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  • 2021-06-24 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版集合常用逻辑用语、不等式学案

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一、回扣教材,纠错例析 ‎1.集合常用逻辑用语、不等式 ‎[要点回扣]‎ ‎1.集合元素的三个特征 集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性.‎ ‎[对点专练1] 集合A={a,b,c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度,那么这个三角形一定不是( )‎ A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 ‎[答案] A ‎2.集合的表示方法 描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如:{x|y=f(x)}——函数的定义域;{y|f(x)}——函数的值域;{(x,y)|y=f(x)}——函数图象上的点集.‎ ‎[对点专练2] 集合A={x|x+y=1},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B=________.‎ ‎[答案] ∅‎ ‎3.空集问题 遇到A∩B=∅时,你是否注意到“极端”情况:A=∅或B=∅‎ ‎;同样在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时,不要忽略A=∅的情况.‎ ‎[对点专练3] 设集合A={x|x2-5x+6=0},集合B={x|mx-1=0},若A∩B=B,则实数m组成的集合是________.‎ ‎[答案] ‎4.子集个数的计算 对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2.‎ ‎[对点专练4] 满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个.‎ ‎[答案] 7‎ ‎5.集合中的数形结合 注重数形结合在集合问题中的应用,列举法常借助Venn图解题,描述法常借助数轴来运算,求解时要特别注意端点值.‎ ‎[对点专练5] 已知全集I=R,集合A={x|y=},集合B={x|0≤x≤2},则(∁IA)∪B等于( )‎ A.[1,+∞) B.(1,+∞)‎ C.[0,+∞) D.(0,+∞)‎ ‎[答案] C ‎6.否命题和命题否定的区别 ‎“否命题”是对原命题“若p,则q”既否定其条件,又否定其结论;而“命题p的否定”即:非p,只是否定命题p的结论.‎ ‎[对点专练6] 已知实数a、b,若|a|+|b|=0,则a=b.该命题的否命题和命题的否定分别是_____________________________ _____________________________________________________.‎ ‎[答案] 否命题:已知实数a、b.若|a|+|b|≠0,则a≠b;命题的否定:已知实数a、b,若|a|+|b|=0,则a≠b ‎7.充分、必要条件的判断 ‎“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.‎ ‎[对点专练7] 设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的________条件.‎ ‎[答案] 充分不必要 ‎8.含有量词的命题的否定 要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题),特称命题(存在性命题)的否定是全称命题.如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.求参数范围时,常与补集思想联合应用,即体现了正难则反思想.‎ ‎[对点专练8] 若存在a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立,则实数x的取值范围是________.‎ ‎[答案] (-∞,-1)∪ ‎9.集合、区间的规范应用 在求不等式的解集、定义域及值域时,其结果一定要用集合或区间表示,不能直接用不等式表示.‎ ‎[对点专练9] 不等式-3x2+5x-2>0的解集为________.‎ ‎[答案] ‎10.不等式的性质 不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数,必须讨论这个数的正负,两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能进行.‎ ‎[对点专练10] 已知a,b,c,d为正实数,且c>d,则“a>b”是“ac>bd”的________条件.‎ ‎[答案] 充分不必要 ‎11.基本不等式 ≥(a,b>0)‎ ‎(1)推广:≥≥≥(a,b>0),‎ ‎(2)用法:已知x,y都是正数,则 ‎①若积xy是定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2;‎ ‎②若和x+y是定值s,则当x=y时,积xy有最大值s2.‎ ‎[对点专练11] 已知a>0,b>0,a+b=1,则y=+的最小值是________.‎ ‎[答案] 9‎ ‎12.线性规划 解线性规划问题,要注意边界的虚实;注意目标函数中y的系数的正负;注意最优整数解.‎ ‎[对点专练12] 设定点A(0,1),动点P(x,y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是________.‎ ‎[答案] ‎[易错盘点]‎ ‎ ‎ 易错点1 忽视元素互异性致误 ‎【例1】 已知集合A={1,x,2},B={1,x2},若A∪B=A,则x的不同取值有________种情况( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎[错解] 由x2=2,解得x1=,x2=-.‎ 由x2=x,解得x3=0,x4=1.‎ ‎∴选D.‎ ‎[错因分析] 当x=1时,集合A、B中元素不满足互异性,错解中忽视了集合中元素的互异性,导致错误.‎ ‎[正解] ∵A∪B=A,∴B⊆A.∴x2=2或x2=x.由x2=2,解得x=±,由x2=x,解得x=0或x=1.当x=1时,x2=1,集合A、B中元素不满足互异性,所以符合题意的x为或-或0,共3种情况,选C.‎ 由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况,对求出的参数值要进行验证.‎ ‎[对点专练1] ‎ ‎(1)已知1∈{m,m2},则实数m的值( )‎ A.等于1 B.等于-1‎ C.等于±1 D.m≠0且m≠1‎ ‎(2)已知1∈{a+2,(a+1)2,a2+3a+3},则实数a的值为________.‎ ‎[解析] (1)因为集合元素具有互异性,所以m2=1,解得m=-1或m=1(舍),故选B.‎ ‎(2)由题意得a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1.解得a=-1或a=-2或a=0.‎ 又当a=-2时,(a+1)2=a2+3a+3=1不符合集合中元素互异性这一特点.故a≠-2,同理a≠-1,故只有a=0.‎ ‎[答案] (1)B (2)a=0‎ 易错点2 遗忘空集致误 ‎【例2】 已知A={x∈R|x<-1或x>4},B={x∈R|2a≤x≤a+3},若A∪B=A,则实数a的取值范围是________.‎ ‎[错解] 由A∪B=A知,B⊆A,‎ ‎∴,‎ 解得a<-4或2a+3,解得a>3.‎ 综上可知,实数a的取值范围是a<-4或a>2.‎ 造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质.当题目中出现A⊆B,A∩B=A,A∪B=B时,注意对A进行分类讨论,即分为A=∅和A≠∅两种情况讨论.‎ ‎[对点专练2] ‎ ‎(1)设A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且A∪B=A,则m的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎(2)已知集合A={x|x2+(p+2)x+1=0,p∈R),若A∩R+=∅,则实数p的取值范围为________.‎ ‎[解析] (1)因为A={2,-3}.由A∪B=A得B⊆A.当m=0时,B=∅,满足;当m≠0时,B=,所以-=2或-=-3,解得m=-或,故m的取值集合是,故选C.‎ ‎(2)由-≤0,得p≥-2;‎ 由,‎ 得-40,解得a=5或a<-2或a>5,故a的取值范围是(-∞,-2)∪[5,+∞).‎ ‎[答案] (1)若x≠0且y≠0,则xy≠0 (2)(-∞,-2)∪[5,+∞)‎ 易错点4 充分、必要条件判断不准致误 ‎【例4】 设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的________条件.‎ ‎[错解] 若A⊆C,则∁UC⊆∁UA,又B⊆∁UC,‎ ‎∴A∩B=∅,故填“充要”.‎ ‎[错因分析] 没有理解充分条件的概念,p⇒q只能得到p是q的充分条件,必要性还要检验q⇒p是否成立.‎ ‎[正解] 若A⊆C,则∁UC⊆∁UA,当B⊆∁UC时,可得A∩B=∅;若A∩B=∅,不能推出B⊆∁UC,故填“充分不必要”‎ 充分、必要条件判断时一定要分清条件和结论,只有充分性和必要性同时成立,才判断为充要条件.‎ ‎[对点专练4] ‎ ‎(1)设A,B为两个互不相同的集合,命题p:x∈A∩B,命题q:x∈A或x∈B,则綈q是綈p的( )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)若“x2-2x-8>0”是“x0得x<-2或x>4;依题意得知,由x4,于是有m≤-2,即m的最大值是-2.‎ ‎[答案] (1)B (2)-2‎ 易错点5 忽视基本不等式的应用条件致误 ‎【例5】 函数y=x+的值域是________.‎ ‎[错解] y=x+=x-1++1≥2+1=2+1,当且仅当x-1=,即x=1+时等号成立,故函数值域为[2+1,+∞)‎ ‎[错因分析] 错解中直接使用基本不等式,而忽视了x-1<0时的情况.‎ ‎[正解] 当x>1时,y=x+=x-1++1≥‎ ‎2 +1=2+1,当且仅当x-1=,‎ 即x=1+时等号成立;‎ 当x<1时,-y=-x+=1-x+-1‎ ‎≥2-1=2-1,‎ ‎∴y≤1-2;‎ 当且仅当1-x=,即x=1-时等号成立.‎ ‎∴原函数的值域为(-∞,1-2]∪[1+2,+∞).‎ 利用基本不等式求最值时,无论怎样变形,均需满足“一正,二定,三相等”的条件.本例由于忽视了x-1的正、负问题,导致结果错误.在应用基本不等式≥时,首先应考虑a,b是否为正值.‎ ‎[对点专练5] ‎ ‎(1)x<0,则函数y=2-x-有( )‎ A.最小值6 B.最大值6‎ C.最小值-2 D.最大值-2‎ ‎(2)函数y=的最小值为________.‎ ‎[解析] (1)因为x<0,所以-x>0,所以-x-≥‎ ‎2=4,所以y=2-x-≥2+4=6,当且仅当x=-2时等号成立,故选A.‎ ‎(2)y==+,令t=,则t≥2,∵y=t+在[2,+∞)上为增函数,∴ymin=2+=.‎ ‎[答案] (1)A (2)

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