2018届二轮复习数列大题课件（全国通用） 27页

4.2　数列大题 -2- -3- -4- -5- 1.求通项公式的常见类型 (1)已知an与Sn的关系或Sn与n的关系,利用公式 (2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差(比)数列求通项. (3)由递推关系式求数列的通项公式. ①形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项. ②形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项. -6- 2.数列求和的常用方法 (1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式. (2)错位相减法:适合求数列{an·bn}的前n项和Sn,其中{an},{bn}一 个是等差数列,另一个是等比数列. (3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累 加抵消中间若干项的方法. (4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合 成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和. (5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个 数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和. -7- 3.数列单调性的常见题型及方法 (1)求最大(小)项时,可利用:①数列的单调性;②函数的单调性;③ 导数. (2)求参数范围时,可利用:①作差法;②同号递推法;③先猜后证法.   4.数列不等式问题的解决方法 (1)利用数列(或函数)的单调性. (2)放缩法:①先求和后放缩;②先放缩后求和,包括放缩后成等差 (或等比)数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和. 4.2.1　等差、等比数列与数列 的通项及求和 -9- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 等差、等比数列的通项及求和 例1Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中 [x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列{bn}的前1 000项和. 解 (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{an} 的通项公式为an=n.b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. 所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893. -10- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得对于等差、等比数列,求其通项及前n项和时,只需利用 等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可. -11- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练1已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成 等比数列. (1)求{an}的通项公式; 即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是d(2a1+25d)=0. 又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2. 故an=-2n+27. (2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列. -12- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 可转化为等差、等比数列的问题 例2已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差数 列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log3an,求Tn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1. 解 (1)∵3S1,2S2,S3成等差数列,∴4S2=3S1+S3, ∴4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2, ∴公比q=3,∴an=a1qn-1=3n. (2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,∵b2n-1b2n-b2nb2n+1=(2n-1)·2n- 2n(2n+1)=-4n, ∴Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)=- -13- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、 整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数 列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题. -14- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练2设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项 和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列. (1)求数列{an}的通项; -15- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求数列的通项及错位相减求和 例3(2017天津,理18)已知{an}为等差数列,前n项和为 Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于 0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*). 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q. 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12, 而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.① 由S11=11b4,可得a1+5d=16,② 联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以,数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n. -16- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 (2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有 a2nb2n-1=(3n-1)×4n, 故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, 4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1, 上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n- 1)×4n+1 解题心得求数列通项的基本方法是利用等差、等比数列通项公 式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列{an}与数列 {bn}分别是等差数列和等比数列,那么数列{an·bn}的前n项和采用错 位相减法来求. -17- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练3(2017湖南郴州二模,理17)已知等差数列{an}满 足:an+1>an(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数 列,an+2log2bn=-1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0, 由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3后成等比数列,     得(2+d)2=2(4+2d), 解得d=2,∴an=1+(n-1)×2=2n-1. ∵an+2log2bn=-1, -18- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -19- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求数列的通项及裂项求和 例4(2017山西临汾二模,理17)已知数列{an}的前n项和为Sn,且对 任意正整数n,都有3an=2Sn+3成立. (1)求数列{an}的通项公式; 解 (1)在3an=2Sn+3中,取n=1,得a1=3,且3an+1=2Sn+1+3, 两式相减,得3an+1-3an=2an+1, ∴an+1=3an. ∵a1≠0,∴数列{an}是以3为公比的等比数列, ∴an=3·3n-1=3n. -20- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 (2)由(1)得bn=log3an=n,  解题心得对于已知等式中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有 两种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到 g(Sn)=0,求出Sn,再求an. 把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求 得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称. -21- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练4Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,     +2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式; 所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1. -22- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 (2)由an=2n+1可知 -23- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 涉及奇偶数讨论的数列求和 例5已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,S5=30.数列{bn}的 前n项和为Tn,且Tn=2n-1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求数列{cn}的前n项和. ∴d=2,∴an=2n. 对数列{bn}: 当n=1时,b1=T1=21-1=1, 当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1, 当n=1时也满足上式. ∴bn=2n-1. -24- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 (2)cn=(-1)n(anbn+ln Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln Sn. ∴ln Sn=ln n(n+1)=ln n+ln(n+1). 而(-1)nanbn=(-1)n·2n·2n-1=n·(-2)n, 设数列{(-1)nanbn}的前n项和为An,数列{(-1)nln Sn}的前n项和为 Bn,则An=1×(-2)1+2×(-2)2+3×(-2)3+…+n·(-2)n,① 则-2An=1×(-2)2+2×(-2)3+3×(-2)4+…+n·(-2)n+1,② ①-②得3An=1×(-2)1+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n-n·(-2)n+1 -25- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 当n为偶数时, Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+…+[ln n+ln(n+1)]=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1); 当n为奇数时, Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+…-[ln n+ln(n+1)]=-ln(n+1)-ln 1=-ln(n+1). 由以上可知,Bn=(-1)nln(n+1). -26- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练5已知函数f(x)=4x,4,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+3(n∈N*)成等 比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 解 (1)∵4,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+3成等比数列,其公比设为q, ∴2n+3=4×qn+2-1,解得q=2. -27- 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 当n为偶数时,Sn=(c1+c3+c5+…+cn-1)+(c2+c4+…+cn)