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- 2021-06-24 发布
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江苏省启东中学2019-2020学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15人,则参加英语测试的学生人数是( )
A.45 B.50 C.55 D.60
2. 若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m,n作为点P的横、纵坐标,则点P落在
圆x2+y2=9内的概率为( )
A. B. C. D.
3. 已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,若==,则该三角形的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形
4. 在△ABC中,AB=2,AC=3,·=1,则BC等于( )
A. B. C.2 D.
5. 过点(0,-2)的直线l与圆x2+y2=2x有两个交点,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重. 恩格尔系数越小,即家庭的消费支出中用于购买食物的支出所占比例越小,更多的消费用于精神追求,标志着家庭越富裕. 恩格尔系数达59%以上为贫困,50~59%为温饱,40~50%为小康,30~40%为富裕,低于30%为最富裕。下图给出了1980—2017年我国城镇居民和农村居民家庭恩格尔系数的变化统计图,对所列年份进行分析,则下列结论正确的是( )
A. 农村和城镇居民家庭消费支出呈下降趋势
B. 农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多
C. 1995年我国农村居民初步达到小康标准
D. 2015年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于30.6%
7. 如图,一座圆弧形拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离
水面2米,水面宽12米,当水面下降1米后,水面宽度为( )
A.米 B.2米 C.14米 D.15米
8. 已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,b=3,
则c的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。
9. 某同学参加社会实践活动,随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入x(单位:万元)与年家庭消费y(单位:万元)的数据,制作了对照表:
x / 万元
2.7
2.8
3.1
3.5
3.9
y / 万元
1.4
1.5
1.6
1.8
2.2
由表中数据得回归直线方程为,得到下列结论,其中正确的是( )
A. 若某户年可支配收入4万元为时,则年家庭消费约为2.3万元
B. 若某户年可支配收入4万元为时,则年家庭消费约为2.1万元
C. 若年可支配收入每增加1万元,则年家庭消费相应平均增加0.5万元
D. 若年可支配收入每增加1万元,则年家庭消费相应平均增加0.1万元
10. 已知A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与CD平行,则m的值为( )
A.-1 B.0 C. 1 D.2
11. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则B的值为( )
A. B. C. D.
12. 已知圆C1:(x-3)2+(y-4)2=25与圆C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)相内切,则r等于( )
A.5+2 B.-5+2 C.5-2 D.-5-2
三、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。
13. 已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是,那么另一组数据3x1-2,
3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数为 ,方差为 .
14. 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球概率为,
得到黑球或黄球概率是,得到黄球或绿球概率是,则任取一球得到黄球的概率为 .
15. 在△ABC中,C=60°,a+b=16,则△ABC的周长l的最小值是________。
16. 设集合,,若存在实数,使得,则实数的取值范围是________.
四、 解答题:本题共6小题,共70分。请在答题卡制定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分10分)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18]
2
合计
100
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值.
18. (本小题满分12分)在△ABC中,已知BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2x+2=0的两根,且2cos(A+B)=1,求:
(1)C的度数;
(2)AB的长度.
19. (本小题满分12分)如图,矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为,点在边所在的直线上.
(1)求边所在直线的方程;
(2)求矩形外接圆的方程.
20. (本小题满分12分)如图所示的四边形ABCD中,已知AB⊥AD,∠ABC=120°,
∠ACD=60°,AD=27,设∠ACB=θ,C点到AD的距离为h.
(1)用θ表示h的解析式;
(2)求AB+BC的最大值.
21. (本小题满分12分)在流行病学调查中,潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间。某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中,按照年龄是否超过60岁进行分层抽样,抽取50人的相关数据,得到如下表格:
潜伏期(单位:天)
[0,2]
(2,4]
(4,6]
(6,8]
(8,10]
(10,12]
(12,14]
人
数
60岁及以上
2
5
8
7
5
2
1
60岁以下
0
2
2
4
9
2
1
(1)估计该地区500名患者中60岁以下的人数;
(2)以各组的区间中点值为代表,计算50名患者的平均潜伏期(精确到0.1);
(3)从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人,求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.
22. (本小题满分12分)已知圆M的圆心M在x轴上,半径为,直线l被圆M截得的弦长为,且圆心M在直线l的上方.
(1)求圆的方程;
(2)设,,若圆M是的内切圆,求AC, BC边所在直线的斜率(用t表示);
(3)在(2)的条件下求的面积S的最大值及对应的t值.
高一期中考试数学试题答案
1.B ; 2. A; 3. B; 4.A; 5.C; 6.D; 7.B; 8.D;
9.BD; 10. BC; 11.AB; 12. AC;
13. 4, 3; 14.; 15. 24; 16.
17.解:(1)根据频数分布表知,100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10(名),所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-=0.9.
(2)课外阅读时间落在[4,6)组内的有17人,频率为0.17,所以a===0.085.课外阅读时间落在[8,10)组内的有25人,频率为0.25,所以b===0.125.
18.解:(1)由2cos(A+B)=1,得2cos(π-C)=1,即cosC=-,故C=120°.
(2)因为a,b是方程x2-2x+2=0的两根,所以a+b=2,ab=2,
所以c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC
=(2)2-2×2-2×2×cos120°=10.
所以AB=c=.
19.解: (1)因为边所在直线的方程为,且与垂直,
所以直线的斜率为.
又因为点在直线上,所以边所在直线的方程为,
即.
(2)由,解得点的坐标为.
因为矩形两条对角线的交点为.
所以为矩形外接圆的圆心.
又|,
从而矩形外接圆的方程为.
20.解:(1)由已知,得∠ADC=360°-(90°+120°+60°+θ)=90°-θ.
在△ACD中,由=,得AC==18cosθ.
又∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=30°+θ,且0°<θ<60°,
所以h=ACsin∠CAD=18cosθsin(30°+θ)(0°<θ<60°).
(2)在△ABC中,由正弦定理,得AB==18sin2θ,
BC==36cosθsin(60°-θ)=9+9cos2θ-9sin2θ,
于是AB+BC=9+9cos2θ+9sin2θ=9+18sin(2θ+60°).
因为0°<θ<60°,所以当θ=15°时,AB+BC取得最大值9+18.
21.解:(1)调查的50名A病毒患者中,年龄在60岁以下的有20人,因此该地区A病毒患者中,60岁以下的人数估计有人.
(2)(天)
(3)样本潜伏期超过10天的患者共六人,其中潜伏期在10~12天的四人编号为:1,2,3,4,潜伏期超过12天的两人编号为:5,6,从六人中抽取两人包括15个基本事件:
1,2;1,3; 1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6.
记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A,则事件A包括8个,
所以.
答:
22.解:(1)设圆心,由已知得到的距离
为,.
又在的上方,,,,故圆的方程为.
(2)设斜率为,斜率为,
则直线的方程为,直线的方程为.
由于圆与相切,所以,;同理,.
(3)联立两条直线方程得点的横坐标为
,
由(2)得:,
,,
,此时,或.
综上:的面积的最大值为,此时或.