黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2019-2020学年高二9月月考数学（理）试题 18页

‎2019—2020学年度上学期9月月考 ‎ 高二数学（理科）试卷 一、选择题（每题5分，共12题）‎ ‎1.设命题，则为(　　)‎ A. ∀x∈(0，＋∞)，≥log2x B. ∀x∈(0，＋∞)，＜log2x C. ∃x0∈(0，＋∞)，＝log2x0 D. ∃x0∈(0，＋∞)，＜log2x0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与存在性命题的关系，即可得到命题的否定，得到答案。‎ ‎【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定“”，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查了全称命题与存在性命题的关系，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，正确书写是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎2.A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是，，观察茎叶图，下列结论正确的是　　‎ A. ，B比A成绩稳定 B. ，B比A成绩稳定 C. ，A比B成绩稳定 D. ，A比B成绩稳定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图看出和的五次成绩离散程度，计算出和的平均数，比较大小即可 ‎【详解】的成绩为，的平均数为 的成绩为的平均数为 从茎叶图上看出的数据比的数据集中，比成绩稳定 故选 ‎【点睛】本题考查了茎叶图的应用问题，考查了平均数的求法，解题时应该观察茎叶图中的数据，根据数据解答问题，属于基础题。‎ ‎3.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)‎ A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，是互斥事件，但除了事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”还有“丙分得红牌”，所以这两者不是对立事件，答案为B.‎ 考点：互斥与对立事件.‎ ‎4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据框图，模拟计算即可得出结果.‎ ‎【详解】程序执行第一次，，，第二次，，第三次，，第四次，，跳出循环，输出，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.‎ ‎5.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　)‎ A. 8 B. 15 C. 16 D. 32‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据标准差与方差的关系，先求出样本数据对应的方差，然后结合变量之间的方差关系，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】由题意，样本的标准差为8，即，所以，‎ 可得数据的方差为，‎ 所以数据对应的标准差为，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查了方差与标准差的计算，其中解答中根据变量之间的关系，正确计算相应变量的方差是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎6.已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若,则（ ）‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义，求得三角形的周长，结合的长度即可求得。‎ ‎【详解】根据椭圆定义，‎ 所以三角形周长为 所以 所以选C ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义及简单应用，属于基础题。‎ ‎7.某产品在某零售摊位的零售价（单位：元）与每天的销售量（单位：个）的统计资料如下表所示，‎ 由表可得回归直线方程中的，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（ ）‎ A. 26个 B. 27个 C. 28个 D. 29个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 将代入回归方程得，解得．∴回归方程为当时，故选：D．‎ 考点：回归直线方程 ‎8.方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　)‎ A. 一条直线和一条双曲线 B. 两条双曲线 C. 两个点 D. 以上答案都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据方程，解方程组，即可得到结论。‎ ‎【详解】由题意，方程，可得，解得或，‎ 所以方程表示的曲线是两个点或，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查了曲线与方程问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎9.将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量＝(m，n)，＝(3,6)．则向量与共线的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由将一枚骰子抛掷两次共有种结果，再列举出向量与共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。‎ ‎【详解】由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有种结果，‎ 又由向量共线，即，即，‎ 满足这种条件的基本事件有：，共有3种结果，‎ 所以向量与共线的概率为，故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎10.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.‎ ‎【详解】金、木、水、火、土任取两类，共有：‎ 金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，‎ 其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，‎ 所以2类元素相生的概率为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎11.若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝(　　)‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解。‎ ‎【详解】由题意，椭圆方程，可得，‎ 所以焦点，‎ 又由椭圆的定义，可得，因为，所以，‎ 在中，由余弦定理可得,‎ 所以，解得，‎ 又由，所以，‎ 故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其标准方程的应用，其中解答中利用椭圆的定义和三角形的余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎12.已知p：函数在(－∞，－1)上是减函数，q：∀x>0，恒成立，则p是q的(　　)‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于命题：利用二次函数的单调性可得，：，对于命题：由于，利用基本不等式的性质可得，即可得出结论 ‎【详解】：函数在上是减函数，所以，所以：，‎ ‎：因为，所以，‎ 当且仅当时取等号，所以.‎ 则是的充分不必要条件，‎ 故选 ‎【点睛】本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，根据题目条件先求出命题成立的取值范围，然后求出结果。‎ 二、填空题：（每题5分，共4题）‎ ‎13.国庆期间某商场新进某品牌电视机30台，为检测这批品牌电视机的安全系数，现采用系统抽样的方法从中抽取5台进行检测，若第一组抽出的号码是4，则第4组抽出的号码为 ．‎ ‎【答案】22‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第4组抽出的号码为 考点：系统抽样 ‎14.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．两人能会面的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设甲乙从6时起分别经过 分钟和分钟到达会面地点，列出不等式组，若两人能够会面，则需，画出可行域，利用面积比的几何概型，即可求解。‎ ‎【详解】设甲乙从6时起分别经过 分钟和分钟到达会面地点，‎ 则，若两人能够会面，则需，‎ 作出约束条件表示的可行域，如图所示，可得的所有可能的结果是边长为的正方形区域，而事件A“两人能够会面的可能”结果，由图中的阴影部分表示，‎ 由几何概型概率公式，可得,‎ 所以，两人能会面的概率是。‎ ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎15.若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为___．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对立事件的性质可得，由此利用基本不等式，即可求得的最小值，得到答案。‎ ‎【详解】由事件互对立事件，其概率分别，且，‎ 所以，‎ 所以，‎ 当且仅当时，即是取等号，‎ 所以的最小值为。‎ ‎【点睛】本题主要考查了对立事件的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中对立事件及基本不等式的性质的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎16.给出下列结论：‎ ‎①若为真命题，则、均为真命题; ‎ ‎②命题“若，则”的逆否命题是“若，则”;‎ ‎③若命题，，则，；‎ ‎④“”是“”的充分不必要条件.其中正确的结论有____.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据复合命题的真假判定方法，可得①错误；根据四种命题的概念，可得②正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可得③正确；根据充分条件和必要条件的判定，可得④正确。‎ ‎【详解】对于①中，命题若为真命题，则至少有一个真命题，所以不正确； ‎ 对于②中，根据逆否命题的概念，可得命题“若，则”的逆否命题是“若，则”是正确的；‎ 对③中，根据全称命题和存在性命题的关系，可得命题“，”的否定为“，”是正确的；‎ 对于④中，不等式的解集为或，所以“”是“”的充分不必要条件是正确的，‎ 故正确的结论有②③④。‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记复合命题的真假判定方法，四种命题的概念，全称命题与存在性命题的关系，以及充要条件的判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ 三、解答题：‎ ‎17.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，求实数a取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得命题都是真命题都是真命题时，实数的范围，再根据“且”为真命题，所以都是真命题，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】由题意，命题，当为真命题时，即恒成立，即；‎ 命题，当为真命题时，则，‎ 解得或，‎ 又由“且”为真命题，所以都是真命题，‎ 所以实数的取值范围是。‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中正确求解命题为真命题时实数的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎18.设定点，动点N在圆上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．‎ ‎【答案】圆，除去两点和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中点公式得到：代入计算得到，排除共线时的两点 和得到答案.‎ ‎【详解】设，，根据中点公式得到：，‎ 由，得,‎ 当共线时，不构成平行四边形 此时 得到两点和 故答案为：圆，除去两点和 ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，忽略掉共线时的两点是容易犯的错误.‎ ‎19.某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：‎ ‎(1)求y关于x的线性回归方程；‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程，当价格x＝40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？‎ 参考公式：线性回归方程，其中＝，.‎ ‎【答案】(1) y=﹣0.32x+14.4 (2) 日需求量y的预测值为1.6kg ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；‎ ‎（2）把x=40，代入回归方程解出y即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由所给数据计算得，，，‎ ‎，，．‎ ‎∴所求线性回归方程为y=﹣0.32x+14.4．‎ ‎（2）由（1）知当x=40时，y=﹣0.32×40+14.4=1.6，‎ 故当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为1.6kg．‎ ‎20.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)求直方图中的a值；‎ ‎(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；‎ ‎(3)估计居民月均用水量的中位数．‎ ‎【答案】（1）a＝0.3；(2)3.6万，见解析；（3）2.04‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意，根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；‎ ‎ (2)求得月均用水量不低于3吨的频率0.12，再由样本容量，即可得到结论；‎ ‎(3)根据频率分布直方图和中位数的概念，即可得到中位数应在[2,2.5)组内，设出未知数x，列出方程，即可求解。‎ ‎【详解】(1)由题意，根据频率分布直方图的性质，可得 ‎ (0.08＋0.16＋a＋0.42＋0.50＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5=1，‎ 整理得2＝1.4＋2a，解得a＝0.3.‎ ‎(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，‎ 理由如下：‎ 由已知中的频率分布直方图，可得月均用水量不低于3吨的频率为 ‎(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12，‎ 又由样本容量为30万，所以样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12＝3.6万．‎ ‎(3)根据频率分布直方图，得0.08×0.5＋0.16×0.5＋0.30×0.5＋0.42×0.5＝0.48＜0.5，‎ ‎0.48＋0.5×0.50＝0.73＞0.5，∴中位数应在[2,2.5)组内．‎ 设出未知数x，令0.08×0.5＋0.16×0.5＋0.30×0.5＋0.42×0.5＋0.50×x＝0.5，‎ 解得x＝0.04，所以中位数是2＋0.04＝2.04.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟练应用频率分布直方图的性质，中位数的概念，以及频率分布直方图中概率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎21.设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，‎ ‎（1）若的周长为16，求；‎ ‎（2）若，求椭圆的离心率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可以求得，而的周长为，再由椭圆定义可得.故.（2）设出，则且.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出的关系，从而，，则 ‎，故，为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.‎ ‎（1）由，得.因为的周长为，所以由椭圆定义可得.故.‎ ‎（2）设，则且.由椭圆定义可得.‎ 在中，由余弦定理可得，即，化简可得，而，故.于是有.因此，可得，故为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.‎ 考点：1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.‎ ‎22.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且短轴长为6.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)是否存在斜率为1的直线l，使得l与曲线C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）＋；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得椭圆的标准方程，得到答案。‎ ‎ (2)设直线的方程为，联立方程组，利用判别式、根与系数的关系，以及＝0，列出方程求得的值，即可求解。‎ ‎【详解】(1)由题意，椭圆的离心率为，且短轴长为，‎ 所以，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线与椭圆交于两点，其方程为，‎ 由，消去，化简得，‎ ‎∵直线与椭圆交于两点，∴，‎ 化简得，∴－，，‎ ‎∵以线段为直径的圆恰到恰好经过原点，∴＝0，∴，‎ 又，‎ ‎，‎ 解得，满足，‎ ‎∴或，‎ 故符合题意的直线l存在，方程为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。‎ ‎ ‎ ‎ ‎