河北省石家庄市辛集市第二中学2019-2020学年高一期中考试数学试卷 4页

www.ks5u.com 数学 一、选择题（每小题5分，共12小题60分）‎ ‎1. 已知向量a ⃗=(3,x),b ⃗=(-2,2),若向量a ⃗⊥b ⃗,则实数x的值为( )‎ A. 1 B. 2‎ C. 3 D. -3‎ ‎【答案】C ‎【解析】向量a ⃗=(3,x),b ⃗=(-2,2), 因为向量a ⃗⊥b ⃗,所以a ⃗∙b ⃗=-6+2x=0,x=3.‎ ‎2. 已知角α的终边与单位圆相交于点P(- (√3 )/2,1/2),则sinα等于( )‎ A. - (√3 )/2 B. - 1/2‎ C. 1/2 D. (√3 )/2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知|OP|=1(O为原点),∵角α的终边与单位圆相交于点P(- (√3 )/2,1/2), ∴sinα= 1/2,故选C.‎ ‎3. 右图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，则图中x的值等于（ ） ‎ A. 0.12 B. 0.18‎ C. 0.012 D. 0.018‎ ‎【答案】D ‎【解析】由频率分布直方图的性质可知，各个小长方形的面积之和等于1，即0.06+0.06+0.1+0.54+x×10+0.06=1，解得x=0.018.‎ ‎4. 若tanα,tanβ是方程〖x〗^2 -2x-4=0的两根,则tan(α+β)=( )‎ A. 2/5 B. - 2/3‎ C. - 2/5 D. 2/3‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵tanα,tanβ是方程〖x〗^2 -2x-4=0的两根,则tan(α+β)= (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) = 2/(1-(-4)) = 2/5.‎ ‎5. 如图所示的两个变量具有相关关系的是（ ） ‎ A. ①② B. ①③‎ C. ②④ D. ②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】观察散点图，如果所有样本散点基本在某一函数曲线附近，则可认为两变量之间具有相关性。②③能反映两个变量的变化规律，它们之间是相关关系.‎ ‎6. 已知向量a ⃗=(3,4),b ⃗=(sinα,cosα),且a ⃗//b ⃗,则tan(π+α)=( )‎ A. - 4/3 B. - 3/4‎ C. 4/3 D. 3/4‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量a ⃗=(3,4),b ⃗=(sinα,cosα),且a ⃗//b ⃗,则3cosα=4sinα,即tanα= 3/4, 则tan(π+α)=tanα= 3/4.‎ ‎7. 已知点M(-2,6),N(1,2),则与向量(MN) ⃗同方向的单位向量为( )‎ A. (3/5,- 4/5) B. (- 3/5,4/5)‎ C. (4/5,- 3/5) D. (- 4/5,3/5)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得(MN) ⃗=(3,-4),选项B与(MN) ⃗方向相反,选项C,D均不与共线,故选A.‎ ‎8. 若θ是ΔABC的一个内角,且sinθcosθ=- 1/8,则sinθ-cosθ的值为( )‎ A. - (√3 )/2 B. (√3 )/2‎ C. - (√5 )/2 D. (√5 )/2‎ ‎【答案】D ‎【解析】θ是ΔABC的一个内角,sinθ>0,sinθcosθ=- 1/8,故cosθ<0,sinθ-cosθ>0,又〖(sinθ-cosθ)〗^2 =〖sin〗^2 θ+〖cos〗^2 θ-2sinθcosθ=1-2×(- 1/8)= 5/4,所以sinθ-cosθ= (√5 )/2.‎ ‎9. 袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为( )‎ A. 7/10 B. 3/7‎ C. 1/10 D. 3/10‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为袋中有3个白球和2个黑球,所以任意摸出2个球的所有情况有:白1黑1,白1黑2,白2黑1,白2黑2,白3黑1,白3黑2,白1白2,白1白3,白2白3,黑1黑2;共10种;至少摸出1个黑球的基本事件包含:白1黑1,白1黑2,白2黑1,白2黑2,白3黑1,白3黑2,黑1黑2;共7种,所以所求概率为7/10.故选A.‎ ‎10. 某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,先采用分层抽取容量为45人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( )‎ A. 15,5,25 B. 15,15,15‎ C. 10,5,30 D. 15,10,20‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为45/900 = 1/20,则在高一年级抽取的人数是300×1/20 =15人,高二年级抽取的人数是200×1/20 =10人,高三年级抽取的人数是400×1/20 =20人.‎ ‎11. 下列说法正确的是( )‎ A. 若a ⃗∙b ⃗=b ⃗∙c ⃗,则a ⃗=c ⃗‎ B. 若a ⃗//b ⃗,b ⃗//c ⃗,则a ⃗//c ⃗‎ C. 与向量a ⃗共线的单位向量为±(a ⃗)/(|a ⃗|)‎ D. 若a ⃗//b ⃗,则存在唯一实数λ使得a ⃗=λb ⃗‎ ‎【答案】C ‎【解析】若a ⃗∙b ⃗=b ⃗∙c ⃗,a ⃗、c ⃗可以方向不同,A错误; 若a ⃗//b ⃗,b ⃗//c ⃗,则a ⃗//c ⃗,当b ⃗=0 ⃗时不成立,B错误; 若a ⃗//b ⃗,则存在唯一实数λ使得a ⃗=λb ⃗(b ⃗≠0 ⃗),D错误,故选C.‎ ‎12. (sin5〖7〗^∘-sin2〖7〗^∘ cos3〖0〗^∘)/(cos2〖7〗^∘ ) =( )‎ A. 1/2 B. (√3 )/2‎ C. - 1/2 D. - (√3 )/2‎ ‎【答案】A ‎【解析】(sin5〖7〗^∘-sin2〖7〗^∘ cos3〖0〗^∘)/(cos2〖7〗^∘ ) = (sin2〖7〗^∘ cos3〖0〗^∘+sin3〖0〗^∘ cos2〖7〗^∘-sin2〖7〗^∘ cos3〖0〗^∘)/(cos2〖7〗^∘ ) =sin3〖0〗^∘= 1/2故选:A.‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）‎ ‎13. 已知tanα=2,则(sinα-2cosα)/(3sinα+5cosα) =__________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】将所求式子分子分母同时除以cosα得(tanα-2)/(3tanα+5) = (2-2)/(3×2+5) =0.‎ ‎14. 在ΔABC中，|(AB) ⃗|=|(BC) ⃗|=|(CA) ⃗|=1，则|(AB) ⃗-(AC) ⃗|的值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】(AB) ⃗-(AC) ⃗=(CB) ⃗，而|(BC) ⃗|=1=|(CB) ⃗|．‎ ‎15. 已知 且(a ⃗∙b ⃗=√3 )，则(sin(α-β))的值为__________.‎ ‎【答案】(- (√3 )/2)‎ ‎【解析】由题意知：(a ⃗∙b ⃗=2cosα∙sinβ-2sinα∙cosβ=-2sin(α-β)=√3 ,)故而(sin(α-β)=- (√3 )/2.)‎ ‎16. 已知向量a ⃗,b ⃗满足|a ⃗|=√3 ,|b ⃗|=1,a ⃗与b ⃗夹角为〖45〗^0,则a ⃗∙b ⃗=__________.‎ ‎【答案】(√6 )/2‎ ‎【解析】∵|a ⃗|=√3 ,|b ⃗|=1,a ⃗与b ⃗夹角为〖45〗^0,∴a ⃗∙b ⃗=|a ⃗||b ⃗|cos〖45〗^0 =√3 ×1×(√2 )/2 = (√6 )/2.‎ 三、解答题（第17题12分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题10分，共6小题70分）‎ ‎17. 已知向量a ⃗,b ⃗的夹角为〖60〗^0,且|a ⃗|=4,|b ⃗|=2, (1)求a ⃗∙b ⃗; (2)求|a ⃗+b ⃗|.‎ ‎【答案】(1)4(2)2√7 ‎ ‎【解析】(1)向量a ⃗,b ⃗的夹角为〖60〗^0,且|a ⃗|=4,|b ⃗|=2, 可得a ⃗∙b ⃗=4×2×cos=8×1/2 =4; (2)|a ⃗+b ⃗|=√(〖(a ⃗+b ⃗)〗^2 ) =√(〖a ⃗〗^2 +2a ⃗∙b ⃗+〖b ⃗〗^2 ) =√(16+2×4+4) =√28 =2√7 .‎ ‎18. 一个口袋内装有1个白球和编号分别为1,2,3的3个黑球,它们的大小、质地相同,从中任意摸出2个球.“摸出的2个球都是黑球”记为事件A, (1)共有多少个基本事件?每个基本事件是否等可能出现?该试验是古典概型吗? (2)事件A包含几个基本事件? (3)求事件A的概率.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】(1)任意摸出2个球,共有(白,黑1),(白,黑2),(白,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3)6个基本事件, 每个基本事件是等可能出现的,这个试验是古典概型. (2)事件A包含(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3)3个基本事件. (3)由(1)(2)可知,事件A的概率为3/6 = 1/2.‎ ‎19. 函数y=ksinx+b的最大值是2，最小值为-4，求k，b的值．‎ ‎【答案】（1）k=±3；（2）b=-1.‎ ‎【解析】当k>0时，{├ ■(k+b=2@-k+b=-4)┤┤⇒{├ ■(k=3@b=-1)┤┤； 当k<0时，{├ ■(-k+b=2@k+b=-4)┤┤⇒{├ ■(k=-3@b=-1)┤┤； 当k=0时，无解. 综上所述k=±3，b=-1.‎ ‎20. 已知函数f(x)= 1/2 sinx+ (√3 )/2 cosx,x∈R. (Ⅰ)求f(π/6)的值; (Ⅱ)求函数f(x)的最大值,并求出取到最大值时x的集合.‎ ‎【答案】(Ⅰ)1; (Ⅱ)f〖(x)〗_max =1,{x|x=2kπ+ π/6,k∈Z}.‎ ‎【解析】(Ⅰ)f(π/6)= 1/2 sin π/6 + (√3 )/2 cos π/6 = 1/4 + 3/4 =1. (Ⅱ)因为 ,所以函数f(x)的最大值为1,当x+ π/3 =2kπ+ π/2,即x=2kπ+ π/6(k∈Z)时,f(x)取到最大值,所以,取到最大值时x的集合为{x|x=2kπ+ π/6,k∈Z}.‎ ‎21. 求值： (1) ； (2) ；‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】（1）可知写成： （2）可写成： ‎ ‎22. 青少年的“心理健康”问题引起越来越多的社会关注，某校对高一共600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，如图： (1)填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图. (2)试估计该校高一全体学生的成绩在 内的有多少人？ (3)请你估算该校高一全体学生成绩的平均分.‎ ‎【答案】略.‎ ‎【解析】（1)由题图可知样本容量为2/0.04 =50，所以成绩在[70,80)内的频率为10/50 =0.20，成绩在[80,90)内的频数为50-(2+8+10+14)=16,对应的频率为16/50 =0.32. 由此填表如下： 补全频率分布直方图，如图 (2)估计该校高一全体学生的成绩在 内的学生有600 ×(0 .20 +0.32)=312(人). (3)利用频率分布直方图，计算该校高一全体学生成绩的平均分为:55×0.04+65×0.16+75×0.2+85×0.32+95×0.28=81.4(分). 所以，估计该校高一全体学生成绩的平均分为81.4分.‎ ‎ ‎