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- 2021-06-24 发布
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微专题24 恒成立问题——最值分析法
最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种,但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解,以及对含参问题分类讨论的基本功。是导数中的难点问题。
一、基础知识:
1、最值法的特点:
(1)构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧,整体视为一个函数,其函数含参
(2)参数往往会出现在导函数中,进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论
2、理论基础:设的定义域为
(1)若,均有(其中为常数),则
(2)若,均有(其中为常数),则
3、技巧与方法:
(1)最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数,进而不易分析函数的单调区间,所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作:
① 观察函数的零点是否便于猜出(注意边界点的值)
② 缩小参数与自变量的范围:
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围(便于单调性分析)
观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间(即无论参数取何值,不等式均成立),缩小自变量的取值范围
(2)首先要明确导函数对原函数的作用:即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号。
(3)在考虑函数最值时,除了依靠单调性,也可根据最值点的出处,即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。
二、典型例题:
例1:设,当时,恒成立,求的取值范围
思路:恒成立不等式为,只需,由于左端是关于的二次函数,容易分析最值点位置,故选择最值法
解:恒成立不等式为,令则对称轴为
(1)当时,在单调递增,
即
(2)当时,在单调递减,在单调递增
终上所述:
小炼有话说:二次函数以对称轴为分解,其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法,此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值,故以此为分类讨论点。
思路二:从另一个角度看,本题容易进行分离,所以也可考虑参变分离法
解:
(1)时,则 (由于系数符号未定,故分类讨论进行参变分离)
令(换元时注意更新新元的取值范围)
则
(2),不等式对任意的均成立
(3),(注意不等号变号!!)
令,则
综上所述:
小炼有话说:
(1)此题运用参变分离法解题并不简便,不仅要对分类讨论,还要处理一个分式函数的最值,所以两个方法请作一对比
(2)最后确定的范围时,是将各部分结果取交集,因为分类讨论是对进行的,的取值要让每一部分必须同时成立才可,所以是“且”的关系,取交集
例2:已知函数,对任意的,不等式恒成立,则的取值范围是___________
思路:若不等式恒成立,则,与差的最大值即为最大值与最小值的差。所以考虑求在的最大最小值,,若,则,所以,若,则,所以。而,所以无论为何值,,则在单调递增。,从而,解得
答案:
例3:已知函数,在区间上,恒成立,求的取值范围
思路一:恒成立的不等式为即,令观察到两点特征:(1)导函数易分析单调性,(2),对单调性会有一定要求进而限制参数的取值。所以考虑使用最值法求解。
解:恒成立即不等式恒成立,令
只需即可,
,令(分析的单调性)
当时 在单调递减,则
(思考:为什么以作为分界点讨论?因为找到,若要不等式成立,那么一定从处起要增(不一定在上恒增,但起码存在一小处区间是增的),所以时导致在处开始单减,那么一定不符合条件。由此请体会零点对参数范围所起的作用)
当时,分是否在中讨论(最小值点的选取)
若,单调性如表所示
((1)可以比较的大小找到最小的临界值,再求解,但比较麻烦。由于最小值只会在处取得,所以让它们均大于0即可。(2)由于并不在中,所以求得的只是临界值,临界值等于零也符合条件)
若,则在上单调递增,,符合题意
综上所述:
小炼有话说:此题在的情况也可不分类讨论,因为从单调区间分析来看,在中是极大值点,不可能是最小值,所以无论是否在,最小值(或临界值)均只会在边界处产生,所以只需即可
思路二:不等式 中与便于分离,所以只要分离后的的函数易分析出单调性,那么就可考虑运用参变分离法
解:,令,则只需即可
(单调性受分子影响,但无法直接分析)
令,(求导函数,便不含,可分析单调性,且零点找到,所以方法二可继续进行)
在上单调递增
(体会零点配合单调性对确定函数符号的作用)
,在上单调递增
(无最大值,只有临界值,故可取等号)
小炼有话说:第一点是分析时由于形式复杂并没有对直接求导,而是把分子拿出来分析。因为我们只关心导函数的符号,而分母符号恒正,所以要体会导函数的符号是对原函数的单调性最有价值的。第二点是体会零点与单调性合作可确定函数的符号,这也是分析的重要原因
例4: 已知,若对任意的,均有,求的取值范围
思路:恒成立不等式为,可参变分离但函数比较复杂,所以考虑利用最值法来分析。发现时,左右两边刚好相等。这也为最值分析提供方向
解:令, (从起应单调递增)
令,即
下面分情况讨论:
时,恒成立,在单调递增
时,
,恒成立,在单调递增
时,
时,恒成立,在单调递增
时,
在单调减,在单调递增
,不符题意,舍去
综上所述:
小炼有话说:本题导函数形式简单,所以直接对参数进行分类讨论与取舍
例5: 已知函数对任意的,均有,求实数的范围
思路:此题可用最值法求解,先做好准备工作,,所以函数要从开始增,求导观察特点:
解: (不易直接出单调性,但是发现其中,且再求一次导,其导函数容易分析单调性。进而可解)
,令即,下面进行分类讨论:
(1)当时,,单调递增。
单调递增,,满足条件
(此处为此题最大亮点,体会三点:①单调性与零点是如何配合来确定的符号的;②每一步的目的性很强,的作用就是以符号确定的单调性,所以解题时就关注的符号。而符号的确定同样要靠二阶导数与一阶导函数的零点配合来得到;③ 的零点是同一个,进而引发的连锁反应)
(2)当时,(可正可负,而,所以讨论 的符号)
① 当时,恒成立,即恒大于零,则:
单调递增。
单调递增,,满足条件
② 当,则时,即在单调递减, 在单调递减,,不符题意,故舍去
综上所述:时,恒成立
小炼有话说:这道题的重要特点在于的零点是同一个,进而会引发“连锁反应”。大家在处理多次求导问题时,一定要清楚每一层导数的目的是什么,要达到目的需要什么,求出需要的要素。
例6:已知函数,
(1)求函数的单调区间
(2)若对于任意的恒成立,求的取值范围
解:(1)
令即
① 当时,恒成立。在单调递增
② 当时,解得
(2)思路:恒成立不等式为,即
若参变分离,分离后的函数较为复杂(也可解决)。所以考虑最值法,观察当时,左边的值为0,所以对左边的函数的单调性有所制约,进而影响参数的取值。
解:恒成立不等式等价于
设,
恒成立,
否则若,由于连续
所以必存在区间使得,即在单调递减
进而,,不符题意
(本质:,所以要保证从开始的一段小区间要单调增,进而约束导数符号)
(这是要满足的必要条件,最终结果应该是这一部分的子集,下面证均满足条件或者寻找一个更精确的范围)
下面证任意的均满足条件。
构造函数(时的)
则
,若要恒成立,只需证明即可
成立
在单调递增,
在单调递增,成立
时,恒成立,符合题意
小炼有话说:
(1)的构造的的解析式可看为以为自变量的一次函数,且单调递增(),所以对于,无论为何值,,即,与恒成立的不等式不等号方向一致。
(2)本题核心想法是利用不等式化参数函数为常值函数(函数的放缩),进而便于对参数取值范围的验证。
(3)归纳一下解决此题的方法:为最值法解恒成立问题的另一个方法——构造中间函数
首先先说考虑使用这个方法的前提:
① 以参数为自变量的函数结构简单(最好单调)
② 参数缩小后的范围,其不等式与含参函数不等号方向,以及单调性保持一致(在本题中,而刚好关于单调递增,且要。故可引入位于与之间)
其步骤如下:
① 代入自变量的特殊值缩小参数的取值范围(有可能就得到最终结果),记为A
② 因为最终结果A的子集,所以只需证明A均符合条件或者寻找更小的范围
③ 如果函数是关于参数的一次函数(或单调函数),可通过代入参数的边界值(临界值)构造新函数并与原函数比较大小
④ 证明新函数介于原函数与不等式右侧值之间,进而说明A中的所有值均满足条件,即为最后结果
例7: 已知函数,若在区间上,恒成立,求实数的取值范围
思路:考虑用最值分析法,但可考虑先利用缩小的讨论范围
解:
令,即
(1)时,即,恒成立 在单调递减
满足条件
(2)时,,考虑,不符题意,舍去
(注:这里需要对函数值进行估计,显然,总有一个时刻,大于零,进而,所以考虑代入特殊值来说明。对于,所以构造时只需要即可,解得,进而舍掉的情况)
例8:已知函数,曲线在点处的切线方程为。其中为自然对数的底数
(1)求的值
(2)如果当时,恒成立,求实数的取值范围
解:(1)
,切线方程:
,而且在切线中,
解得:
(2)思路:恒成立不等式为:,若参变分离,则分离后的函数过于复杂,不利于求得最值,所以考虑利用最值法,先变形不等式,由于的符号不确定(以为界),从而需进行分类讨论。当时,不等式变形为:,设,可观察到,则若要时,,则需
,进而解出,再证明时,即可。将的范围缩至时再证明时,即可。
解:由(1)可得恒成立的不等式为:
当时,
设,可得
若,则,使得时,
在单调递减 则时,与恒成立不等式矛盾
不成立
解得:
下面证明均可使得时,
在单调递增 ,即不等式恒成立
当时,
同理,
在单调递增
即时不等式在 恒成立
综上所述,
例9: 设函数(其中),,已知它们在处有相同的切线.
(1)求函数,的解析式;
(2)若对恒成立,求实数的取值范围.
解:(1)思路:由题意可知在处有公共点,且切线斜率相同
在处有相同的切线.
(2)思路:恒成立不等式为,尽管可以参变分离但分离后关于的函数结构复杂,不易分析单调性。所以考虑最值法
解:令,只需
令
均成立, (上一步若直接求单调增区间,则需先对的符号进行分类讨论。但通过代入(,便于计算),解得了要满足的必要条件,从而简化了步骤。)
解得
下面根据是否在进行分类讨论:
①
在单调递增。
与已知矛盾(舍)
②
在单调递增。
满足条件
③
则
恒成立,故满足条件
综上所述:
小炼有话说:本道题的亮点在于代入以缩小的范围,并不是边界点,但是由于易于计算(主要针对指数幂),且能够刻画的范围,故首选
例10:(2011浙江,22)设函数
(1)若为的极值点,求实数
(2)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立.注:为自然对数的底数
解:(1)
是的极值点
或,经检验符合题意
(2)思路一:恒成立的不等式为,考虑选择最值法
当时,无论为何值,不等式恒成立(的单调区间必然含参数,首先将恒成立的部分剔除,缩小的取值范围以方便后期讨论)
,记
恒成立,所以
(通过特殊值代入缩小的范围,便于分析讨论)
(解不出具体的极值点,但可以估计其范围,利用零点存在性定理,同时得到与的关系:)
单调递增
若,只需
由得代入①得:
由②式得
综上所述,
小炼有话说:本题有以下几处亮点:
1、特殊值代入法:这是本题最大的亮点,通过代入特殊的值缩小
的范围,便于讨论,在有关恒成立的问题中,通过代入特殊点(边界点,极值点等)可以简化运算,提供思路,而且有一些题目往往不等关系就在自变量的边界值处产生
2、对极值点的处理,虽无法求值,但可求出它的范围,进而解决问题
思路二:参变分离法:
当时,无论为何值,不等式恒成立
考虑,则不等式(体会将范围缩小后所带来的便利)
恒成立
则只需成立
设,
在单调递增,
再设,
令即,由左边可得时,,而单调递增,由此可得,,,(单调性+根→符号)
在单调增,在单调递减。故
综上所述:
小炼有话说:思路二有另外几个亮点:
1、缩小自变量范围的作用:使为正,进而对后面的变形开方起到关键性作用
2、在处理的问题时,采取零点与单调性结合的方式来确定符号。其中的单调性可以快速判断。增,增,且两部分的函数值恒为正数,那么相乘后的解析式依然是增函数。
三、近年模拟题题目精选(三类方法综合)
1、已知定义域为的奇函数,当时,,且对,恒有,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2、(2018,山东潍坊中学高三期末)已知函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、(辽宁)当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4、(新课标全国卷II)设函数,若存在的极值点满足,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5、(2015,新课标I)设函数其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6、(辽宁)已知定义在上的函数满足:
①
② 对所有的,且,有
若对所有的,恒成立,则的最小值为( )
A. B. C. D.
7、(2018,唐山一中)已知函数,若存在,使得,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8、已知函数,在区间内任取两个不相等的实数,若不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9、已知,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是______
10、已知不等式对一切恒成立,则的取值范围是_____
11、若不等式对满足的所有都成立,则的取值范围是___________
12、(2018,上海理工大附中一月考)已知不等式组的解集是关于的不等式解集的一个子集,则实数的取值范围是_______
13、(重庆)若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是_________
14、(2018,上海十三校12月联考)已知,不等式
在上恒成立,则的取值范围是___________
15、已知函数,对任意的,都有,则最大的正整数为_______
16、关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是______
17、(2018,内江四模)已知函数,,若,则实数的取值范围是
18、(2018四川高三第一次联考)已知,若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围为_______
19、已知,若恒成立,则实数的取值范围是________
20、若不等式对满足的一切实数恒成立,则实数的取值范围是________
21、已知,函数.
(1)若,求函数的极值;
(2)是否存在实数,使得恒成立?若存在,求出实数的取值集合;若不存在,请说明理由.
22、(庆安高三期中)已知函数,其中
(1)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围
23、(2018,抚顺一模)已知函数。
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)若函数,讨论函数的单调性;
(3)若(2)中函数有两个极值点,且不等式
恒成立,求实数的取值范围。
24、(2015,山东)设函数,其中
(1)讨论函数极值点的个数,并说明理由
(2)若成立,求的取值范围
25、(2015,新课标II)设函数
(1)证明:在单调递减,在单调递增
(2)若对于任意,都有,求的取值范围
26、(2015,北京)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程
(2)求证:当时,
(3)设实数使得对恒成立,求的最大值
27、(2018,苏州高三调研)已知函数,是自然对数的底数
(1)当时,求函数的单调区间
(2)① 若存在实数,满足,求实数的取值范围
② 若有且只有唯一整数,满足,求实数的取值范围
习题答案:
1、答案:D
解析:利用对称性可作出的图像,可视为的图像向左平移个单位,则恒成立不等式的几何含义为的图像始终在的上方,通过数形结合可得:若,则;若,也满足。所以的取值范围是
2、答案:D
解析:若恒成立,则,,所以在单调递减,在单调递增。,所以
3、答案:C
解析:时,恒成立不等式等价于
设
在单调递减,在单调递增
当时,可知无论为何值,不等式均成立
当时,恒成立不等式等价于
,同理设
在单调递增
综上所述:
4、答案:C
解析:,令可得:
不等式转化为:
整理后可得:
,使得
若且,则,不等式不能成立
只需或时,不等式成立即可
5、答案:D
解析:
当时,不等式不成立
当时,可得,与矛盾,故不成立
当时,可得
设
在单调递增,在单调递减
唯一的整数使得即,又
在单调递增
6、答案:B
解析:不妨设
当时,
当时,
即
7、答案:B
解析:
问题转变为:,使得,即
8、答案:A
解析:不妨设,则恒成立不等式等价于
即,设,则在单调递增
对恒成立,即
设,可知在单调递增
9、答案:
解析:恒成立不等式为:
设
令 定义域 解得
的单调区间为:
10、答案:
解析:恒成立不等式为,所以,由均值不等式可知:,所以,即
11、答案:
解析:恒成立不等式为:,设,则不等式恒成立只需 ,所以
解得
12、答案:
解析:不等式组的解集为,由子集关系可将问题转化为,不等式恒成立,从而恒成立,因为为减函数,所以,从而
13、答案:
解析:若不等式恒成立,则
设可知
14、答案:
解析:作出的图像可知为减函数,所以恒成立不等式等价于在恒成立,即,解得:
15、答案:4
解析:作出函数和的图像,可知,,,所以,即的最大整数值为4
16、答案:
解析:问题转化为,恒成立
,设
可得:
17、答案:
解析:,作出函数图像可知若,则
恒成立
即对恒成立
设,恒成立
设,对称轴
(1)当时,,不符题意
(2)当时,
综上所述:
18、答案:
解析:令可得:
由可知:在上单调递增
19、答案:
解析:若恒成立,则,由均值不等式可得:,所以解得:
20、答案:或
解析:由可设,恒成立不等式可知,而,所以解得:或
21、解析:(1)
,
可得在单调递减,在单调递增
的极小值为,无极大值
(2)设
,令
有两不等实根,其中,不妨设
在单调递减,在单调递增
由可得:
所以
令
在单调递增,在单调递减
代入到可得:
的取值集合为
22、解析:(1)
(2)
当时,可得恒成立 在单调递增
当时,令可解得:或,所以的单调区间为:
(3)若在上恒成立,则只需
由(2)可知在的边界处取得最大值
对任意的恒成立
所以可得:
23、解析:(1)由可得:
,当时,
切线方程
(2)
令,即
① 时,恒成立
在单调递增
② 当时,
当时,
的单调区间为:
当时,
在上单调递减,在单调递增
(3)由(2)可得:函数有两个极值点,则,且
恒成立不等式为:,只需
设
由可得:
即在单调递减
24、解析:(1),定义域为
,
设,
当时,,函数在为增函数,无极值点.
当时,,
若时,,函数在为增函数,无极值点.
若时,设的两个不相等的实数根,且,
且,而,则,
所以当单调递增;
当单调递减;
当单调递增.
因此此时函数有两个极值点;
当时,但,,
所以当单调递増;
当单调递减.
所以函数只有一个极值点。
综上可知当时的无极值点;当时有一个极值点;当时,的有两个极值点.
(2)由(1)可知当时在单调递增,而,
则当时,,符合题意;
当时,,在单调递增,而,
则当时,,符合题意;
当时,,所以函数在单调递减,而,
则当时,,不符合题意;
当时,设,当时,
在单调递增,因此当时,
于是,当时,
此时,不符合题意.
综上所述,的取值范围是.
25、解析:
可知单调递增,且
时, 时,
在单调递减,在单调递增
(2)若不等式恒成立
则 在连续
在有最大最小值
由(1)可知在单调递减,在单调递增
设,可知
在单调递减,在单调递增
,使得
26、解析:(1)
切线方程为:
(2)所证不等式等价于证明:
设
时,恒成立
在单调递增
,即不等式得证
(3)设
当时,由(2)可知不等式恒成立
当时,令即 解得
在单调递减,在单调递增
与恒成立不等式矛盾
的最大值为2
27、解析:(1)当时,
当时,
当时,
在单调递减,在单调递增
(2)①
当时,;当时,
设,
在区间单调递增,在单调递减
当时,
当时,
当时,不成立
的取值范围是
② 由①可得时,,且
在上单调递增,在单调递减,且
当时,,且
在上单调递减,在单调递增,且
解得
综上所述: