【数学】2020届一轮复习人教A版第64课通项与求和学案（江苏专用） 6页

第64课　通项与求和(1)‎ ‎1. 熟练掌握等差、等比数列的通项公式，能将一些特殊数列转化为等差、等比数列来求通项.‎ ‎2. 掌握求非等差、等比数列的通项公式的常用方法.‎ ‎1. 阅读：必修5第37～39页、第51～53页.‎ ‎2. 解悟：①等差数列和等比数列通项公式形式的联系与区别；②体会课本中推出等差数列和等比数列通项公式的方法；③整理求数列通项公式的常用方法.‎ ‎3. 践习：在教材空白处，完成第39页思考、第41页第10题，第53页思考、第54页第4题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 已知等差数列{an}的公差为d，则an－am＝　(n－m)d　.‎ 解析：因为数列{an}是等差数列，且公差为d，所以an－am＝a1＋(n－1)d－[a1＋(m－1)d]＝(n－m)d.‎ ‎2. 在数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝　　.‎ 解析：当n≥2时，an＝a1××××…×＝1××××…×＝；当n＝1时也成立，故an＝.‎ ‎3. 若数列{an}满足a1＝1，an＝n＋an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　an＝　.‎ 解析：由an＝n＋an－1可变形为an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，由此可写出以下各式：an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，…，a2－a1＝2，将以上等式两边分别相加，得an－a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2，所以an＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝.‎ ‎4. 在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…中，任意连续的三项an，an＋1，an＋2的关系是　an＋2＝an＋an＋1　.‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 利用“累乘、累加”法求通项 例1　已知数列{an}满足a1＝，数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝2bn.求数列{an}，{bn}的通项公式.‎ 解析：因为Sn＝n2an(n∈N*)，‎ 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，‎ 所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，即＝.‎ 又a1＝，‎ 所以an＝×××…×××a1＝×××…×××＝.‎ 当n＝1时，上式成立，故an＝.‎ 因为b1＝2，bn＋1＝2bn，‎ 所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn＝2n.‎ 已知a1＝2，an＋1＝an＋ln，求数列{an}的通项公式.‎ 解析：因为an＋1＝an＋ln，‎ 所以an－an－1＝ln＝ln(n≥2)，‎ 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝ln＋ln＋…＋ln＋ln2＋2‎ ‎＝2＋ln ‎＝2＋lnn(n≥2).‎ 又a1＝2满足上式，故an＝2＋lnn(n∈N*).‎ ‎【注】 (1) 形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求出通项，特别注意能消去多少项，保留多少项.‎ ‎(2) 形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项.‎ ‎(3) 求数列的通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除叠加、迭代、累乘外，还应注意配凑变形法. 变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列，然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.求通项公式时，还可根据递推公式写出前几项，由此来猜测归纳出通项公式，然后再证明.‎ 考向❷ 构造等差、等比数列求通项 例2　(1) 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2) 已知数列{an}满足a1＝2， an＋1＝2an＋2n＋1，求数列{an}的通项公式.‎ 解析：(1) 因为an＋1＝3an＋2，‎ 所以an＋1＋1＝3(an＋1).‎ 又a1＝1，所以a1＋1＝2，‎ 故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，‎ 所以an＋1＝2×3n－1，‎ 故an＝2×3n－1－1.‎ ‎(2) 因为an＋1＝2an＋2n＋1，所以＝＋1.‎ 又＝1，‎ 故数列是首项为1，公差为1的等差数列，‎ 所以＝n，即an＝n·2n.‎ 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求数列{an}的通项公式.‎ 解析：因为a1＝2，an＋1＝，‎ 所以2a＝an，且an>0，‎ 两边取对数，得lg 2＋2lg an＋1＝lg an，‎ 即lg an＋1＋lg 2＝(lg an＋lg 2).‎ 因为lg a1＋lg 2＝2lg 2，‎ 所以数列{lg an＋lg 2}是以2lg 2为首项，为公比的等比数列，‎ 所以lg an＋lg 2＝2××lg 2，‎ 所以an＝222－n－1.‎ ‎【注】 (1) 此题通过两边同时取对数，将一个复杂的数列转化为等比数列.通常来说，我们可以将等比数列取对数后转化成等差数列.将等差数列放到指数函数y＝ax中转化为等比数列.‎ ‎(2) 形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.‎ 考向❸ 由an与Sn的递推关系求通项 例3　记数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n≥2，n∈N*)，求Sn.‎ 解析：方法一：当n＝2时，S2＝2(a1＋a2)，‎ 从而得a2＝－a1＝－1.‎ 当n≥3时，Sn－1＝2(a1＋an－1)，‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.‎ 又a2≠2a1，‎ 所以数列{an}是从第二项起以a2＝－1为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以当n≥2时，Sn＝1＋＝2－2n－1.‎ 又S1＝a1＝1＝2－20，满足上式，‎ 所以Sn＝2－2n－1.‎ 方法二：当n＝2时，S2＝2(a1＋a2)，‎ 从而a2＝－a1＝－1.‎ 当n≥3时，an＝Sn－Sn－1，‎ 所以Sn＝2(1＋Sn－Sn－1)，即Sn＝2Sn－1－2，‎ 所以Sn－2＝2(Sn－1－2).‎ 因为S2－2＝－2，S1－2＝－1，‎ 所以S2－2＝2(S1－2)，‎ 所以数列{Sn－2}是以－1为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以Sn－2＝(－1)·2n－1，即Sn＝2－2n－1.‎ 已知数列{an}共有2k项(k≥2，k∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，an＋1＝(p－1)·Sn＋2(n＝1，2，…，2k－1)，其中常数p>1.‎ ‎(1) 求证：数列{an}是等比数列；‎ ‎(2) 已知p＝2，数列{bn}满足：bn＝log2(a1a2…an)(n＝1，2，…，2k)，求数列{bn}的通项公式.‎ 解析：(1) 因为an＋1＝(p－1)Sn＋2(n＝1，2，…，2k－1)，‎ 所以an＝(p－1)Sn－1＋2(n＝2，3，…，2k)，‎ 两式相减得an＋1－an＝(p－1)(Sn－Sn－1)，‎ 即an＋1－an＝(p－1)an，‎ 所以an＋1＝pan(n＝2，3，…，2k－1).‎ 令n＝1，得a2＝(p－1)a1＋2＝pa1，‎ 所以＝p≠0(n＝1，2，…，2k－1)，‎ 所以{an}是等比数列.‎ ‎(2) 由(1)得an＝a1pn－1，且a1＝2，‎ 所以bn＝log2(a1a2…an)‎ ‎＝log2(a1·a1p·a1p2·…·a1pn－1)‎ ‎＝log2(a·p1＋2＋…＋n－1)‎ ‎＝log2(a1·p)＝1＋log2p＝1＋·＝1＋.‎ ‎【注】 一种思考方法是先求出数列{an}的通项公式，再求它的前n项和，所以将Sn转化为an，通过研究an来求和；另一种思考方法是直接研究数列{Sn}，所以将an转化为Sn后再求它的通项.这是研究Sn与an的关系问题时常用的两种解法，解题时要合理选择.‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则a100＝　　.‎ 解析：因为an＋1＝，所以＝＝＋，即－＝.又因为＝1，所以数列是以1‎ 为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝，所以an＝，所以a100＝.‎ ‎2. 已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n≥2，n∈N*)，则an＝　　.‎ 解析：因为an＝，所以an>0，且a＝a＋1，即a－a＝1，所以数列{a}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a＝n，故an＝.‎ ‎3. 若数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则an＝　2n－1　.‎ 解析：因为Sn＝2an－1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，即2an－1＝an，所以＝2.因为a1＝S1＝2a1－1，所以a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1，当n＝1时，也满足上式，所以an＝2n－1.　‎ ‎4. 数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n＋1)·(n＋2)(n∈N*)，则an＝　　‎ 解析：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n＋1)(n＋2)　①，当n＝1时，a1＝(1＋1)×(1＋2)＝6；当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1＝n(n＋1)　②，①－②得nan＝(n＋1)(n＋2)－n(n＋1)＝2n＋2，所以an＝＝2＋(n≥2).当n＝1时，a1＝6，不满足上式，所以an＝ ‎1. 注意数列条件限制，如正项数列、等比数列中任意一项均不为0.要分清第n＋1项与第n项表达式之间的关系.‎ ‎2. 已知Sn求an，要注意对n＝1情况的讨论.‎ ‎3. 你还有那些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎