2019届二轮复习第19练　概率与统计的综合问题[中档大题规范练]课件（59张）（全国通用） 59页

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 19 练　 概率与统计的综合问题 [ 中档 大题规范练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：离散型随机变量的分布列及期望是高考重点，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等；概率统计的交汇处是近几年命题的热点 . 2 . 题目难度：中档偏上难度 . 核心考点突破练 栏目索引 模板答题规范练 考点一　互斥事件、相互独立事件的概率 方法技巧 　求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解 . 核心考点突破练 (1) 在该团中随机采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率； 解答 解　 由题意得省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡 ； 省 内游客有 9 人，其中 6 人持银卡 . 设事件 A 为 “ 采访该团 2 名游客，恰有 1 人持银卡 ” ， (2) 在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率 . 解　 设事件 B 为 “ 采访该团 2 名游客，持金卡人数与持银卡人数相等 ” ， 事件 B 1 为 “ 采访该团 2 名游客， 0 人持金卡， 0 人持银卡 ” ， 事件 B 2 为 “ 采访该团 2 名游客， 1 人持金卡， 1 人持银卡 ”. 解答 2. 某险种的基本保费为 a ( 单位：元 ) ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； 解答 解　 设 A 表示事件： “ 一续保人本年度的保费高于基本保费 ” ， 则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 ， 故 P ( A ) ＝ 0.20 ＋ 0.20 ＋ 0.10 ＋ 0.05 ＝ 0.55. (2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60% 的概率 . 解　 设 B 表示事件： “ 一续保人本年度的保费比基本保费高出 60% ” ， 则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3 ， 故 P ( B ) ＝ 0.10 ＋ 0.05 ＝ 0.15. 又 P ( AB ) ＝ P ( B ) ， 解答 解　 设 “ 至少有一个系统不发生故障 ” 为事件 C ， 解答 (2) 求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率 . 解答 解　 设 “ 系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数 ” 为事件 D . “ 系统 A 在 3 次相互独立的检测中发生 k 次故障 ” 为事件 D k . 则 D ＝ D 0 ＋ D 1 ，且 D 0 ， D 1 互斥 . 考点二 　随机变量的分布列、期望与方差 方法技巧 　 (1) 求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率 . (2) 如果随机变量 X 能够断定服从超几何分布或二项分布，则其概率可直接利用公式求解 . 4. 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择 . 方案甲： 员工最多有两次抽奖机会 ， 每次抽奖的中奖率均 为 . 第一次抽奖 ， 若未中奖，则抽奖结束 . 若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖 . 规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金 1 000 元；若未中奖，则所获得的奖金为 0 元 . 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均 为 ， 每次中奖均可获得奖金 400 元 . (1) 求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X ( 元 ) 的分布列； 解答 解　 由题意得， X 的所有可能取值为 0 ， 500 ， 1 000 ， 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X ( 元 ) 的分布列为 (2) 试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 抽奖所获奖金 Y 的期望 E ( Y ) ＝ E (400 ξ ) ＝ 400 E ( ξ ) ＝ 480 ， 故选择方案甲较划算 . 解答 5. 中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式： 窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式 . 若甲、乙、丙 3 名旅客都准备购买火车票，并且这 3 名旅客选择购票的方式是相互独立的 . (1) 求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率； 解　 记 “ 三名旅客中恰有两人选择网上购票 ” 为事件 A ， “ 三名旅客都选择网上购票 ” 为事件 B ，且 A ， B 互斥 . 解答 (2) 记这三名旅客购票方式的种数为 ξ ，求 ξ 的分布列和数学期望 . 解　 由题意知， ξ 的所有可能取值为 1 ， 2 ， 3 ， 所以随机变量 ξ 的分布列为 解答 6. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 . 现有 6 名男志愿者 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 5 ， A 6 和 4 名女志愿者 B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 ，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 . (1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 1 但不包含 B 1 的概率； 解　 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 1 但不包含 B 1 的事件为 M ， 解答 (2) 用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数， 求 X 的分布列与期望 E ( X ). 解答 解　 由题意知， X 可取的值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，则 因此 X 的分布列为 考点三 　概率与统计的综合问题 方法技巧 　对于将统计图表和随机变量相结合的综合问题，首先要正确处理图表数据，明确随机变量的意义，然后判断随机变量分布的类型，求出分布列 . 7.(2018· 桂林模拟 ) 甲、乙两名运动员互不影响地进行四次射击训练，根据以往的数据统计，他们射击成绩均不低于 8 环 ( 成绩环数以整数计 ) ，且甲、乙射击成绩 ( 环数 ) 的分布 列如 右 ： (1) 求 p ， q 的 值 ； 解答 (2) 若甲 、乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中 9 环的概率； 解　 记事件 C ：甲命中一次 9 环，乙命中两次 9 环， 事件 D ：甲命中两次 9 环，乙命中一次 9 环， 则四次射击中恰有三次命中 9 环为事件 C ＋ D ， 解答 (3) 若两个射手各射击 1 次，记两人所得环数的差的绝对值为 ξ ，求 ξ 的分布列和数学期望 . 解答 解　 ξ 的取值分别为 0 ， 1 ， 2 ， ∴ ξ 的分布列如下表： 解答 8.(2018· 全国 Ⅰ ) 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品 . 检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 . 设每件产品为不合格品的概率都为 p (0 ＜ p ＜ 1) ，且各件产品是否为不合格品相互独立 . (1) 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p ) ，求 f ( p ) 的最大值点 p 0 ； 令 f ′ ( p ) ＝ 0 ，得 p ＝ 0.1. 当 p ∈ (0 ， 0.1) 时， f ′ ( p ) ＞ 0 ； 当 p ∈ (0.1 ， 1) 时， f ′ ( p ) ＜ 0. 所以 f ( p ) 的最大值点为 p 0 ＝ 0.1. (2) 现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以 (1) 中确定的 p 0 作为 p 的值 . 已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 . ① 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ，求 E ( X ) ； 解　 由 (1) 知， p ＝ 0.1. 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数 ， 依 题意知 Y ～ B (180 ， 0.1) ， X ＝ 20 × 2 ＋ 25 Y ，即 X ＝ 40 ＋ 25 Y . 所以 E ( X ) ＝ E (40 ＋ 25 Y ) ＝ 40 ＋ 25 E ( Y ) ＝ 40 ＋ 25 × 180 × 0.1 ＝ 490. 解答 ② 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 解　 若对余下的产品作检验 ，则 这一箱产品所需要的检验费用为 400 元 . 由于 E ( X ) ＞ 400 ，故应该对余下的产品作检验 . 解答 9.(2017· 全国 Ⅰ 改编 ) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸 ( 单位： cm). 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ). (1) 假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望； 解　 抽取的一个零件的尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之内的概率为 0.997 4 ， 从而零件的尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的概率为 0.002 6 ， 故 X ～ B (16 ， 0.002 6). 因此 P ( X ≥ 1) ＝ 1 － P ( X ＝ 0) ＝ 1 － 0.997 4 16 ≈ 0.040 8. X 的数学期望 E ( X ) ＝ 16 × 0.002 6 ＝ 0.041 6. 解答 (2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 . ( ⅰ ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性； 解　 如果生产状态正常，一个零件尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的概率只有 0.002 6 ，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件的概率只有 0.040 8 ，发生的概率很小 ， 因此 一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 . 解答 ( ⅱ ) 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 　  10.12 　 9. 96 　 9.96 　 10.01 　 9 .92 　   9.98 　 10.04 10.26 　 9.91 　 10.13 　 10.02 　 9.22 　 10.04 　 10.05 　 9.95 解答 因此需对当天的生产过程进行检查 . 因此 μ 的估计值为 10.02. 模板答题规范练 模 板体验 典例 　 (12 分 ) 某校工会对全校教职工每天收看世界杯足球赛比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表： 收看时间 ( 单位：小时 ) [0 ， 1) [1 ， 2) [2 ， 3) [3 ， 4) [4 ， 5) [5 ， 6] 收看人数 14 30 16 28 20 12 (1) 若将每天收看比赛时间不低于 3 小时的教职工定义为 “ 足球达人 ” ，否则定义为 “ 非足球达人 ” ，请根据频数分布表补全 2 × 2 列联表：   男 女 总计 足球达人 40     非足球达人   30   总计       并判断能否有 90% 的把握认为该校教职工是否 为 “ 足球达人 ” 与性别有关 ； (2) 在全校 “ 足球达人 ” 中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名 “ 足球达人 ” 中选取 2 名作足球知识讲座 . 记其中女职工的人数为 ξ ，求 ξ 的分布列与数学期望 . 附表及公式： P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 审题路线图 规范解答 · 评分标准 解　 (1) 由题意得下表： 所以有 90% 的把握认为该校教职工是 “ 足球达人 ” 与性别有关 . 6 分   男 女 总计 足球达人 40 20 60 非足球达人 30 30 60 总计 70 50 120 (2) 由题意知抽取的 6 名 “ 足球达人 ” 中有 4 名男职工， 2 名女职工， 所以 ξ 的可能取值为 0 ， 1 ， 2. 所以 ξ 的分布列为 构建答题模板 [ 第一步 ] 　 定变量 ：根据已知条件确定分类变量及取值； [ 第二步 ] 　 填表格 ：填写列联表； [ 第三步 ] 　 下结论 ：计算 K 2 值并下结论； [ 第四步 ] 　 算概率 ：计算随机变量取每一个值的概率并列出分布列； [ 第五步 ] 　 求期望 ：根据公式求期望 . (1) 若每人投球 3 次 ( 必须投完 ) ，投中 2 次或 2 次以上，记为达标，求甲达标的概率； 规范演练 解答 (2) 若每人有 4 次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标 . 达标或能断定不达标，则终止投篮 . 记乙本次测试投球的次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 E ( X ). 解答 解　 X 的所有可能的值为 2 ， 3 ， 4. 所以 X 的分布列为 2. (2018· 咸阳模拟 ) 针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持 “ 支持 ” 、 “ 保留 ” 和 “ 不支持 ” 态度的人数如下表所示 ： 解　 参与调查的总人数为 8 00 0 ＋ 4 00 0 ＋ 2 00 0 ＋ 1 00 0 ＋ 2 00 0 ＋ 3 00 0 ＝ 20 000 ， 其中从持 “ 不支持 ” 态度的 2 000 ＋ 3 000 ＝ 5 000 人中抽取了 30 人，   支持 保留 不支持 50 岁以下 8 000 4 000 2 000 50 岁以上 ( 含 50 岁 ) 1 000 2 000 3 000 (1) 在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 n 个人，已知从持 “ 不支持 ” 态度的人中抽取了 30 人，求 n 的值； 解答 (2) 在持 “ 不支持 ” 态度的人中，用分层抽样的方法抽取 10 人看成一个总体，从这 10 人中任意选取 3 人，求 50 岁以下人数 ξ 的分布列和期望； 解答 解　 在持 “ 不支持 ” 态度的人中， 50 岁以下及 50 岁以上 ( 含 50 岁 ) 人数之比为 2 ∶ 3 ， 因此抽取的 10 人中， 50 岁以下与 50 岁以上 ( 含 50 岁 ) 人数分别为 4 人， 6 人， ξ ＝ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 所以 ξ 的分布列如下表： (3) 在接受调查的人中，有 10 人给这项活动打出的分数如下： 9.4 ， 8.6 ， 9.2 ， 9.6 ， 8.7 ， 9.3 ， 9.0 ， 8.2 ， 8.3 ， 9.7 ，把这 10 个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率 . 那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数有 8.2 ， 8.3 ， 9.7 ， 解答 3.(2018· 全国 Ⅲ ) 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式 . 为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人 . 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式 . 根据工人完成生产任务的工作时间 ( 单位： min) 绘制了如下茎叶图 ： (1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； 解答 解　 第二种生产方式的效率更高 . 理由如下： ( ⅰ ) 由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75% 的工人完成生产任务所需时间至少 80 min ；用第二种生产方式的工人中，有 75% 的工人完成生产任务所需时间至多 79 min. 因此第二种生产方式的效率更高 . ( ⅱ ) 由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 min ；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 min. 因此第二种生产方式的效率更高 . ( ⅲ ) 由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 min ；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 min. 因此第二种生产方式的效率更高 . ( ⅳ ) 由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布 . 又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少 . 因此第二种生产方式的效率更高 . (2) 求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表； 解答   超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式       第二种生产方式       总计       列联表如下：   超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 (3) 根据 (2) 中的列联表 ， 能否 有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异 ？ 所以有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异 . P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.050 0.010 0.001   k 0 3.841 6.635 10.828 . 解答 本课结束 更多精彩内容请登录： www.91taoke.com