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- 2021-06-24 发布
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第
1
讲 集合、常用逻辑用语
考情分析
总纲目录
考点一 集合的概念及运算
考点二 命题的真假判断与否定
考点三 充分、必要条件的判断
考点一 集合的概念及运算
集合的运算性质及重要结论
(1)
A
∪
A
=
A
,
A
∪
⌀
=
A
,
A
∪
B
=
B
∪
A
.
(2)
A
∩
A
=
A
,
A
∩
⌀
=
⌀
,
A
∩
B
=
B
∩
A
.
(3)
A
∩
(
∁
U
A
)=
⌀
,
A
∪
(
∁
U
A
)=
U
.
(4)
A
∩
B
=
A
⇔
A
⊆
B
,
A
∪
B
=
A
⇔
B
⊆
A
.
典型例题
(1)(2017课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合
A
={
x
|
x
<2},
B
={
x
|3-2
x
>0},则
( )
A.
A
∩
B
=
B.
A
∩
B
=
⌀
C.
A
∪
B
=
D.
A
∪
B
=R
(2)(2017课标全国Ⅲ理,1,5分)已知集合
A
={(
x
,
y
)|
x
2
+
y
2
=1},
B
={(
x
,
y
)|
y
=
x
},
则
A
∩
B
中元素的个数为
( )
A.3 B.2 C.1 D.0
(3)(2017湖北四校联考)已知集合
A
={
x
∈N|π
x
<16},
B
={
x
|
x
2
-5
x
+4<0},则
A
∩
(
∁
R
B
)的真子集的个数为
( )
A.1 B.3 C.4 D.7
答案
(1)A (2)B (3)B
解析
(1)由3-2
x
>0得
x
<
,则
B
=
,所以
A
∩
B
=
,故选A.
(2)集合
A
表示单位圆上的所有的点,集合
B
表示直线
y
=
x
上的所有的点.
A
∩
B
表示直线与圆的公共点,显然,直线
y
=
x
经过圆
x
2
+
y
2
=1的圆心(0,0),故
共有两个公共点,即
A
∩
B
中元素的个数为2.
(3)因为
A
={
x
∈N|π
x
<16}={0,1,2},
B
={
x
|
x
2
-5
x
+4<0}={
x
|1<
x
<4},故
∁
R
B
=
{
x
|
x
≤
1或
x
≥
4},故
A
∩
(
∁
R
B
)={0,1},故
A
∩
(
∁
R
B
)的真子集的个数为3,故选
B.
方法归纳
1.集合运算中的常用方法
(1)若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解;
(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;
(3)若已知的集合是抽象集合,则用Venn图求解.
2.在写集合的子集时,易忽视空集;在应用
A
∪
B
=
B
⇔
A
∩
B
=
A
⇔
A
⊆
B
时,
易忽略
A
=
⌀
的情况.
跟踪集训
1.(2017天津,1,5分)设集合
A
={1,2,6},
B
={2,4},
C
={1,2,3,4},则(
A
∪
B
)
∩
C
=
( )
A.{2}
B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}
D.{1,2,3,4,6}
答案
B 由题意知
A
∪
B
={1,2,4,6},∴(
A
∪
B
)
∩
C
={1,2,4},故选B.
2.
(2017湖南湘中名校联考)已知集合
A
={
x
|
x
2
-11
x
-12<0},
B
={
x
|
x
=2(3
n
+1),
n
∈Z},则
A
∩
B
等于
( )
A.{2} B.{2,8} C.{4,10} D.{2,8,10}
答案
B 因为集合
A
={
x
|
x
2
-11
x
-12<0}={
x
|-1<
x
<12},集合
B
为被6整除
余数为2的数.又集合
A
中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,其中被6整除余
数为2的数有2和8,所以
A
∩
B
={2,8},故选B.
3.(2017河南洛阳模拟)已知全集
U
=R,集合
A
={
x
|
x
2
-3
x
-4>0},
B
={
x
|-2
≤
x
≤
2},则如图所示的阴影部分所表示的集合为
( )
A.{
x
|-2
≤
x
<4} B.{
x
|
x
≤
2或
x
≥
4}
C.{
x
|-2
≤
x
≤
-1} D.{
x
|-1
≤
x
≤
2}
答案
D 题图中阴影部分所表示的集合为(
∁
R
A
)
∩
B
.依题意得
A
={
x
|
x
<-1或
x
>4},因此
∁
R
A
={
x
|-1
≤
x
≤
4},所以(
∁
R
A
)
∩
B={x|-1
≤
x
≤
2},选D.
考点二 命题的真假判断与否定
1.四种命题的关系
(1)若两个命题互为逆否命题,则它们同真同假.
(2)若两个命题为互逆命题或互否命题,则它们的真假没有关系.
2.全(特)称命题及其否定
(1)全称命题
p
:
∀
x
∈
M
,
p
(
x
),它的否定为¬
p
:
∃
x
0
∈
M
,¬
p
(
x
0
).
(2)特称命题
p
:
∃
x
0
∈
M
,
p
(
x
0
),它的否定为¬
p
:
∀
x
∈
M
,¬
p
(
x
).
3.复合命题的真假判断
命题
p
∨
q
,只要
p
,
q
有一真,即为真;命题
p
∧
q
,只有
p
,
q
均为真,才为真;¬
p
和
p
的真假相反.
典型例题
(1)(2017河南郑州质量检测(一))命题“
∃
x
0
∈R,
-
x
0
- 1 >0”的否定
是
( )
A.
∀
x
∈R,
x
2
-
x
-1
≤
0
B.
∃
x
0
∈R,
-
x
0
- 1
≤
0
C.
∀
x
∈R,
x
2
-
x
-1>0
D.
∃
x
0
∈R,
-
x
0
-1
≥
0
(2)(2017山东,5,5分)已知命题
p
:
∃
x
∈R,
x
2
-
x
+1
≥
0;命题
q
:若
a
2
<
b
2
,则
a
<
b
.
下列命题为真命题的是
( )
A.
p
∧
q
B.
p
∧¬
q
C.¬
p
∧
q
D.¬
p
∧¬
q
(3)(2017北京,13,5分)能够说明“设
a
,
b
,
c
是任意实数.若
a
>
b
>
c
,则
a
+
b
>
c
”是假命题的一组整数
a
,
b
,
c
的值依次为
.
答案
(1)A (2)B (3)-1,-2,-3
解析
(1)命题“
∃
x
0
∈R,
-
x
0
- 1>0”的否定是“
∀
x
∈R,
x
2
-
x
-1
≤
0”.
(2)
p
:
x
2
-
x
+1=
+
>0恒成立,
∴
∃
x
∈R,
x
2
-
x
+1
≥
0成立.故命题
p
为真.
q
:
a
2
<
b
2
⇒
a
2
-
b
2
<0
⇒
(
a
+
b
)(
a
-
b
)<0,
∴
或
解得
或
故命题
q
为假,从而¬
q
为真.
∴
p
∧¬
q
为真,故选B.
(3)答案不唯一,如:
a
=-1,
b
=-2,
c
=-3,满足
a
>
b
>
c
,但不满足
a
+
b
>
c
.
方法归纳
1.命题真假的判断方法
(1)一般命题
p
的真假由涉及的相关知识辨别.
(2)四种命题真假的判断:一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其
他两个命题的真假无此规律.
(3)形如
p
∨
q
,
p
∧
q
,¬
p
命题的真假根据
p
,
q
的真假与逻辑联结词的含义判
断.
2.全称命题与特称命题真假的判断
(1)全称命题:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合
M
中的每
一个元素
x
验证
p
(
x
)成立,要判断其为假命题时,只需举出一个反例即可.
(2)特称命题:要判断一个特称命题为真命题,只要在限定集合
M
中至少
能找到一个元素
x
0
,使得
p
(
x
0
)成立即可;否则,这一特称命题是假命题.
3.“否命题”是对原命题“若
p
,则
q
”既否定其条件,又否定其结论;而
“命题
p
的否定”即¬
p
,只是否定命题
p
的结论.
跟踪集训
1.(2017安徽合肥第二次教学质量检测)已知命题
q
:
∀
x
∈R,
x
2
>0,则
( )
A.命题¬
q
:
∀
x
∈R,
x
2
≤
0为假命题
B.命题¬
q
:
∀
x
∈R,
x
2
≤
0为真命题
C.命题¬
q
:
∃
x
0
∈R,
≤
0为假命题
D.命题¬
q
:
∃
x
0
∈R,
≤
0为真命题
答案
D 由题意知¬
q
:
∃
x
0
∈R,
≤
0,为真命题,故选D.
2.(2017山西八校联考)已知命题
p
:存在
n
∈R,使得
f
(
x
)=
n
是幂函数,
且在(0,+
∞
)上单调递增;命题
q
:“
∃
x
0
∈R,
+2>3
x
0
”的否定是“
∀
x
∈
R,
x
2
+2<3
x
”.则下列命题为真命题的是
( )
A.
p
∧
q
B.(¬
p
)∧
q
C.
p
∧(¬
q
)
D.(¬
p
)∧(¬
q
)
答案
C 当
n
=1时,
f
(
x
)=
x
3
,为幂函数,且在(0,+
∞
)上单调递增,故
p
是
真命题,则¬
p
是假命题;“
∃
x
0
∈R,
+2>3
x
0
”的否定是“
∀
x
∈R,
x
2
+2
≤
3
x
”,故
q
是假命题,¬
q
是真命题.所以
p
∧
q
,(¬
p
)∧
q
,(¬
p
)∧(¬
q
)均为假命
题,
p
∧(¬
q
)是真命题,选C.
考点三 充分、必要条件的判断
1.若
p
⇒
q
,则
p
是
q
的充分条件;
2.若
q
⇒
p
,则
p
是
q
的必要条件;
3.若
p
⇒
q
且
q
⇒
p
,则
p
是
q
的充要条件;
4.若
p
⇒
q
且
q
⇒
/
p
,则
p
是
q
的充分不必要条件;
5.若
p
⇒
/
q
且
q
⇒
p
,则
p
是
q
的必要不充分条件;
6.若
p
⇒
/
q
且
q
⇒
/
p
,则
p
是
q
的既不充分也不必要条件.
典型例题
(1)(2017天津,2,5分)设
x
∈R,则“2-
x
≥
0”是“|
x
-1|
≤
1”的
( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2017北京,7,5分)设
m
,
n
为非零向量,则“存在负数
λ
,使得
m
=
λn
”是
“
m
·
n
<0”的
( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案
(1)B (2)A
解析
(1)由2-
x
≥
0,得
x
≤
2;由|
x
-1|
≤
1,得-1
≤
x
-1
≤
1,即0
≤
x
≤
2,因为[0,
2]
⫋
(-
∞
,2],所以“2-
x
≥
0”是“|
x
-1|
≤
1”的必要而不充分条件,故选B.
(2)由存在负数
λ
,使得
m
=
λn
,可得
m
、
n
共线且反向,夹角为180
°
,则
m
·
n
=
-|
m
||
n
|<0,故充分性成立.由
m
·
n
<0,可得
m
,
n
的夹角为钝角或180
°
,故必要性不
成立.故选A.
方法归纳
判断充分、必要条件的方法
(1)定义法.
(2)集合法.
(3)等价法.
跟踪集训
1.(2017安徽百所重点中学二模)“
a
3
>
b
3
”是“ln
a
>ln
b
”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
B 由
a
3
>
b
3
可得
a
>
b
,当
a
<0,
b
<0时,ln
a
,ln
b
无意义;反之,由ln
a
>
ln
b
可得
a
>
b
,故
a
3
>
b
3
.因此“
a
3
>
b
3
”是“ln
a
>ln
b
”的必要不充分条件.
2.(2017福建八校适应性考试)已知函数
f
(
x
)=3ln(
x
+
)+
a
(7
x
+7
-
x
),则
“
a
=0”是“函数
f
(
x
)是奇函数”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
C 由题意知
f
(
x
)的定义域为R,易知
y
=ln(
x
+
)是奇函数,
y
=
7
x
+7
-
x
是偶函数.当
a
=0时,
f
(
x
)=3ln(
x
+
)为奇函数,充分性成立;当
f
(
x
)
为奇函数时,
a
=0,必要性成立.因此“
a
=0”是“函数
f
(
x
)为奇函数”的充
要条件,故选C.
1.(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合
A
={1,2,3,4},
B
={2,4,6,8},则
A
∩
B
中
元素的个数为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
随堂检测
答案
B 因为集合
A
和集合
B
有共同元素2,4,所以
A
∩
B
={2,4},所以
A
∩
B
中元素的个数为2.
2.(2017课标全国Ⅱ理,2,5分)设集合
A
={1,2,4},
B
={
x
|
x
2
-4
x
+
m
=0}.若
A
∩
B
={1},则
B
=
( )
A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}
答案
C ∵
A
∩
B
={1},
∴1∈
B
,
∴1-4+
m
=0,∴
m
=3.
由
x
2
-4
x
+3=0,解得
x
=1或
x
=3.
∴
B
={1,3}.
经检验符合题意.故选C.
3.(2017山西八校第一次联考)已知集合
A
={
x
|(
x
-3)(
x
+1)
≤
0},
B
={
x
|0<
x
≤
4},则
A
∪
B
=
( )
A.[-1,4]
B.(0,3]
C.(-1,0]
∪
(1,4]
D.[-1,0]
∪
(1,4]
答案
A
A
={
x
|(
x
-3)(
x
+1)
≤
0}={
x
|-1
≤
x
≤
3},故
A
∪
B
=[-1,4],选A.
4.(2017贵州贵阳检测)设向量
a
=(1,
x
-1),
b
=(
x
+1,3),则“
x
=2”是“
a
∥
b
”
的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
A
a
∥
b
的充要条件是1
×
3=(
x
-1)(
x
+1),解得
x
=
±
2.因此“
x
=2”
是“
a
∥
b
”的充分不必要条件,选A.
5.(2017山西重点中学五月联考)已知命题
p
:对任意
x
∈(0,+
∞
),log
2
x
<
log
4
x
,命题
q
:存在
x
0
∈R,使得tan
x
0
=1-
x
0
,则下列命题为真命题的是
( )
A.
p
∧
q
B.(¬
p
)∧(¬
q
)
C.
p
∧(¬
q
)
D.(¬
p
)∧
q
答案
D 易知命题
p
是假命题,命题
q
是真命题,故¬
p
是真命题,因此
(¬
p
)∧
q
是真命题,故选D.
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