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- 2021-06-24 发布
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2020-2021 年新高三数学一轮复习训练：不等关系与不等式
比较两个数(式)的大小
1 若 a>0，且 a≠7，则( )
A．77aa<7aa7
B．77aa＝7aa7
C．77aa>7aa7
D．77aa 与 7aa7 的大小不确定
2.已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则 a，b，c 的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
3 已知 a1，a2∈(0，1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A.MN
C.M＝N D.不确定
4.若 a＝ln 3
3 ，b＝ln 4
4 ，c＝ln 5
5 ，则( )
A.a|b|”是“a3>b3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①c
a>c
b；②acloga(b－c).
其中所有正确结论的序号是( )
A.① B.①② C.②③ D.①②③
不等式及其性质的应用
1.设 b>a>0，c∈R，则下列不等式中不一定成立的是( )
A．
11
221
b－c
C.a＋2
b＋2>a
b D．ac2bc2，则 a>b
B．若 a>b，则 a＋cb，c>d，则 ac>bd
D．若 a>b，c>d，则a
c>b
d
2．若 a，b∈R，且 a>|b|，则( )
A．a<－b B．a>b
C．a21
b
3．若 a1
b B．a2bn
4．已知c3
a|a| B．ac>bc
C.a－b
c >0 D．ln a
b>0
5．设 M＝3x＋3y
2 ，N＝( 3)x＋y，P＝3 xy
(其中 00 B.2a－b<1
2
C.log2a＋log2b<－2 D.2
a
b
＋b
a<1
2
8.设 a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝
a，a≤b，
b，a>b， a⊕b＝
b，a≤b，
a，a>b.
若 m⊗n≥2，
p⊕q≤2，则( )
A.mn≥4 且 p＋q≤4 B.m＋n≥4 且 pq≤4
C.mn≤4 且 p＋q≥4 D.m＋n≤4 且 pq≤4
9.已知存在实数 a 满足 ab2>a>ab，则实数 b 的取值范围是________.
10.已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 满足 f(1)＝0，且 a>b>c，求c
a的取值范围.
11.已知 a>0，b>0，a≠b，则 aabb 与(ab)
a＋b
2 的大小关系是________.
1．(2020·天津模拟)若 α，β 满足－π
2<α<β<π
2，则 2α－β 的取值范围是( )
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－3π
2 <2α－β<π
2 D．0<2α－β<π
2．(多选)若 a1
b
B.1
a> 1
a－b
C．
22
33>ab
D.1
a2> 1
b2
3．(多选)已知 a，b∈(0,1)，若 a>b，则下列所给命题中错误的为( )
A．
1
(1- ) >(1- )aabb
B． 2(1- ) > (1- )
a
abb
C．(1＋b)b>(1＋a)a
D．(1－b)b>(1－a)a
4.限速 40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h，写成
不等式为( )
A.v<40 km/h B.v>40 km/h
C.v≠40 km/h D.v≤40 km/h
5.若 f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则 f(x)，g(x)的大小关系是( )
A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x)
C.f(x)＜g(x) D.随 x 的值变化而变化
6.若 a，b 都是实数，则“ a－ b>0”是“a2－b2>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若 a，b∈R，且 a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A.a－b>0 B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0 D.a＋b<0
8.已知 x，y∈R，那么“x>y”的充要条件是( )
A.2x>2y B.lg x>lg y
C.1
x>1
y D.x2>y2
9.若实数 m，n 满足 m>n>0，则( )
A.－1
m<－1
n B. m－ n< m－n
C.
1
2
m
>
1
2
n
D.m2N B.M9
12．已知 a，b，c，d 为实数，则“a>b 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．若 a＝ln 3
3 ，b＝ln 4
4 ，c＝ln 5
5 ，则( )
A．amn>m＋n B．m－n>m＋n>mn
C．mn>m－n>m＋n D．m＋n>m－n>mn
15．设 0bln a B．aln b”“<”或“＝”).
17.设 f(x)＝ax2＋bx，若 1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则 f(－2)的取值范围是________.
18.已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题：
①若 ab>0，bc－ad>0，则c
a－d
b>0；
②若 ab>0，c
a－d
b>0，则 bc－ad>0；
③若 bc－ad>0，c
a－d
b>0，则 ab>0.
其中正确的命题是________(填序号).
19．已知 a＋b>0，则 a
b2＋ b
a2与1
a＋1
b的大小关系是________．
20．已知有三个条件：①ac2>bc2；②a
c>b
c；③a2>b2，其中能成为 a>b 的充分条件的是________．(填序号)
21.已知 17 时，0<7
a<1,7－a<0，则 7
a
7－a>1，∴77aa>7aa7；
当 01,7－a>0，则 7
a
7－a>1，∴77aa>7aa7，综上，77aa>7aa7.
2.【答案】A
【解析】∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又 b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝
a－1
2
2
＋3
4>0，
∴b>a，∴c≥b>a.
3.【答案】B
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又因为 a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以 a1－1<0，a2－1<0.所以(a1－1)(a2－1)>0，即 M－N>0，
所以 M>N.
4.【答案】B
【解析】法一 易知 a，b，c 都是正数，b
a＝3ln 4
4ln 3＝log8164<1，所以 a>b；b
c＝5ln 4
4ln 5＝
log6251 024>1，所以 b>c.即 c0，得 0e.
∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.
∴f(3)>f(4)>f(5)，即 a>b>c.
5.答案 M>N
解析 因为 M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以 M>N.
考向二
1.【答案】A
【解析】a>|b|能推出 a>b，进而得 a3>b3；当 a3>b3 时，有 a>b，但若 b|b|不成立，
所以“a>|b|”是“a3>b3”的充分不必要条件.
2.【答案】D
【解析】由不等式性质及 a>b>1，知1
a<1
b，又 c<0，∴c
a>c
b，①正确；
构造函数 y＝xc，∵c<0，∴y＝xc 在(0，＋∞)上是单调递减的，
又 a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确.
考向三
1.答案 D
解析 因为 y＝
1
2x 在(0，＋∞)上是增函数，所以
11
221
b－c；
因为a＋2
b＋2－a
b＝2b－a
b＋2b>0，所以a＋2
b＋2>a
b；
2.答案 －π，π
8
解析 设 2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，
则
m＋n＝2，
m－n＝－1， ∴
m＝1
2，
n＝3
2，
即 2α－β＝1
2(α＋β)＋3
2(α－β)，
∵π<α＋β<5π
4 ，－π<α－β<－π
3，
∴π
2<1
2(α＋β)<5π
8 ，－3π
2 <3
2(α－β)<－π
2，
∴－π<1
2(α＋β)＋3
2(α－β)<π
8，
即－π<2α－β<π
8，
∴2α－β 的取值范围是 －π，π
8 .
3.【答案】
x＋y≤100，
6x＋7y≥560，
2x＋y≥155，
x≥0，y≥0
【解析】x，y 所满足的关系为
x＋y≤100，
600x＋700y≥56 000，
800x＋400y≥62 000，
x≥0，y≥0，
即
x＋y≤100，
6x＋7y≥560，
2x＋y≥155，
x≥0，y≥0.
4.【答案】(4，24)
【解析】依题意可得 4<1
b<8，又 1b，则 a＋c>b＋c，故 B 错；设 a＝3，b＝1，c＝－1，d＝－2，则 ac|b|得，当 b≥0 时，a>b，当 b<0 时，a>－b，综上可知，当 a>|b|时，则 a>b 成立，故选 B.
3.答案 C
解析 (特值法)取 a＝－2，b＝－1，n＝0，逐个检验，可知 A，B，D 项均不正确；
C 项，|b|
|a|<|b|＋1
|a|＋1⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)
⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，
∵a1
b>0，即 b>a>0，
∴|b|>|a|, ac>bc, a－b
c >0 成立，即 A，B，C 成立；
此时 00 时，A，B，C 也正确．故选 D.
5.答案 A
解析 M＝3x＋3y
2 > 3x＋y＝( 3)x＋y＝N，
又 N＝( 3)x＋y＝ 23
xy
>3 xy
＝P，
∴M>N>P.
6.答案 ABD
解析 运用倒数性质，由 a＞b，ab＞0 可得1
a＜1
b，B、D 正确.又正数大于负数，A 正确，C 错
误，故选 A，B，D.
7.答案 C
解析 由题意知 02 a
b·b
a＝2，所以
2a
b＋b
a>22＝4，D 错误；由 a＋b＝1>2 ab，得 ab<1
4，因此 log2a＋log2b＝log2(ab)n，
即 n≥m≥2 或 m>n≥2，所以 mn≥4；
结合定义及 p⊕q≤2，可得
p≤2，
p>q 或
q≤2，
p≤q，
即 qa>ab，所以 a≠0，当 a>0 时，b2>1>b，即
b2>1，
b<1， 解得 b<－1；当 a<0 时，b2<11， 此式无解.
综上知实数 b 的取值范围是(－∞，－1).
10.解 因为 f(1)＝0，所以 a＋b＋c＝0，
所以 b＝－(a＋c).又 a>b>c，
所以 a>－(a＋c)>c，且 a>0，c<0，
所以 1>－a＋c
a >c
a，即 1>－1－c
a>c
a.
所以
2c
a <－1，
c
a>－2，
解得－2b>0 时，a
b>1，a－b
2 >0，
则
a
b
a－b
2
>1，∴aabb>(ab)
a＋b
2 .
当 b>a>0 时，01，∴aabb>(ab)
a＋b
2 .
答案 aabb>(ab)
a＋b
2
模拟练
1.答案 C
解析 ∵－π
2<α<π
2，∴－π<2α<π.
∵－π
2<β<π
2，∴－π
2<－β<π
2，
∴－3π
2 <2α－β<3π
2 .
又 α－β<0，α<π
2，∴2α－β<π
2.
故－3π
2 <2α－β<π
2.
2.答案 ABC
解析 对于 A，∵a1
b，故 A 正确；对于 B，∵a 1
a－b，故 B 正确；根据幂函数的单调性可知 C 正确；对于 D，∵ab2>0，∴ 1
a2< 1
b2，故 D 错
误．
3.答案 ABC
解析 因为 a，b∈(0,1)且 a>b，所以 1>1－b>1－a>0，因为指数函数 y＝ax(0a>b>0，
所以1
a>a，a>a
2，故 A，B 错误．
(1＋b)b<(1＋a)b<(1＋a)a，故 C 错误．
(1－b)b>(1－b)a>(1－a)a，故 D 正确．
4.答案 D
解析 由汽车的速度 v 不超过 40 km/h，即小于等于 40 km/h，即 v≤40 km/h，故选 D.
5.答案 B
解析 f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0⇒f(x)＞g(x).
6.答案 A
解析 a－ b>0⇒ a> b⇒a>b⇒a2>b2，但由 a2－b2>0⇒/ a－ b>0.故选 A.
7.答案 D
解析 由 a＋|b|<0 知，a<0，且|a|>|b|，
当 b≥0 时，a＋b<0 成立，当 b<0 时，a＋b<0 成立，所以 a＋b<0，故选 D.
8.答案 A
解析 因为 2x>2y⇔x>y，所以“2x>2y”是“x>y”的充要条件，A 正确；lg x>lg y⇔x>y>0，则“lg x>lg
y”是“x>y”的充分不必要条件，B 错误；“1
x>1
y”和“x2>y2”都是“x>y”的既不充分也不必要条件.
9.答案 B
解析 取 m＝2，n＝1，代入各选择项验证 A，C，D 不成立. 2－1< 2－1只有 B 项成立.
10.答案 A
解析 因为 00，1＋b>0，1－ab>0，
所以 M－N＝1－a
1＋a＋1－b
1＋b＝ 2－2ab
1＋a＋b＋ab>0.故选 A.
11.答案 C
解析 由 f(－1)＝f(－2)＝f(－3)
得
－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，
－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，解得
a＝6，
b＝11，
则 f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，
由 0d，所以 c－d>0.
又 a>b，所以两边同时乘(c－d)，得 a(c－d)>b(c－d)，
即 ac＋bd>bc＋ad.
若 ac＋bd>bc＋ad，则 a(c－d)>b(c－d)，
也可能 ab 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．
13.答案 B
解析 方法一 对于函数 y＝f (x)＝ln x
x (x>e)，y′＝1－ln x
x2 ，
易知当 x>e 时，函数 f (x)单调递减．
因为 e<3<4<5，所以 f (3)>f (4)>f (5)，即 cb；
因为b
c＝5ln 4
4ln 5＝log6251 024>1，
所以 b>c.即 clog0.31＝0，
n＝1
2log20.6<1
2log21＝0，
所以 mn<0，m－n>0，
因为－1
n＝－2log0.62＝log0.60.25>0，
1
m＝log0.60.3>0，
而 log0.60.25>log0.60.3，
所以－1
n>1
m>0，即可得 m＋n>0，
因为(m－n)－(m＋n)＝－2n>0，所以 m－n>m＋n，
所以 m－n>m＋n>mn.故选 B.
15.答案 B
解析 观察 A，B 两项，实际上是在比较ln b
b 和ln a
a 的大小，引入函数 y＝ln x
x ，0bea，故选 B.
16.答案 <
解析 分母有理化有 1
5－2＝ 5＋2， 1
6－ 5＝ 6＋ 5，显然 5＋2< 6＋ 5，所以 1
5－2
< 1
6－ 5.
17.答案 [5，10]
解析 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得
m＋n＝4，
n－m＝－2，解得
m＝3，
n＝1.
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故 5≤f(－2)≤10.
18.答案 ①②③
解析 ∵ab>0，bc－ad>0，
∴c
a－d
b＝bc－ad
ab >0，∴①正确；
∵ab>0，又c
a－d
b>0，即bc－ad
ab >0，
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又c
a－d
b>0，即bc－ad
ab >0，
∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确.
19.答案 a
b2＋b
a2≥1
a＋1
b
解析 a
b2＋b
a2－ 1
a＋1
b ＝a－b
b2 ＋b－a
a2
＝(a－b)· 1
b2－ 1
a2 ＝a＋ba－b2
a2b2 .
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴a＋ba－b2
a2b2 ≥0.
∴ a
b2＋b
a2≥1
a＋1
b.
20 答案 ①
解析 由 ac2>bc2 可知 c2>0，即 a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当 c<0 时，ab 的充分条件．
21.解 因为 1
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