湖北省华中师范大学第一附属中学2019-2020学年高二上学期期中检测数学试题 10页

‎2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知命题p：，总有，则为 A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 2. 一直平面内的定点A，B和动点P，则“动点P到两定点A，B的距离之和为为一定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 3. 直线l经过，两点，则直线l的倾斜角的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 4. 已知直线沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y正方向平移1个单位长度后，又回到原来位置，则斜率 A. B. C. D. 3‎ 5. 已知椭圆的短轴长为4，上顶点A，左顶点B，焦点，分别是椭圆左右焦点，且的面积为，则椭圆的焦距为 A. B. C. D. ‎ 6. 已知实数x，y满足，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 7. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则的外接圆方程是 A. B. C. D. ‎ 8. 椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好与圆相切于点P，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ 9. 唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 A. B. C. D. ‎ 10. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点P与点A，B不重合，则的面积最大值是 A. B. ‎5 ‎C. D. ‎ 11. 设椭圆C：上的一点P到两条直线和的距离分别是，，则的最小值 A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ 12. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上一点，椭圆C内一点Q满足：点Q在的延长线上若，则该椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 已知直线l过点，且原点到直线l的距离为1，则直线l方程为______．‎ 14. 若椭圆的焦距为1，则______．‎ 1. 已知O为坐标原点，椭圆T：的离心率为，一个顶点为，过椭圆上一点P的两条直线PA，PC分别与椭圆交于A，C，设PA，PC的中点分别为D，E，直线PA，PC的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为______．‎ 2. 已知直线与圆交于两点A，B，若期中O为坐标原点，则实数b的取值范围______‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 3. 已知：和：的交点为P． 求经过点P且与直线：垂直的直线的方程 直线经过点P与x轴、y轴交于A、B两点，且P为线段AB的中点，求的面积． ‎ 4. 已知P：方程表示圆心在第三象限的圆，q：方程表示焦点在y轴上的椭圆． 若为真命题，求实数m的取值范围； 若“”为假，“为真”，求m的取值范围． ‎ 5. 若直线与x轴，y轴的交点分别为A，B，圆C以线段AB为直径． Ⅰ求圆C的标准方程； Ⅱ若直线l过点，与圆C交于点M，N，且，求直线l的方程． ‎ 6. 如图，，是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，链接M，N两地之间的铁路是圆心在上的一段圆弧，若点M在O正北方向，且，点N到，距离分别为‎4km和‎5km． 建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程； 若该城市的某中学拟在O点正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于‎4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距离点O的最近距离．注：校址视为一个点 ‎ ‎ 1. 已知椭圆C：的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为． 求椭圆C的方程； 如图所示，该椭圆C的左、右焦点，作两条平行的直线分别交椭圆于A，B，C，D四个点，试求平行四边形ABCD面积的最大值． ‎ ‎ ‎ 2. 已知的两个顶点为，，平面内P，Q同时满足；；． 求顶点A的轨迹E的方程； 过点作两条互相垂直的直线，，直线，被点A的轨迹E截得的弦分别为，，设弦，的中点分别为M，试问：直线MN是否恒过一个顶点？若过定点，请求出该顶点，若不过定点，请说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题，属于基础题据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定． 【解答】 解：根据全称命题的否定为特称命题可知，为，使得． 故选B． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和 ，且a为常数成立是定值． 若动点P到两定点A，B的距离之和 ，且a为常数，当，此时的轨迹不是椭圆． “动点P到两定点A，B的距离之和为为一定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的必要不充分条件． 故选：A． 结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由题意可得，直线的斜率， 故， 根据正切函数的性质可知，或， 故选：C． 由题意可得，直线的斜率，从而可得，然后结合正切函数的性质即可求解． 本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，解题的关键是正切函数图象的应用． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：直线沿x轴负方向平移3个单位长度，得， 再沿y正方向平移1个单位长度，得， 由题意可得，直线与直线重合， 则，即． 故选：A． 由已知求得平移后图象对应的函数解析式，再由题意可得平移前后的图象重合，由此即可求得k值． 本题考查函数的图象及图象变换，掌握函数图象的平移变换是关键，是基础题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：椭圆的短轴长为4，可得， 上顶点A，左顶点B，焦点，分别是椭圆左右焦点，且的面积为， 可得，即，所以，，可得，， 椭圆的焦距为：． 故选：C． 利用椭圆的简单性质结合三角形的面积求解即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题． ‎ ‎6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：目标函数目标函目标函数，表示动点与定点 连线斜率k的两倍加1， 由图可知，当点P在点处时，k最大， 最大值为：11； 当点P在点处时，k最小， 最小值为：； 从而的取值范围是 故选：C． 画可行域明确目标函数几何意义，目标函数，表示动点与定点连线斜率k的2倍加过M做直线与可行域相交可计算出直线PM斜率，从而得出所求目标函数范围． 本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 由题意知，，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，外接圆就是四边形AOBP的外接圆．本题考查圆的标准方程的求法，把求外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想． 【解答】‎ 解：由题意知，，， 四边形AOBP有一组对角都等于， 四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP， 的中点为，， 四边形AOBP的外接圆的方程为 ， 外接圆的方程为． 故选：A ‎ ‎ 8.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于一般题． 利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可． 【解答】 解：椭圆的左右焦点分别是、， 以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好与圆相切于点P， 可得，可得， 所以，， 解得． 故选：A． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：设点A关于直线的对称点，， 的中点为，故解得，， 要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离， “将军饮马”的最短总路程为， 故选：B． 先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短． 本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 动直线，令，解得，因此此直线过定点动直线，即，令，，可得此直线过定点分类讨论：时，两条直线分别为，，交点，可得时，两条直线的斜率分别为：，m，则，因此两条直线相互垂直． 当时，的面积取得最大值．即可得出． 【解答】 解：动直线，令，解得，因此此直线过定点． 动直线，即，令，，解得，，因此此直线过定点． 时，两条直线分别为，，交点，． 时，两条直线的斜率分别为：，m，则，因此两条直线相互垂直． 当时，的面积取得最大值． 由解得． ． 综上可得：的面积最大值是． 故选C． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：设，， 由题意可得：． 当且仅当时取等号． 的最小值为8． 故选：D． 设，，由题意可得：，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结论． 本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：， 点Q在以为直径，原点为圆心的圆上， 点Q 在椭圆的内部，以为直径的圆在椭圆内，； ，， 故． ， 不妨设，则，． ， 由题意可知：． 综上可得：． 故选：A． 由，可得点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，由点Q在椭圆的内部，可得以为直径的圆在椭圆内，可得；于是由，不妨设，可得，即可得出e的范围． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.【答案】或 ‎ ‎【解析】解：直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为：，满足题意； 直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为：，化为：． 由题意可得：，解得：， 直线l的方程为：，化为：， 综上可得：直线l的方程为：或， 故答案为：：或． 对直线l的斜率分类讨论，利用点到直线的距离公式即可得出． 本题考查了直线的方程、点到直线的距离公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14.【答案】或 ‎ ‎【解析】解：椭圆的焦距为1， 或， 解得或． 故答案为：或． 利用椭圆的性质求解即可． 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的性质的合理运用． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：不妨设，根据题意，，，故椭圆的方程为， 设，， 据点差法，得，， ，， 由直线OD，OE的斜率之和为2，得， 故， 当且仅当取等号， 则的最大值为， 故答案为： 利用点差法求出斜率关系，根据柯西不等式求出即可． 考查点差法求斜率关系式，进而利用柯西不等式求最值，中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设AB中点为D ‎，则， ，， ， ． 直线与圆交于不同的两点A、B， ． ，则． 或． 即实数b的取值范围是 故答案为： 利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论． 本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 17.【答案】解：联立，解得交点P的坐标为， 与垂直， 的斜率， 的方程为， 即； 为AB的中点，已知，， 即， ． ‎ ‎【解析】联立方程组求得P点坐标，再由两直线垂直与斜率的关系求得所求直线的斜率，再由直线方程点斜式求解； 由题意可得A，B的坐标，再由直角三角形面积公式求解． 本题考查直线的一般方程与直线垂直的关系，考查三角形面积的求法，是基础题． 18.【答案】解：方程可化为； 若P为真命题，则，解得； 所以为真命题时，实数m的取值范围是； 命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆， 若q为真命题时，； 由“”为假，“为真”，则p、q一真一假； 当p真q假时，，即； 当p假q真时，，即； 综上知，实数m的取值范围是． ‎ ‎【解析】求出命题P为真时m的取值范围，即可得出为真时m的取值范围； 求出命题q为真时m的取值范围，利用“”为假，“为真”时p、q一真一假；从而求得实数m的取值范围． 本题考查了圆的方程与椭圆的标准方程应用问题，也考查了简单的复合命题真假性判断问题，是基础题． 19.【答案】解：Ⅰ令方程中的，得，令，得． 点A，B的坐标分别为，． 圆C的圆心是，半径是， 得圆C的标准方程为； Ⅱ，圆C的半径为，圆心C到直线l的距离为． 若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，符合题意； 若直线l的斜率存在，设其直线方程为，即． 圆C的圆心到直线l的距离，解得． 则直线l 的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． ‎ ‎【解析】Ⅰ由直线方程求得A，B的坐标，进一步求出圆心坐标与半径，则圆C的标准方程可求； Ⅱ由题意可得圆心C到直线l的距离为若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，符合题意；若直线l的斜率存在，设其直线方程为，整理为一般方程，由圆C的圆心到直线l的距离等于圆的半径求得k，则直线l的方程可求． 本题考查圆的标准方程与几何性质，考查直线和圆的位置关系，是中档题． 20.【答案】解：分别以、为x轴，y轴建立如图坐标系． 据题意得，，， MN中点为， 线段MN的垂直平分线方程为：， 故圆心A的坐标为， 半径． 弧MN的方程为： 设校址选在， 对恒成立． 即，对恒成立 整理得：，对恒成立分 令． ，， 在上为减函数．， 解得， 即校址选在距O最近‎6km的地方． ‎ ‎【解析】建立坐标系，利用圆心在弦的垂直平分线上求圆心坐标，再求半径，进而写出圆的方程． 据条件列出不等式，运用函数单调性解决恒成立问题． 本题主要考查求点的轨迹方程的方法，函数的恒成立问题，利用二次函数在闭区间上的单调性求函数的值域，属于中档题． 21.【答案】解：由题意，，则，即． 又，，． 椭圆C的方程为； 由知，，且直线AB的斜率不为0， 设直线AB的方程为，，， 联立，消去x得：． 得，． ． 令，则， ． ，且函数在上单调递减， 当，即时，平行四边形ABCD面积的最大值为． ‎ ‎【解析】由题意离心率可得，再结合面积求解a，b的值，则椭圆方程可求； 由知，，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，联立直线方程与椭圆方程，把平行四边形ABCD的面积用三角形OAB 的面积表示，然后利用换元法结合单调性求最值． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法与函数的单调性求最值，是中档题． 22.【答案】解：，为三角形ABC的重心，设，则， 由，知Q是三角形ABC的外心，在x轴上， 又， 由，得，整理得． ，B，C三点不共线， 顶点A的轨迹方程为； 由知，为A的轨迹E的右焦点， 设，， 由，得． 则，， ． 由中点坐标公式得， 同理可求得 则当时，． 直线MN的方程为． 即． 直线MN过定点 ‎ ‎【解析】由已知向量等式可知P为三角形ABC的重心，设，则，再由，知Q是三角形ABC的外心，结合得 由列式求解顶点A的轨迹E的方程； 设出直线的方程，与椭圆方程联立求得M的坐标，同理求得N的坐标，求得MN的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后利用线系方程说明直线MN过定点 本题考查圆锥曲线方程的求法，考查平面向量的应用，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． ‎