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- 2021-06-24 发布
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高二数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)
1.下列命题不是公理的是【 】
A.平行与同一平面的两个平面互相平行
B. 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线
2.已知点在第二象限,则角的终边在【 】
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知函数,则此函数的最小值为【 】
A.3 B.4 C.5 D.9
4.等差数列中,为其前项和,且,则最大时的值为【 】
A.7 B.10 C.13 D.20
5.下列结论正确的是【 】
A.存在每个面都是直角三角形的四面体
B.每个面都是三角形的几何体是三棱锥
C.圆台上、下底面圆周上各取一点的连线是母线
D.用一个平面截圆锥,截面与底面间的部分是圆台
6.函数的最小正周期为【 】
A.2 B.1 C. D.
7某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形
A
D
B
C
y
x
(O)
(如图所示),,
则该平面图形的面积为【 】
A.3 B.4
C. D.
8.已知两个不同的平面和两条不重合的直线,下列四个命题
①若∥,,则; ②若,则∥;
③若,∥,,则;④若∥,,则∥
其中正确命题的个数是【 】
A.1 B.2 C.3 D.4
9. 如图,某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角
三角形,则该三棱锥的表面积是【 】
A.6 B. C.3 D.
10.体积为的球放置在棱长为4的正方体上,且与上表面相切,切点为上表面中心,则球心与下表面围成的四棱锥的外接球半径为【 】
A. B. C. D.
11.用一平面截正方体,截面可能是①三角形 ②四边形 ③五边形 ④六边形中的【 】
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
12.已知正三角形的顶点在平面内,顶点在平面的同一侧,为
的中点,若在平面内的射影是以为直角顶点的三角形,则与平面
所成角的正弦值的范围是【 】
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
N
H
M
G
E
D
F
A
C
B
一、 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)
13. 已知直线∥,且在平面内,则与平面的关系为 .
14.右图是正四面体的平面展开图,分别
的中点,四个命题:①平行;②;
③;④,其中正确的序号是 .
N
M
S
C
B
A
15.已知正四棱柱中,中点,
则直线的距离为 .
16.如图,三棱锥,
,分别为
则周长的最小值为 .
F
B1
E
Q
C1
P
B
C
D
A
A1
D1
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答
题纸的相应位置)
17. (本题10分)
如图所示,在正方体中,
分别为的中点,.
求证:(1)四点共面;
(2)若交平面与点,则点共线.
18. (本题12分)
在中,角所对的边为,满足.
(1) 求;
(2) (2)求的取值范围.
D
B
C
A
F
E
G
19. (本题12分)
如图,几何体中,//,
,,∥,且
.
(1)证明:∥平面
(2)求该几何体的体积.
A
E
P
D
C
B
17. (本题12分)
如图,四边形是矩形,,
,为中点.
(1) 证明:;
(2) 求异面直线所成角的大小.
H
G
F
E
D
C
A
B
18. (本题12分)
如图①,在正方形的各边上分别取
四点,使,
将正方形沿对角线折起,如图②
(1) 证明:图②中为矩形;
(2) 当二面角为多大时,为正方形.
图①
D
C
H
G
F
E
A
B
图②
E
P
F
B
A
C
D
17. (本题12分)
如图,矩形垂直于直角梯形,
,为中点,,
.
(1) 求证:∥平面;
(2) 线段上是否存在点,使与平面
所成角的正切值为?若存在,
请求出的长;若不存在,请说明理由.
答案与提示
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
C
B
A
D
A
C
D
B
D
B
一、 填空题
13、 ∥或 14、②③④ 15、1 16、
二、 解答题
17、 证明:(1)连接,因为EF为三角形的中位线,所以EF∥.
又因为∥BD,所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面,所以共面
(2) 平面,又平面BDEF
由条件易值平面,平面BDEF,所以点共线.
18、(1)因为,所以,化简的
所以,所以C=600
(2)
又,所以的范围是
18、 (1)设DG 的中点为H,连接AH,FH,易知四边形ABFH为平行四边形,
所以BF∥AH,,所以BF∥ACGD
(2) V=4
20、 (1)由题意可知AB=BE=1,,同理可得,所以
所以,有因为PA⊥ABCD,所以PA⊥DE,
所以DE⊥平面PAE,所以平面PAE⊥PDE
(2)设PA,AD的中点分别为M,N,连接MN,NC,MC,AC.
所以,NC∥AE,MN∥PD,
所以为异面直线AE与PD所成角或其补角,
由余弦定理可得
20、 (1)因为AE:EB=AF:FD,所以EF∥BD,同理可得,HG∥BD,所以EF∥HG;
同理可得EH∥FG,所以四边形EFGH为平行四边形
设O为BD的中点,连接AO,CO,BD,
BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,故BD⊥AC,
又因为BD∥EF,AC∥EH,所以EF⊥EH
所以EFGH为矩形
(2)设AB=a
要使四边形EFGH为正方形,只需使EH=HG
,
由(1)可知∠AOC为二面角A-BD-C的平面角,且AO=CO=AC,
所以,当二面角A-BD-C为600时,四边形EFGH为正方形
21、 (1)连接PC,与DE交与点N,连接FN
在三角形PAC中,FN 为中位线,所以FN∥AC
所以,AC∥平面DEF
(2)存在,Q为EF的中点。
过F作FM⊥AD与M,连接MC,取MC的中点G,连接QG
连接CQ,则∠QCG为直线CQ与平面ABCD所成的角,
,所以存在点Q满足条件,
.
注:答案仅供参考,具体解法与步骤自行安排!