【数学】2019届一轮复习人教A版集合常用逻辑用语、不等式学案 11页

一、回扣教材，纠错例析 ‎1．集合常用逻辑用语、不等式 ‎[要点回扣]‎ ‎1．集合元素的三个特征 集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．‎ ‎[对点专练1] 集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是( )‎ A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 ‎[答案] A ‎2．集合的表示方法 描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函数的定义域；{y|f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点集．‎ ‎[对点专练2] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.‎ ‎[答案] ∅‎ ‎3．空集问题 遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅‎ ‎；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．‎ ‎[对点专练3] 设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________．‎ ‎[答案] ‎4．子集个数的计算 对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.‎ ‎[对点专练4] 满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．‎ ‎[答案] 7‎ ‎5．集合中的数形结合 注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．‎ ‎[对点专练5] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B等于( )‎ A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)‎ C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)‎ ‎[答案] C ‎6．否命题和命题否定的区别 ‎“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．‎ ‎[对点专练6] 已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是_____________________________ _____________________________________________________.‎ ‎[答案] 否命题：已知实数a、b.若|a|＋|b|≠0，则a≠b；命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b ‎7．充分、必要条件的判断 ‎“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.‎ ‎[对点专练7] 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件．‎ ‎[答案] 充分不必要 ‎8．含有量词的命题的否定 要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．‎ ‎[对点专练8] 若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是________．‎ ‎[答案] (－∞，－1)∪ ‎9．集合、区间的规范应用 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．‎ ‎[对点专练9] 不等式－3x2＋5x－2>0的解集为________．‎ ‎[答案] ‎10．不等式的性质 不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负，两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．‎ ‎[对点专练10] 已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的________条件．‎ ‎[答案] 充分不必要 ‎11．基本不等式 ≥(a，b>0)‎ ‎(1)推广：≥≥≥(a，b>0)，‎ ‎(2)用法：已知x，y都是正数，则 ‎①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；‎ ‎②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.‎ ‎[对点专练11] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝＋的最小值是________．‎ ‎[答案] 9‎ ‎12．线性规划 解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．‎ ‎[对点专练12] 设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是________．‎ ‎[答案] ‎[易错盘点]‎ ‎ ‎ 易错点1 忽视元素互异性致误 ‎【例1】 已知集合A＝{1，x,2}，B＝{1，x2}，若A∪B＝A，则x的不同取值有________种情况( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎[错解] 由x2＝2，解得x1＝，x2＝－.‎ 由x2＝x，解得x3＝0，x4＝1.‎ ‎∴选D.‎ ‎[错因分析] 当x＝1时，集合A、B中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误．‎ ‎[正解] ∵A∪B＝A，∴B⊆A.∴x2＝2或x2＝x.由x2＝2，解得x＝±，由x2＝x，解得x＝0或x＝1.当x＝1时，x2＝1，集合A、B中元素不满足互异性，所以符合题意的x为或－或0，共3种情况，选C.‎ 由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证．‎ ‎[对点专练1] ‎ ‎(1)已知1∈{m，m2}，则实数m的值( )‎ A．等于1 B．等于－1‎ C．等于±1 D．m≠0且m≠1‎ ‎(2)已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，则实数a的值为________．‎ ‎[解析] (1)因为集合元素具有互异性，所以m2＝1，解得m＝－1或m＝1(舍)，故选B.‎ ‎(2)由题意得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1.解得a＝－1或a＝－2或a＝0.‎ 又当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1不符合集合中元素互异性这一特点．故a≠－2，同理a≠－1，故只有a＝0.‎ ‎[答案] (1)B (2)a＝0‎ 易错点2 遗忘空集致误 ‎【例2】 已知A＝{x∈R|x<－1或x>4}，B＝{x∈R|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[错解] 由A∪B＝A知，B⊆A，‎ ‎∴，‎ 解得a<－4或2a＋3，解得a>3.‎ 综上可知，实数a的取值范围是a<－4或a>2.‎ 造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B时，注意对A进行分类讨论，即分为A＝∅和A≠∅两种情况讨论．‎ ‎[对点专练2] ‎ ‎(1)设A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎(2)已知集合A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R)，若A∩R＋＝∅，则实数p的取值范围为________．‎ ‎[解析] (1)因为A＝{2，－3}．由A∪B＝A得B⊆A.当m＝0时，B＝∅，满足；当m≠0时，B＝，所以－＝2或－＝－3，解得m＝－或，故m的取值集合是，故选C.‎ ‎(2)由－≤0，得p≥－2；‎ 由，‎ 得－40，解得a＝5或a<－2或a>5，故a的取值范围是(－∞，－2)∪[5，＋∞)．‎ ‎[答案] (1)若x≠0且y≠0，则xy≠0 (2)(－∞，－2)∪[5，＋∞)‎ 易错点4 充分、必要条件判断不准致误 ‎【例4】 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的________条件．‎ ‎[错解] 若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，又B⊆∁UC，‎ ‎∴A∩B＝∅，故填“充要”．‎ ‎[错因分析] 没有理解充分条件的概念，p⇒q只能得到p是q的充分条件，必要性还要检验q⇒p是否成立．‎ ‎[正解] 若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC时，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不能推出B⊆∁UC，故填“充分不必要”‎ 充分、必要条件判断时一定要分清条件和结论，只有充分性和必要性同时成立，才判断为充要条件．‎ ‎[对点专练4] ‎ ‎(1)设A，B为两个互不相同的集合，命题p：x∈A∩B，命题q：x∈A或x∈B，则綈q是綈p的( )‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)若“x2－2x－8>0”是“x0得x<－2或x>4；依题意得知，由x4，于是有m≤－2，即m的最大值是－2.‎ ‎[答案] (1)B (2)－2‎ 易错点5 忽视基本不等式的应用条件致误 ‎【例5】 函数y＝x＋的值域是________．‎ ‎[错解] y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，即x＝1＋时等号成立，故函数值域为[2＋1，＋∞)‎ ‎[错因分析] 错解中直接使用基本不等式，而忽视了x－1<0时的情况．‎ ‎[正解] 当x>1时，y＝x＋＝x－1＋＋1≥‎ ‎2 ＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，‎ 即x＝1＋时等号成立；‎ 当x<1时，－y＝－x＋＝1－x＋－1‎ ‎≥2－1＝2－1，‎ ‎∴y≤1－2；‎ 当且仅当1－x＝，即x＝1－时等号成立．‎ ‎∴原函数的值域为(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．‎ 利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正，二定，三相等”的条件．本例由于忽视了x－1的正、负问题，导致结果错误．在应用基本不等式≥时，首先应考虑a，b是否为正值．‎ ‎[对点专练5] ‎ ‎(1)x<0，则函数y＝2－x－有( )‎ A．最小值6 B．最大值6‎ C．最小值－2 D．最大值－2‎ ‎(2)函数y＝的最小值为________．‎ ‎[解析] (1)因为x<0，所以－x>0，所以－x－≥‎ ‎2＝4，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，当且仅当x＝－2时等号成立，故选A.‎ ‎(2)y＝＝＋，令t＝，则t≥2，∵y＝t＋在[2，＋∞)上为增函数，∴ymin＝2＋＝.‎ ‎[答案] (1)A (2)