河北省衡水市武邑中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 15页

河北武邑中学2019-2020学年上学期高一期末考试 数学试题 时间：120分钟分值：150分 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1.下列四个集合中，是空集的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，，都不是空集，而中，故方程无解，所以，故选D.‎ ‎2.1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）‎ A. 3 B. ‎6 ‎C. 18 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由弧长的定义，可求得扇形的半径，再由扇形的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由1弧度的圆心角所对的弧长为6，利用弧长公式，可得，即，‎ 所以扇形的面积为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式的应用，着重考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列，则公比等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列性质得，由此利用等比数列通项公式能求出公比．‎ ‎【详解】数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得（舍或．‎ 故选A ‎【点睛】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．‎ ‎4.设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于 （ ）‎ A. B. C. 0 D. -1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎：正确的是C.‎ 点评：此题主要考察平面向量的数量积的概念、运算和性质，同时考察三角函数的求值运算.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.设集合，则是 （ ）‎ A. B. C. D. 有限集 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数和指数函数的图象和性质，分别求出两集合中函数的值域，求出两集合的交集即可．‎ ‎【详解】由集合S中的函数y＝3x＞0，得到集合S＝{y|y＞0}；‎ 由集合T中的函数y＝x2﹣1≥﹣1，得到集合T＝{y|y≥﹣1}，则S∩T＝S．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题属于求函数的值域，考查了交集的求法，属于基础题．‎ ‎6.设函数，则的值是（ ）‎ A. 0 B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，所以，故选C．‎ 考点：分段函数 ‎7.若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是(　　)‎ A. (0，＋∞) B. [0，＋∞)‎ C. (－∞，＋∞) D. (－∞，0)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数为y=xa，把点(2,)代入，求出a的值，从而得到幂函数的方程，再判断幂函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】设y＝xa，则＝‎2a，解得a＝－2，‎ ‎∴y＝x－2其单调递增区间为(－∞，0)．‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了通过待定系数法求幂函数的解析式,以及幂函数的主要性质.‎ ‎8.已知，则三者的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因<，所以,选A.‎ ‎9.函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（　　）‎ A. ﹣x+1 B. ﹣x﹣‎1 ‎C. x+1 D. x﹣1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当x＜0时， ,选B.‎ 点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.‎ ‎10. (　　)．‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 6 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据对数的运算法则，对式子进行相应的变形、整理，求得结果即可.‎ ‎【详解】，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关对数的运算求值问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键.‎ ‎11.已知x，，且，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原不等式变形为，由函数单调递增，可得，利用指数函数、对数函数、幂函数单调性逐一分析四个选项即可得答案．‎ ‎【详解】函数为增函数，‎ ‎，即，可得，‎ 由指数函数、对数函数、幂函数的单调性可得，B，D错误，‎ 根据递增可得C正确，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性，是中档题．函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．‎ ‎12.如果函数对任意的实数x，都有，且当时，，那么函数在的最大值为　　‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意可得的图象关于直线对称，由条件可得时，为递增函数，时，为递减函数，函数在递减，即为最大值，由，代入计算可得所求最大值．‎ ‎【详解】函数对任意的实数x，都有，‎ 可得的图象关于直线对称，‎ 当时，，且为递增函数，‎ 可得时，为递减函数，‎ 函数在递减，可得取得最大值，‎ 由，‎ 则在的最大值为3．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的最值求法，以及函数对称性和单调性，以及对数的运算性质的应用，属于中档题．将对称性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据对称性判断出函数在对称区间上的单调性(轴对称函数在对称区间上单调性相反，中心对称函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性求解.‎ 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数，则____‎ ‎【答案】16、‎ ‎【解析】‎ 令，则，所以，故填.‎ ‎14.如图所示，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有____________（填上所有正确答案的序号）．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ 由题意得，可知（1）中，直线；图（2）中，三点共面，但面，因此直线与异面；图（3）中，连接，因此与，所以直线与共面；图（4）中，共面，但面，所以直线与异面．‎ 点睛：判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．(2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．‎ ‎15.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，,则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积．‎ ‎【详解】‎ ‎∵三棱锥P−ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=，‎ ‎∴构造长方体,使得面上的对角线长分别为4,5, ，‎ 则长方体的对角线长等于三棱锥P−ABC外接球的直径.‎ 设长方体的棱长分别为x,y,z,‎ 则，‎ ‎∴三棱锥P−ABC外接球的直径为，‎ ‎∴三棱锥P−ABC外接球的表面积为.‎ 故答案为：26π.‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.‎ ‎16.某同学在研究函数 f（x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：‎ ‎①等式f（-x）=-f（x）在x∈R时恒成立；‎ ‎②函数f（x）的值域为（-1，1）；‎ ‎③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；‎ ‎④方程f（x）=x在R上有三个根．‎ 其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由只有一个根说明④错误．‎ ‎【详解】对于①，任取，都有，∴①正确； ‎ 对于②，当时，， ‎ 根据函数的奇偶性知时，， ‎ 且时，，②正确； ‎ 对于③，则当时，， ‎ 由反比例函数的单调性以及复合函数知，在上是增函数，且；‎ 再由的奇偶性知，在上也是增函数，且 ‎ 时，一定有，③正确； ‎ 对于④，因为只有一个根， ‎ ‎∴方程在上有一个根，④错误． ‎ 正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③．‎ ‎【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，‎ 尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ 三、解答题：（共80分.写出必要的文字说明、过程、步骤）‎ ‎17.已知：，：，分别求m的值，使得和：‎ 垂直；‎ 平行；‎ 重合；‎ 相交．‎ ‎【答案】（1）； （2）-1； （3）3； （4）且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若l1和l2垂直，则m﹣2+‎3m＝0‎ ‎（2）若l1和l2平行，则 ‎（3）若l1和l2重合，则 ‎（4）若l1和l2相交，则由（2）（3）的情况去掉即可 ‎【详解】若和垂直，则,‎ 若和平行，则,,‎ 若和重合，则，‎ 若和相交，则由可知且 ‎【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线的不同位置的条件一般式方程的表示 ‎18.设全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}．‎ ‎（Ⅰ）求A∩B，（∁UA）∪（∁UB）；‎ ‎（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜‎2m-1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】 （Ⅰ）{x|x＜1或x≥5}，（Ⅱ）（-∞，3] .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出集合A，B，由此能出A∩B，（∁UA）∪（∁UB）．‎ ‎（Ⅱ）由集合C＝{x|m+1＜x＜‎2m﹣1}，B∩C＝C，得C⊆B，当C＝∅时，‎2m﹣1＜m+1，当C≠∅时，由C⊆B得，由此能求出m的取值范围．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）∵全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}={x|x≥1}，‎ B={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}‎ ‎∴A∩B={x|1≤x＜5}，‎ ‎（CUA）∪（CUB）={x|x＜1或x≥5}‎ ‎（Ⅱ）∵集合C={x|m+1＜x＜‎2m-1}，B∩C=C，‎ ‎∴C⊆B，‎ 当C=∅时，‎ 解得 当C≠∅时，由C⊆B得，解得：2＜m≤3‎ 综上所述：m的取值范围是（-∞，3]‎ ‎【点睛】本题考查交集、补集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎19.在三棱柱中，侧棱底面 ,点是 的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求直线与平面所成的角的正切值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）依据题设运用线面平行判定定理进行分析推证；（2）借助题设条件先证明线面垂直，再运用线面垂直的性质定理进行推证；（3）先运用线面角的定义找出线面角，再运用解三角形求其正切值：‎ ‎（1）如图，令 分别为的中点，‎ 又∵ ‎ ‎ （2）证明： ∠⊥‎ ‎ 在直三棱柱中, ⊥又⊥平面,‎ ‎ 又⊥‎ ‎（3）由（2）得AC⊥平面 ∴直线是斜线在平面上的射影 ‎ ∴是直线与平面所成的角.在中， ‎ ‎ ∴，即求直线与平面的正切值为.‎ 点睛：立体几何是高中数学的重点内容之一，也是高考重点考查的考点和热点．这类问题的设置目的是考查空间线面的位置关系及角度距离的计算．求解本题第一问时，直接依据题设运用线面平行的判定定理进行分析推证；求解第二问，充分借助题设条件先证明线面垂直，再运用线面垂直的性质定理从而使得问题获证；求解第三问时，先运用线面角的定义找出线面角，再运用解三角形求其正切值使得问题获解．‎ ‎20.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.‎ ‎(1)求f(x)的定义域;‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;‎ ‎(3)当a>1时,求使f(x)>0的解集.‎ ‎【答案】（1）（2）函数为奇函数，证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于的不等式组，求解即可得出答案。‎ ‎（2）根据题意，结合（1）的结果以及函数解析式即可确定函数的奇偶性。‎ ‎（3） 根据题意结合对数函数的单调性可以得到关于的不等式组，求解即可得出最终结果。‎ ‎【详解】（1）根据题意，，‎ 所以 ，解得：‎ 故函数的定义域为： ‎ ‎（2）函数为奇函数。‎ 证明：由（1）知的定义域为，关于原点对称，‎ 又，故函数为奇函数。‎ ‎（3）根据题意， ， 可得，‎ 则，解得： ‎ 故的解集为：‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及对数函数的相关知识，掌握对数函数真数大于零以及对数函数的单调性，学会解不等式组。‎ ‎21.已知f(x)＝log3x.‎ ‎(1)作出这个函数的图象；‎ ‎(2)若f(a)