵l⊥β,lα,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确.]‎ ‎3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足 m∥α,n⊥β,则(  )‎ A.m∥l      B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n C [∵α∩β=l,∴lβ.‎ ‎∵n⊥β,∴n⊥l.]‎ ‎4.如图741,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.‎ 图741‎ ‎4 [∵PA⊥平面ABC,‎ ‎∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,‎ 则△PAB,△PAC为直角三角形.‎ 由BC⊥AC,且AC∩PA=A,‎ ‎∴BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC.‎ 因此△ABC,△PBC也是直角三角形.]‎ ‎5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为________.‎ ‎【导学号:66482336】‎ a [如图所示,取BD的中点O,连接A′O,CO,则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角.‎ 即∠A′OC=90°,又A′O=CO=a,‎ ‎∴A′C==a,即折叠后AC的长(A′C)为a.]‎ 线面垂直的判定与性质 ‎ 如图742,在三棱锥ABCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.‎ 图742‎ ‎(1)求证:CD⊥平面ABD;‎ ‎(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥AMBC的体积.‎ ‎[解] (1)证明:因为AB⊥平面BCD,CD平面BCD,‎ 所以AB⊥CD. 2分 又因为CD⊥BD,AB∩BD=B,‎ AB平面ABD,BD平面ABD,‎ 所以CD⊥平面ABD. 5分 ‎(2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.‎ 又AB=BD=1,所以S△ABD=×12=. 8分 因为M是AD的中点,所以S△ABM=S△ABD=.‎ 根据(1)知,CD⊥平面ABD,‎ 则三棱锥CABM的高h=CD=1,‎ 故VAMBC=VCABM=S△ABM·h=. 12分 ‎[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法:‎ ‎(1)判定定理;‎ ‎(2)垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);‎ ‎(3)面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);‎ ‎(4)面面垂直的性质.‎ ‎2.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.‎ ‎[变式训练1]  如图743所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC,PD⊥平面ABC,PD=DB.‎ 图743‎ 求证:PA⊥CD.‎ ‎[证明] 因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB,在Rt△ABC中,由AC=BC,得∠ABC=30°. 3分 设AD=1,由3AD=DB,得DB=3,BC=2,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos30°=3,‎ 所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AO. 8分 因为PD⊥平面ABC,CD平面ABC,‎ 所以PD⊥CD,由PD∩AO=D,得CD⊥平面PAB,又PA平面PAB,所以PA⊥CD. 12分 面面垂直的判定与性质 ‎ (2017·郑州调研)如图744,三棱台DEFABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.‎ 图744‎ ‎(1)求证:BD∥平面FGH;‎ ‎(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.‎ ‎[证明] (1)如图所示,连接DG,CD,设CD∩GF=M,‎ 连接MH. 1分 在三棱台DEFABC中,‎ AB=2DE,G为AC的中点,‎ 可得DF∥GC,DF=GC,‎ 所以四边形DFCG为平行四边形. 3分 则M为CD的中点,‎ 又H为BC的中点,‎ 所以HM∥BD,‎ 由于HM平面FGH,BD 平面FGH,‎ 故BD∥平面FGH. 5分 ‎(2)连接HE,CE,CD.‎ 因为G,H分别为AC,BC的中点,‎ 所以GH∥AB. 6分 由AB⊥BC,得GH⊥BC.‎ 又H为BC的中点,‎ 所以EF∥HC,EF=HC,‎ 因此四边形EFCH是平行四边形,‎ 所以CF∥HE. 10分 由于CF⊥BC,所以HE⊥BC.‎ 又HE,GH平面EGH,HE∩GH=H.‎ 所以BC⊥平面EGH.‎ 又BC平面BCD,‎ 所以平面BCD⊥平面EGH. 12分 ‎[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路:‎ ‎(1)用面面垂直的判定定理,即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;‎ ‎(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.‎ ‎2.垂直问题的转化关系:‎ ‎ [变式训练2] 如图745,在三棱锥PABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,M,N分别为AB,PA的中点.‎ 图745‎ ‎(1)求证:PB∥平面MNC;‎ ‎(2)若AC=BC,求证:PA⊥平面MNC.‎ ‎[证明] (1)因为M,N分别为AB,PA的中点,所以MN∥PB,2分 又因为MN平面MNC,PB平面MNC,‎ 所以PB∥平面MNC. 5分 ‎(2)因为PA⊥PB,MN∥PB,所以PA⊥MN.‎ 因为AC=BC,AM=BM,所以CM⊥AB. 7分 因为平面PAB⊥平面ABC,‎ CM平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB.‎ 所以CM⊥平面PAB. 10分 因为PA平面PAB,所以CM⊥PA.‎ 又MN∩CM=M,所以PA⊥平面MNC. 12分 平行与垂直的综合问题 ‎☞角度1 多面体中平行与垂直关系的证明 ‎ (2016·江苏高考) 如图746,在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A‎1F,A‎1C1⊥A1B1.‎ 图746‎ 求证:(1)直线DE∥平面A‎1C1F;‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ ‎[证明] (1)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,A‎1C1∥AC.‎ 在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,‎ 所以DE∥AC,于是DE∥A‎1C1. 3分 又因为DE平面A‎1C1F,A‎1C1平面A‎1C1F,‎ 所以直线DE∥平面A‎1C1F. 5分 ‎(2)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,A‎1A⊥平面A1B‎1C1.‎ 因为A‎1C1平面A1B‎1C1,所以A‎1A⊥A‎1C1. 7分 又因为A‎1C1⊥A1B1,A‎1A平面ABB‎1A1,A1B1平面ABB‎1A1,A‎1A∩A1B1=A1,所以A‎1C1⊥平面ABB‎1A1.‎ 因为B1D平面ABB‎1A1,所以A‎1C1⊥B1D. 10分 又因为B1D⊥A‎1F,A‎1C1平面A‎1C1F,A‎1F平面A‎1C1F,A‎1C1∩A‎1F=A1,所以B1D⊥平面A‎1C1F.‎ 因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A‎1C1F. 12分 ‎[规律方法] 1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.‎ ‎2.垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.‎ ‎☞角度2 平行垂直中探索开放问题 ‎ (2017·秦皇岛调研)如图747(1)所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A‎1F⊥CD,如图747(2)所示.‎ ‎(1)        (2)‎ 图747‎ ‎(1)求证:A‎1F⊥BE;‎ ‎(2)线段A1B上是否存在点Q,使A‎1C⊥平面DEQ?并说明理由.‎ ‎【导学号:66482337】‎ ‎[证明] (1)由已知,得AC⊥BC,且DE∥BC.‎ 所以DE⊥AC,则DE⊥DC,DE⊥DA1,‎ 因为DC∩DA1=D,‎ 所以DE⊥平面A1DC. 2分 由于A‎1F平面A1DC,所以DE⊥A‎1F.‎ 又因为A‎1F⊥CD,CD∩DE=D,‎ 所以A‎1F⊥平面BCDE,‎ 又BE平面BCDE,‎ 所以A‎1F⊥BE. 5分 ‎(2)线段A1B上存在点Q,使A‎1C⊥平面DEQ. 6分 理由如下:‎ 如图,分别取A‎1C,A1B的中点P,Q,连接PQ,则PQ∥BC.‎ 又因为DE∥BC,则DE∥PQ.‎ 所以平面DEQ即为平面DEQP. 9分 由(1)知,DE⊥平面A1DC,‎ 所以DE⊥A‎1C.‎ 又因为P是等腰三角形DA‎1C底边A‎1C的中点,‎ 所以A‎1C⊥DP.‎ 又DP∩DE=D,‎ 所以A‎1C⊥平面DEQP.从而A‎1C⊥平面DEQ.‎ 故线段A1B上存在点Q,使得A‎1C⊥平面DEQ. 12分 ‎[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径:‎ ‎(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;‎ ‎(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.‎ ‎2.平行(垂直)中点的位置探索性问题:一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识建点.‎ 线面角的求法与应用 ‎ (2016·浙江高考)如图748,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.‎ 图748‎ ‎(1)求证:BF⊥平面ACFD;‎ ‎(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.‎ ‎[解] (1)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示. 1分 因为平面BCFE⊥平面ABC,‎ 且AC⊥BC,‎ 所以AC⊥平面BCK,3分 因此,BF⊥AC.‎ 又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.‎ 所以BF⊥平面ACFD. 5分 ‎(2)因为BF⊥平面ACK,所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角. 8分 在Rt△BFD中,BF=,DF=,得cos∠BDF=,所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为. 12分 ‎[规律方法] 1.利用综合法求空间角的步骤:‎ ‎(1)找:根据图形找出相关的线面角或二面角.‎ ‎(2)证:证明找出的角即为所求的角.‎ ‎(3)算:根据题目中的数据,通过解三角形求出所求角.‎ ‎2.线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.‎ ‎[变式训练3] 如图749,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.‎ 图749‎ ‎(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;‎ ‎(2)证明:AE⊥平面PCD.‎ ‎[解] (1)在四棱锥PABCD中,‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD,‎ 故PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,‎ 从而AB⊥平面PAD,2分 故PB在平面PAD内的射影为PA,‎ 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.‎ 在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.‎ ‎∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°. 5分 ‎(2)证明:在四棱锥PABCD中,‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,‎ 故CD⊥PA.‎ 由条件CD⊥AC,PA∩AC=A,‎ ‎∴CD⊥平面PAC. 7分 又AE平面PAC,∴AE⊥CD.‎ 由PA=AB=BC,‎ ‎∠ABC=60°,可得AC=PA.‎ ‎∵E是PC的中点,‎ ‎∴AE⊥PC. 10分 又PC∩CD=C,‎ 故AE⊥平面PCD. 12分 ‎[思想与方法]‎ ‎1.证明线面垂直的方法:‎ ‎(1)线面垂直的定义:a与α内任一直线都垂直⇒a⊥α;‎ ‎(2)判定定理1:⇒l⊥α;‎ ‎(3)判定定理2:a∥b,a⊥α⇒b⊥α;‎ ‎(4)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,aα,a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎2.证明面面垂直的方法.‎ ‎(1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角;‎ ‎(2)判定定理:aα,a⊥β⇒α⊥β.‎ ‎3.转化思想:垂直关系的转化 ‎[易错与防范]‎ ‎1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.‎ ‎2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.‎

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