河北省唐山市2018-2019学年高一下学期期末考试联考数学试题 21页

唐山市2018～2019学年度高一年级第二学期期末考试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（1~2页，选择题）和第Ⅱ卷（3~8页，非选择题）两部分．共150分，考试用时120分钟．‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用2B铅笔涂写在答题卡上．‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案，不能答在试卷上．‎ ‎3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，可得出集合.‎ ‎【详解】，，因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键在于解出两个集合，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.‎ ‎【详解】对于A选项，若且，则，该选项错误；‎ 对于B选项，取，，，，则，均满足，但，B选项错误；‎ 对于C选项，取，，则满足，但，C选项错误；‎ 对于D选项，由不等式的性质可知该选项正确，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用不等式的性质以及举反例的方法来进行验证，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎3.在等比数列中，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，由等比数列的定义知与同号，再利用等比中项的性质可求出的值.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，则，，.‎ 由等比中项的性质可得，因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等比中项性质的应用，同时也要利用等比数列的定义判断出项的符号，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎4.在中，，，为的外接圆的圆心，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理可求出的外接圆半径.‎ ‎【详解】由正弦定理可得，因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理求三角形外接圆的半径，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设阴影部分正方形的边长为，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.‎ ‎【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为，则七巧板所在正方形的边长为，‎ 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.‎ ‎6.某型号汽车使用年限与年维修费（单位：万元）的统计数据如下表，由最小二乘法求得回归方程．现发现表中有一个数据看不清，推测该数据的值为（ ）‎ 使用年限 维修费 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设所求数据为，计算出和，然后将点代入回归直线方程可求出的值.‎ ‎【详解】设所求数据为，则，，‎ 由于回归直线过样本的中心点，则有，‎ 解得，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用回归直线计算原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎7.设、满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上的截距最大时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出结果.‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分区域表示：‎ 联立，得，可得点的坐标为.‎ 平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划问题，一般作出可行域，利用平移直线结合在坐标轴上截距取最值来取得，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎8.执行如下的程序框图，则输出的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.‎ ‎【详解】满足，执行第一次循环，，；‎ 成立，执行第二次循环，，；‎ 成立，执行第三次循环，，；‎ 成立，执行第四次循环，，；‎ 成立，执行第五次循环，，；‎ 成立，执行第六次循环，，；‎ 成立，执行第七次循环，，；‎ 成立，执行第八次循环，，；‎ 不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.‎ ‎9.在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）‎ A. ，，‎ B. ，，‎ C. ，，‎ D. ，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的解的个数，于此可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，，，此时，无解；‎ 对于B选项，，，此时，有两解；‎ 对于C选项，，则为最大角，由于，此时，无解；‎ 对于D选项，，且，此时，有且只有一解.故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎10.已知数列是公差不为零的等差数列，是等比数列，，，则下列说法正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，结合题中条件得出且，将、、、用与表示，利用因式分解思想以及基本不等式可得出与 的不等关系，并结合等差数列下标和性质可得出与的大小关系.‎ ‎【详解】设等比数列公比为，由于等差数列是公差不为零，则，从而，‎ 且，得，，‎ ‎，即，‎ 另一方面，由等差数列的性质可得，因此，，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列性质的应用，解题的关键在于将等比中的项利用首项和公比表示，并进行因式分解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎11.以下有四个说法：‎ ‎①若、为互斥事件，则；‎ ‎②在中，，则；‎ ‎③和的最大公约数是；‎ ‎④周长为的扇形，其面积的最大值为；‎ 其中说法正确的个数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设、为对立事件可得出命题①的正误；利用大边对大角定理和余弦函数在上的单调性可判断出命题②的正误；列出和各自的约数，可找出两个数的最大公约数，从而可判断出命题③的正误；设扇形的半径为 ‎，再利用基本不等式可得出扇形面积的最大值，从而判断出命题④的正误.‎ ‎【详解】对于命题①，若、为对立事件，则、互斥，则，命题①错误；‎ 对于命题②，由大边对大角定理知，，且，函数在上单调递减，所以，，命题②正确；‎ 对于命题③，的约数有、、、、、，的约数有、、、、、、、，则和的最大公约数是，命题③正确；‎ 对于命题④，设扇形的半径为，则扇形的弧长为，‎ 扇形的面积为，由基本不等式得，‎ 当且仅当，即当时，等号成立，所以，扇形面积的最大值为，命题④错误.故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及互斥事件的概率、三角形边角关系、公约数以及扇形面积的最值，判断时要结合这些知识点的基本概念来理解，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎12.已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的最大角为，最小角为，可得出，，由题意得出，由二倍角公式，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于的方程，求出的值，可得出的值.‎ ‎【详解】设的最大角为，最小角为，可得出，，‎ 由题意得出，，所以，，‎ 即，即，‎ 将，代入得，解得，，，‎ 则，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键，综合性较强.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 注意事项：‎ ‎1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂.‎ ‎2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上）‎ ‎13.把二进制数1111（2）化为十进制数是______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二进制数的定义可将化为十进制数.‎ ‎【详解】由二进制数的定义可得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二进制数化十进制数，考查二进制数的定义，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.某公司当月购进、、三种产品，数量分别为、、，现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出的值.‎ ‎【详解】在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有，‎ 解得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.已知正数、满足，则的最小值是________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等式得，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.‎ ‎【详解】，所以，‎ 由基本不等式可得，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求最值，解题时要对代数式进行合理配凑，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.在数列中，，当时，．则数列的前项和是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用累加法求出数列的通项公式，然后将数列的通项裂开，利用裂项求和法求出数列的前项和.‎ ‎【详解】当时，．‎ 所以，，，，，.‎ 上述等式全部相加得，.‎ ‎，‎ 因此， 数列的前项和为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查累加法求数列通项和裂项法求和，解题时要注意累加法求通项和裂项法求和对数列递推公式和通项公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.某校进行学业水平模拟测试，随机抽取了名学生的数学成绩（满分分），绘制频率分布直方图，成绩不低于分的评定为“优秀”．‎ ‎（1）从该校随机选取一名学生，其数学成绩评定为“优秀”的概率；‎ ‎（2）估计该校数学平均分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）．‎ ‎【答案】（1）；（2）该校数学平均分为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算后两个矩形的面积之和，可得出结果；‎ ‎（2）将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，再将这些积相加可得出该校数学平均分.‎ ‎【详解】（1）从该校随机选取一名学生，成绩不低于分的评定为“优秀”的频率为，‎ 所以，数学成绩评定为“优秀”的概率为；‎ ‎（2）估计该校数学平均分．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图频率和平均数的计算，解题时要熟悉频率和平均数的计算原则，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.如图，为了测量河对岸、两点的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、．并测量得到以下数据，，，，，米，米．求、两点的距离．‎ ‎【答案】米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，求出，利用正弦定理求出，然后在中利用锐角三角函数定义求出，最后在中，利用余弦定理求出.‎ ‎【详解】由题意可知，在中，，‎ 由正弦定理得，所以米，‎ 在中，米，‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ 所以，米.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合已知元素类型选择正弦、余弦定理解三角形，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎19.在公差是整数的等差数列中，，且前项和．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，由题意知，的最小值为，可得出，可得出的取值范围，结合，可求出的值，再利用等差数列的通项公式可求出；‎ ‎（2）将数列的通项公式表示为分段形式，即，于是得出可得出的表达式.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，则，‎ 由题意知，的最小值为，则，‎ ‎，所以，解得，，，‎ 因此，；‎ ‎（2）.‎ 当时，，则，；‎ 当时，，则，.‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式以及绝对值分段求和，解题的关键在于将 的最小值转化为与项相关的不等式组进行求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.‎ ‎20.年月日是第二十七届“世界水日”，月日是第三十二届“中国水周”．我国纪念年“世界水日”和“中国水周”活动的宣传主题为“坚持节水优先，强化水资源管理”．某中学课题小组抽取、两个小区各户家庭，记录他们月份的用水量（单位：）如下表：‎ 小区家庭月用水量 小区家庭月用水量 ‎（1）根据两组数据完成下面的茎叶图，从茎叶图看，哪个小区居民节水意识更好？‎ ‎（2）从用水量不少于的家庭中，、两个小区各随机抽取一户，求小区家庭的用水量低于小区的概率．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表格中的数据绘制出茎叶图，并结合茎叶图中数据的分布可比较出两个小区居民节水意识；‎ ‎（2）列举出所有的基本事件，确定所有的基本事件数，然后确定事件“‎ 小区家庭的用水量低于小区”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件“小区家庭的用水量低于小区”的概率.‎ ‎【详解】（1）绘制如下茎叶图：‎ 由以上茎叶图可以看出，小区月用水量有的叶集中在茎、上，而小区月用水量有的叶集中在茎、上，由此可看出小区居民节水意识更好；‎ ‎（2）从用水量不少于家庭中，、两个小区各随机抽取一户的结果：‎ ‎、、、、、、、，共个基本事件，‎ 小区家庭的用水量低于小区的的结果：、、，共个基本事件．‎ 所以，小区家庭的用水量低于小区的概率是．‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图的绘制与应用，以及利用古典概型计算事件的概率，考查收集数据与处理数据的能力，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21.在中，内角、、的对边分别为、、，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的最大值及相应的角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）（2）的最大值为，此时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理边角互化思想结合内角和定理、诱导公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的大小；‎ ‎（2）由正弦定理得出，，然后利用三角恒等变换思想将转化为关于角的三角函数，可得出的值，并求出的值.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得，‎ 即，‎ 从而有，‎ 即，由得，‎ 因为，所以；‎ ‎（2）由正弦定理可知，，‎ 则有，，‎ ‎，其中，‎ 因为，所以，‎ 所以当时，取得最大值，‎ 此时，‎ 所以，的最大值为，此时．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查内角和定理、诱导公式，以及三角形中最值的求解，求解时常利用正弦定理将边转化为角的三角函数来求解，解题时要充分利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎22.设为数列的前项和，．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，由求出的值，再令，由得，将两式相减并整理得，计算出为非零常数可证明出数列为等比数列；‎ ‎（2）由（1）得出，可得出，利用放缩法得出，利用等比数列求和公式分别求出数列和前项和，从而可证明出所证不等式成立.‎ ‎【详解】（1）当时，，解得；‎ 当时，由得，‎ 上述两式相减得，整理得.‎ 则，且.‎ 所以，数列是首项为，公比为的等比数列；‎ ‎（2）由（1）可知，则．‎ 因为，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以．‎ 综上，．‎ ‎【点睛】本题考查利用前项和求数列通项，考查等比数列的定义以及放缩法证明数列不等式，解题时要根据数列递推公式或通项公式的结构选择合适的方法进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎