【数学】四川省阆中中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理） 9页

四川省阆中中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理）‎ ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知为虚数单位，复数的共轭复数为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价 ‎ 格进行试销，得到如下数据：‎ 单价(元)‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 销量(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎ 由表中数据，求得线性回归方程＝－4x＋a,则a=（ ）‎ ‎ A.100 B‎.104 C.106 D.108‎ ‎4. 已知X～B(n，p)，且E(X)＝2，D(X)＝，则n＝（ ）‎ ‎ A．5 B．‎6 ‎ C．7 D．8‎ ‎5．已知满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6． 方程表示的曲线的大致形状是（图中实线部分）（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表 ‎ 面积为（ ）‎ ‎ A．πa2 B.πa‎2 ‎ C.πa2 D．5πa2‎ ‎8. 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足，则必有（ ）‎ ‎ A．f(0)＋f(2)>‎2f(1) B．f(0)＋f(2)≤‎2f(1)‎ C．f(0)＋f(2)<‎2f(1) D．f(0)＋f(2)≥‎2f(1)‎ ‎9．已知椭圆的左焦点为，直线与相交于 ‎ ‎ 两点，且，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知实数a，b，c，d成等比数列，函数y＝ln(x＋2)－x，当x＝b时，取到极大值c， ‎ ‎ 则ad等于（ ）‎ ‎ A．1 B．‎0 C．－1 D．2‎ ‎11.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面,，‎ ‎ ，则球的体积的最小值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.若函数, 在 ‎ 上单调递增，则实数的取值范围为（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎14. 已知两个单位向量、的夹角为，向量，则 。‎ ‎15．已知p：函数在R上单调递减，的必要不充 ‎ 分条件，则实数m的取值范围为 ．‎ ‎16．已知函数,若有且仅有一个整数，使，则实 ‎ 数的取值范围是 ．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知0＜α＜，0＜β＜，cosα＝，cos(β＋α)＝.‎ ‎(1)求sinβ的值；‎ ‎(2)求的值．‎ ‎18. 阆中中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三 等奖的代表队人数情况如下表，其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人。该校政 ‎ 教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动。并用分层抽 样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中二等奖代表队有5人（同队 内男女生仍采用分层抽样）‎ ‎ 名次 性别 一等奖 代表队 二等奖 代表队 三等奖 代表队 男生 ‎？‎ ‎30‎ ‎◎‎ 女生 ‎30‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎（1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取 ‎ 人上台领奖，用表示女生上台领奖 ‎ 的人数，求的分布列和数学期望。‎ ‎（2）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生内的两个均匀随 ‎ 机数，，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序。若电脑显示 ‎ “中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖。求代表队 ‎ 队员获得奖品的概率。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，对角线 与相交于点，点在线段上，且 ‎，与底面所成角为。‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同 ‎ 的A、B两点．‎ ‎(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；‎ ‎(2)如果·＝－4，证明: 直线l必过一定点，并求出该定点．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设函数f(x)＝.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；‎ ‎(2)当x≥1时，不等式f(x)－≥恒成立，求a的取值范围．‎ ‎22．（共10分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，‎ ‎ 规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列 ‎ 联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.‎ 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 合计 ‎110‎ ‎(1)请完成上面的列联表；‎ ‎(2)根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；‎ ‎ 参考公式与临界值表：K2＝.‎ P(K2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考答案 ‎1-12、BBCBA BBADC BD ‎ ‎13. 15 ． 14. 15． 16． ‎ ‎17． 解：(1)由题知sinα＝，sin(β＋α)＝.‎ 所以sinβ＝sin[(β＋α)－α]＝sin(β＋α)cosα－cos(β＋α)sinα＝×－×＝.‎ ‎(2)因为0＜α＜，cosα＝，所以sinα＝.‎ 所以＝＝＝12.‎ ‎18. (1)设代表队共有人，则，所以，设一等奖代表队男生人数为，则，解得，则一等奖代表队的男生人数为，故前排就坐的一等奖代表队有3男3女，共6人。……………2分 则的可能取值为，，，。‎ 则,,，，所以的分布列 ‎……………5分 ‎ ……………6分 ‎(2) 试验的全部结果所构成的区域为，‎ 面积为， ……………8分 事件表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为，‎ 如图阴影部分的面积为，……………10分 这是一个几何概型，所以。‎ 即代表队队员获得奖品的概率为。 ………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（1）因为在长方体中，有平面，所以，‎ 因为四边形是正方形，所以，又从而平面．而平面，所以。 ……………4分 ‎（2）因为在长方体中，有，，两两垂直，‎ 所以建立空间直角坐标系如图所示．‎ 由(1)知为直线与平面所成的角 又因为与平面所成角为，‎ 所以，所以．由可知，‎ 所以，又，即，故，‎ 则，，，，，‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，令，则 ……………7分 因为平面，所以为平面的法向量，，‎ 所以．‎ 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．………‎ ‎20． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x得 y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2‎ ‎＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.‎ ‎(2)设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，‎ 消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2‎ ‎＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.‎ 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，‎ ‎∴直线l过定点(2，0)．‎ ‎∴若·＝－4，则直线l必过一定点(2，0)．‎ ‎21． 解：(1)根据题意可得，f(e)＝，f′(x)＝，‎ 所以f′(e)＝＝－，即k＝－，‎ 所以在点(e，f(e))处的切线方程为y－＝－(x－e)，即x＋e2y－3e＝0.‎ ‎(2)根据题意可得，‎ f(x)－－＝≥0在x≥1时恒成立，‎ 令g(x)＝lnx－a(x2－1)(x≥1)，所以g′(x)＝－2ax，‎ ‎(ⅰ)当a≤0时，g′(x)>0，‎ 所以函数y＝g(x)在[1，＋∞)上单调递增，‎ 所以g(x)≥g(1)＝0，即a≤0符合题意；‎ ‎(ⅱ)当a>0时，令－2ax＝0，解得x＝ ，令 ＝1，解得a＝，‎ ‎①当01，‎ 所以在(1, )上g′(x)>0，在( ，＋∞)上g′(x)<0，‎ 所以函数y＝g(x)在(1, )上单调递增，‎ 在( ，＋∞)上单调递减，g()＝ln－a[()2－1]＝－lna－＋a，‎ 令h(a)＝－lna－＋a，‎ 则h′(a)＝－＋＋1＝>0恒成立，‎ 又0