天津市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 15页

天津市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共10小题）‎ ‎1.已知全集为，集合，，则元素个数为 A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，利用交集的定义求出，即可得到元素个数 ‎【详解】由，可得：，‎ 所以，即元素个数为2，‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题。‎ ‎2.命题“”的否定是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎3.下列关系中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的单调性和幂函数的单调性比较即可.‎ ‎【详解】因为是单调递减函数，，所以， ‎ 因为幂函数在上递增，；‎ 所以，‎ 即，故选D.‎ ‎【点睛】同底指数幂比较大小常用的方法是利用指数函数的单调性，不同底数指数幂比较大小一般应用幂函数的单调性.‎ ‎4.函数在上是増函数，则的取值范围是( )。‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，函数二次项系数含有参数，所以采用分类讨论思想，分别求出当和时，使函数满足在上是増函数的的取值范围，最后取并集，即可求解出结果。‎ ‎【详解】由题意得，‎ 当时，函数在上是増函数；‎ 当时，要使函数在上是増函数，应满足 或，解得或。‎ 综上所述，，故答案选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用函数在某一区间的单调性求参数的范围，对于二次项系数含参的的函数，首先要分类讨论，再利用一次函数或二次函数的性质，建立参数的不等关系进行求解。‎ ‎5.若不等式的解集为，那么不等式的解集为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到，由根与系数的关系求出的关系，再代入不等式，求解即可.‎ ‎【详解】因为不等式的解集为，所以和是方程的两根，且，所以,即，代入不等式整理得，因为，所以,‎ 所以，‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，已知一元二次不等式的解求参数，通常用到韦达定理来处理，难度不大.‎ ‎6.使不等式成立的充分不必要条件是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，得不等式的解集；使不等式成立的充分不必要条件是不等式解集的真子集即可．‎ ‎【详解】当时，不等式可化为，‎ 解得或，所以；‎ 当时，不等式可化为，即，显然无解；‎ 所以不等式的解集为；‎ 又使不等式成立充分不必要条件应是不等式解集的真子集，‎ 由题中选项，可得，B正确.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，熟记不等式的解法，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.‎ ‎7.已知函数，当时，取得最小值，则等于（）‎ A. -3 B. ‎2 ‎C. 3 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 配凑成可用基本不等式的形式。计算出最值与取最值时的x值。‎ ‎【详解】‎ 当且仅当即时取等号，‎ 即 ‎【点睛】在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可。‎ ‎8.定义，则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，化，进而可求出其值域.‎ ‎【详解】由题意可得：函数，‎ 则函数的值域为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查求分段函数的值域，会根据题意写出分段函数的解析式即可，属于常考题型.‎ ‎9.若函数y=f（x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(x)在(－∞，，0)上有 ( )‎ A. 最小值－8 B. 最大值－8‎ C. 最小值－6 D. 最小值－4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性与单调性即可得到结果.‎ ‎【详解】∵y＝f（x）和y＝x都是奇函数，‎ ‎∴af（x）+bx也为奇函数，‎ 又∵F（x）＝af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8，‎ ‎∴af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6，‎ ‎∴af（x）+bx在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，‎ ‎∴F（x）＝af（x）+bx+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣4，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F（x）﹣2＝af（x）+bx也为奇函数，是解答本题的关键．‎ ‎10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定义说明函数为奇函数，再把函数解析式变形，得到的范围，然后分类求解，即可得出结果．‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴为奇函数，‎ 化，‎ ‎∵，∴，则．‎ ‎∴当时，，；‎ 当时，，；‎ 当时，.‎ ‎∴函数的值域是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数值域的求法，考查函数奇偶性的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于常考题型．‎ 二、填空题（本大题共6小题）‎ ‎11.计算_____________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数幂的性质即可得出。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题主要指数幂的性质，如 、，属于基础题。‎ ‎12.已知函数，且，则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设，则是奇函数，，，① , ②‎ ‎①+②得,,故答案为.‎ ‎13. 设f(x)为奇函数，且在（−∞，0）上递减，f(−2)=0,则xf(x)<0的解集为_____‎ ‎【答案】(−∞，−2) ∪ (2，＋∞)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（-∞，0）上递减，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上递减，‎ 由f（-2）=0，得f（-2）=-f（2）=0，‎ 即f（2）=0，‎ 由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，‎ 作出f（x）的草图，如图所示：‎ 由图象，得xf（x）＜0⇔或，‎ 解得x＜-2或x＞2，‎ ‎∴xf（x）＜0的解集为：（-∞，-2）∪（2，+∞）‎ 考点：奇偶性与单调性的综合 ‎14.设是定义在上的偶函数在上递增，若，则的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为偶函数和函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于函数为偶函数，且在上递增，所以函数在上递减.由得，所以，解得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性，考查不等式的解法，属于中档题.‎ ‎15.若函数在上为增函数，则取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数在上为增函数，则需，‎ 解得，故填.‎ ‎16.已知函数的定义域为，对任意实数满足：，且，当时，.给出以下结论:①;②;③为上的减函数;④为奇函数;⑤为偶函数.其中正确结论的序号是________.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上，根据函数奇偶性与单调性，继续对各个选项逐一验证可得答案．‎ ‎【详解】由题意和的任意性，取代入，‎ 可得，即，故①正确；‎ 取， 代入可得，即，解得；‎ 再令代入可得，故②正确；‎ 令代入可得，即，故为奇函数，④正确；‎ 取代入可得，即，即，‎ 故为上减函数，③错误；‎ ‎⑤错误，因为，由④可知为奇函数，故不恒为0，‎ 故函数不是偶函数.‎ 故答案为：①②④‎ ‎【点睛】本题考查函数的概念及性质，熟记函数的基本性质，灵活运用赋值法进行处理即可，属于常考题型.‎ 三、解答题（本大题共4小题）‎ ‎17.已知集合，.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化简集合，根据交集的概念，即可得出结果；‎ ‎（2）根据题意，分别讨论和两种情况，列出不等式求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）因为集合，‎ ‎；‎ 所以；‎ ‎（2）因为集合，‎ 当时，，解得，此时满足；‎ 当时，由题意可得：，解得，此时满足；‎ 综上知，实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查求集合的交集，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记交集的概念，集合间的基本关系，以及不等式的解法即可，属于常考题型.‎ ‎18.已知定义在区间上的函数为奇函数．‎ ‎（1）求实数值；‎ ‎（2）判断并证明函数在区间上的单调性；‎ ‎（3）解关于的不等式．‎ ‎【答案】（1）；（2）在区间上是增函数，见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由函数是在区间上的奇函数，得到，即可求解；‎ ‎（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数在区间上是增函数．‎ ‎（3）由为奇函数，得到，再由函数在区间上是增函数，得到不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数是在区间上的奇函数，所以，‎ 即函数，经检验符合题意，所以实数的值．‎ ‎（2）设，则，‎ 因为， 则，‎ 所以，即，‎ 所以函数在区间上是增函数．‎ ‎（3）因为，且为奇函数，所以．‎ 又由函数在区间上是增函数，‎ 所以，解得， ‎ 故关于的不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义和判定方法，以及熟练应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19.设函数．‎ ‎（1）若，且，求的最小值；‎ ‎（2）若，且在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，求得，利用基本不等式，即可求解的最小值；‎ ‎ （2）由，求得，得到不等式在上恒成立，‎ 等价于是不等式解集的子集，分类讨论求得不等式的解集，进行判定，即可求解.‎ ‎【详解】（1）函数，由，可得，‎ 所以，‎ 当时等号成立，因为，，解得时等号成立，‎ 此时的最小值是.‎ ‎ （2）由，即，‎ 又由在上恒成立，即在上恒成立，‎ 等价于是不等式解集的子集，‎ ‎①当时，不等式解集为，满足题意；‎ ‎②当时，不等式的解集为，则，解得，故有；‎ ‎③当时，即时，不等式的解集为，满足题意；‎ ‎ ④当时，即时，不等式的解集为，不满足题意，（舍去），‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及一元二次不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟记基本不等式的应用，以及熟练应用一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎20.已知定义域为的单调递减的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的解析式；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由于是定义域为奇函数，所以可以先求出的值，进而可得的值；（2）先由是奇函数以及时的解析式求出时的解析式，再由的定义域为求出，进而可求得在 上的解析式；（3）首先利用函数的奇偶性对不等式进行变形，再判断出在上的单调性，得到关于的二次不等式恒成立，由即可求得的范围．‎ 试题解析：（1）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，‎ 所以 ‎（2）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数 当时，‎ 又因为函数f（x）是奇函数 综上所述 ‎（3）且f（x）在R上单调，∴f（x）在R上单调递减 由得 ‎∵f（x）是奇函数 又因为 f（x）是减函数 即对任意恒成立 得即为所求．‎ 考点：1、分段函数；2、函数的奇偶性；3、函数的单调性．‎