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  • 2021-06-24 发布

重庆市朝阳中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

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朝阳中学2019年12月月考 高二数学 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ ‎1.为了得到函数的图像,可以将函数的图像( )‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为,且==,‎ 所以由=,知,即只需将的图像向右平移个单位,故选B ‎2.已知sin()=,则()的值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解:因为sin()=,则()= sin()=,选B ‎3.已知a=21.3,b=40.7,c=log38,则a,b,c的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的性质即可比较a,b,c的大小.‎ ‎【详解】,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎4.设函数,则使得成立的的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将函数不等式转化为自变量的不等式即可得到结论.‎ ‎【详解】解:的定义域为,‎ ‎,‎ 函数为偶函数,‎ 且在时,,‎ 而为上的单调递增函数,且为上的单调递增函数,‎ 函数在单调递增,‎ 等价为,‎ 即,‎ 平方得,‎ 解得:,‎ 所求的取值范围是.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,考查函数性质的综合应用,运用偶函数的性质是解题的关键,属于中档题.‎ ‎5.设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是 A. f(x)的一个周期为−2π B. y=f(x)的图像关于直线x=对称 C. f(x+π)的一个零点为x= D. f(x)在(,π)单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ f(x)的最小正周期为2π,易知A正确;‎ f=cos=cos3π=-1,为f(x)的最小值,故B正确;‎ ‎∵f(x+π)=cos=-cos,∴f=-cos=-cos=0,故C正确;‎ 由于f=cos=cosπ=-1,为f(x)的最小值,故f(x)在上不单调,故D错误.‎ 故选D.‎ ‎6.下列五个写法:;;;;;,其中错误写法的个数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“”用于元素与集合;“”用于集合与集合间;判断出,错,根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出,的对错;据集合元素的三要素判断出对.‎ ‎【详解】解:对于,“”是用于元素与集合的关系,故错;‎ 对于,是任意集合的子集,故对;‎ 对于,集合中的元素有确定性、互异性、无序性,两个集合是同一集合,故对;‎ 对于,因为是不含任何元素的集合,故错;‎ 对于,因为“”用于集合与集合,故错.‎ 故错误的有,共个,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素,属于基础题.‎ ‎7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,‎ ‎∵sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0,‎ ‎∴cosAsinC+sinAsinC=0,‎ ‎∵sinC≠0,‎ ‎∴cosA=﹣sinA,‎ ‎∴tanA=﹣1,‎ ‎∵<A<π,‎ ‎∴A= ,‎ 由正弦定理可得,‎ ‎∵a=2,c=,‎ ‎∴sinC== ,‎ ‎∵a>c,‎ ‎∴C=,‎ 故选B.‎ 点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎8.设x、y、z为正数,且,则 A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令,则,,‎ ‎∴,则,‎ ‎,则,故选D.‎ 点睛:对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.‎ ‎9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=5,且f(x+4)= - f(x),则f(2012)+f(2015)的值为(  )‎ A. 0 B. C. 2 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题函数奇偶性及周期性的综合运用问题,有题中条件可获取函数具有周期性 ‎【详解】,可知所以函数周期T=8,‎ ‎【点睛】本题考察了函数奇偶性及周期性的综合运用,本题还可以继续探究,比如函数是否有对称性;比如能否写出该函数的所有对称轴,所有的对称中心……,由函数是奇函数即函数还会关于对称,再加上周期性我们可以得出所有对称轴的方程 ‎10.已知椭圆的左顶点和上顶点分别为,,左、右焦点分别是,,在线段上有且只有一个点满足,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可求得的方程,设出点坐标,代入的方程,由,得,结合椭圆的离心率的性质即可求得答案.‎ ‎【详解】解:依题意,作图如下 ‎,,,,‎ 直线的方程为:,整理得:,‎ 设直线上的点,则,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 令,‎ 则,‎ 由得:,于是,‎ ‎,‎ 整理得:,又,,‎ ‎,‎ ‎,又椭圆的离心率,‎ ‎,‎ 椭圆的离心率为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质,考查向量的数量积,考查直线的方程,着重考查椭圆性质的应用,是重点更是难点,属于中档题.‎ ‎11.已知集合,.若,则实数的取值范围为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论两种情况,分别计算得到答案.‎ ‎【详解】当时: 成立;‎ 当时: 解得:.‎ 综上所述:‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了集合的关系,忽略掉空集的情况是容易发生的错误.‎ ‎12.已知函数设,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 不等式为(*),‎ 当时,(*)式即为,,‎ 又(时取等号),‎ ‎(时取等号),‎ 所以,‎ 当时,(*)式为,,‎ 又(当时取等号),‎ ‎(当时取等号),‎ 所以,‎ 综上.故选A.‎ ‎【考点】不等式、恒成立问题 ‎【名师点睛】首先满足转化为去解决,由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则,分别对的两种不同情况进行讨论,针对每种情况根据的范围,利用极端原理,求出对应的的范围.‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ ‎13.函数的图象在处的切线方程为,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:函数的图象在处的切线方程为,‎ ‎,解得:,‎ ‎.‎ 故答案应填:-3.‎ 考点:导数的几何意义.‎ ‎14.函数y=x3-ax2+x-2a在R上不是单调函数,,则a的取值范围是________.‎ ‎【答案】(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:函数导数,因为函数在R上不是单调函数,所以导数值有正有负,即导函数与x轴有两个交点或 考点:函数单调性 点评:本题通过函数导数判定函数单调性,在R上不是单调函数,则存在极值点,即存在导数值大于零和小于零的情况 ‎15.数列的通项公式,则该数列的前项之和等于______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分母有理化化简数列的通项公式,然后利用裂项求和法能求出数列的前项之和.‎ ‎【详解】解:数列的通项公式为:.‎ 则该数列的前项之和为:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列求和的应用,注意裂项相消法的合理运用考查计算能力,属于基础题.‎ ‎16.已知A,B是球O的球面上两点,,C为该球面上的动点若三棱锥体积的最大值为3,则球O的体积为______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合球的空间结构特征首先确定半径,然后求解其体积即可.‎ ‎【详解】由于,故点A,B在大圆上,‎ 结合球的空间结构特征可知当平面时,其体积最大,‎ 设球的半径为,结合棱锥的体积公式可得:,‎ 据此可得:,球O的体积.‎ ‎【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征,球的体积公式及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)‎ ‎17.已知是关于的方程的一个实根,且是第三象限角.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先解一元二次方程:,再根据α范围,确定tanα取值:,最后将所求式子化为切,代入正切值计算结果:‎ ‎(2)利用同角三角函数关系解方程组,注意α范围,在开方时取负值:,因此代入可求的值 试题解析:‎ 解:∵,∴,∴或,又α是第三象限角,‎ ‎(1).‎ ‎(2)∵且α第三象限角,∴,∴‎ 考点:切化弦,同角三角函数关系 ‎【名师点睛】‎ ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:tan α=(α≠+kπ,k∈Z).‎ ‎2.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎3.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.‎ ‎18.如图在三棱锥中, 分别为棱的中点,已知.‎ 求证:(1)直线平面;‎ ‎(2)平面 平面.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)本题证明线面平行,根据其判定定理,需要在平面内找到一条与平行的直线,由于题中中点较多,容易看出,然后要交待在平面外,在平面内,即可证得结论;(2)要证两平面垂直,一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直,由(1)可得,因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直,由已知三条线段的长度,可用勾股定理证明,因此要找的两条相交直线就是,由此可得线面垂直.‎ ‎【详解】(1)由于分别是的中点,则有,又平面,平面,所以平面.‎ ‎(2)由(1),又,所以,又是中点,所以,,又,所以,所以,是平面内两条相交直线,所以平面,又平面,所以平面平面.‎ ‎【考点】线面平行与面面垂直.‎ ‎19.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点在上,点在上,求的最小值以及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】(1):,:;(2),此时.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2)由题意,可设点的直角坐标为到的距离 当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.‎ 试题解析: (1)的普通方程为,的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,.‎ 当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.‎ 考点:坐标系与参数方程.‎ ‎【方法点睛】参数方程与普通方程的互化:把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法;加减消参法;平方和(差)消参法;乘法消参法;混合消参法等.把曲线的普通方程化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保互化前后方程的等价性.注意方程中的参数的变化范围.‎ 此处有视频,请去附件查看】‎ ‎20.已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.‎ ‎【答案】(1); (2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角形周长为8,结合椭圆的定义可知,,利用,即可求得和的值,求得椭圆方程;(2)分类讨论,当直线斜率斜存在时,联立,得到关于的一元二次方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系,利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.‎ ‎【详解】(1)由题意知,4a=8,则a=2,‎ 由椭圆离心率,则b2=3.‎ ‎∴椭圆C的方程;‎ ‎(2)由题意,当直线AB的斜率不存在,此时可设A(x0,x0),B(x0,-x0).‎ 又A,B两点在椭圆C上,‎ ‎∴,‎ ‎∴点O到直线AB的距离,‎ 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b.设A(x1,y1),B(x2,y2)‎ 联立方程,消去y得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0.‎ 由已知△>0,x1+x2=,x1x2=,‎ 由OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,‎ 整理得:(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,‎ ‎∴ .‎ ‎∴7b2=12(k2+1),满足△>0.‎ ‎∴点O到直线AB的距离为定值.‎ 综上可知:点O到直线AB的距离d=为定值.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式,属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:① 从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;② 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.‎ ‎21.如图,四棱锥中,底面,,,,为线段上一点,,为的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)法一、取中点,连接,,由三角形的中位线定理可得,且,再由已知得,且,得到,且,说明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定得到平面;‎ 法二、证明平面,转化为证明平面平面,在中,过作,垂足为,连接,由已知底面,可得,通过求解直角三角形得到,由面面平行的判定可得平面平面,则结论得证;‎ ‎(2)连接,证得,进一步得到平面平面,在平面内,过作,交于,连接,则为直线与平面所成角.然后求解直角三角形可得直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】(1)证明:法一、如图,取中点,连接,,‎ 为的中点,‎ ‎,且,‎ 又,,且,‎ ‎,且,‎ 则,且,‎ 四边形为平行四边形,则,‎ 平面,平面,‎ ‎ 平面;‎ 法二、‎ 在中,过作,垂足为,连接,‎ 在中,由已知,,得,‎ ‎,‎ ‎,则,‎ 在中,‎ ‎, ,‎ 由余弦定理得:,‎ ‎,‎ 而在中, ,‎ ‎,即,‎ ‎,则平面.‎ 由底面,得,又,‎ ‎,则平面.‎ ‎, ‎ 平面平面,则MN∥平面;‎ ‎(2)解:在中,由,,,得 ‎.‎ ‎,则,‎ 底面,平面,‎ 平面平面,且平面平面,‎ ‎ 平面,则平面平面.‎ 在平面内,过作,交于,连接,则为直线与平面所成角.‎ 在中,由是的中点,得 ‎,‎ 中,由,得,‎ ‎.‎ 直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,考查直线与平面所成角的求法,考查数学转化思想方法,考查了空间想象能力和计算能力,是中档题.‎ ‎22.设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,直线交圆于,两点,过点作的平行线交于点.‎ ‎(1)证明为定值,并写出点的轨迹方程;‎ ‎(2)设点的轨迹为曲线,直线交于,两点,过点且与直线垂直的直线与圆交于,两点,求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析,(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,,故,所以,得到,化简得,利用椭圆的定义,即可求解;‎ ‎(2)设的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系,结合弦长公式和三角形的面积公式,即可求解.‎ ‎【详解】(1)因为,,故,‎ 所以,故,‎ 又圆的标准方程为,‎ 从而,所以,‎ 由题设得,,,‎ 由椭圆定义可得点的轨迹方程为.‎ ‎(2)当与轴不垂直时,设的方程为,,,‎ 由得,‎ 则,,‎ 所以,‎ 过点且与垂直的直线,到的距离为,‎ 所以,‎ 故四边形的面积,‎ 可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为,‎ 当与轴垂直时,其方程为,,四边形的面积为,‎ 综上,四边形面积的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎ ‎