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- 2021-06-24 发布
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山东省滨州市2020届高三三模考试数学试题
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则( )
A. C. C.M∈N D.N∈M
2.函数的图象在点 (e为自然对数的底数)处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知,当复数的模长最小时,的虚部为( )
A. B.2 C. D.
4.已知为两条不同的直线,为三个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若
B..若
C.若
D. 若
5.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),如果P(X≤1)=0.8413,则( )
A.0.3413 B.0.6826 C.0.1587 D.0.0794
6.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中.把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象.图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,其构造方法如下:取一个实心的等边三角形(如图1),沿三边的中点连线,将它分成四个小三角形,挖去中间的那一个小三角形(如图2),对其余三个小三角形重复上述过程(如图3).
若图1(阴影部分)的面积为1,则图4(阴影部分)的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线相交于A,B两点,点M为劣弧上不同A,B的一个动点,平行于轴的直线MN交抛物线于点N,则的周长的取值范围为( )
A.(3,5) B.(5,7) C.(6,8) D.(6,8]
8.已知点O是内一点,且满足,则实数m的值为( )
A. B. C. 2 D.4
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.2020年3月12日,国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放40年,特别是党的十八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩,这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础.下图是统计局公布的2010年~2019年年底的贫困人口和贫困发生率统计表.
则下面结论正确的是( )
A. 2010年~2019年十年间脱贫人口逐年减少,贫困发生率逐年下降
B.2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万,且2019年贫困发生率最低
C.2010年~2019年十年间超过1.65亿人脱贫,其中2015年贫困发生率低于6%
D.根据图中趋势线可以预测,到2020年底我国将实现全面脱贫
【年底贫困人口的线性回归方程为(其中),贫困发生率的线性回归方程为(其中)】
10.已知曲线,则下面结论正确的是( )
A.把上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
B.把上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
C.把向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍.纵坐标不变,得到曲线
D.把向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线
11.已知曲线,则曲线C( )
A.关于轴对称 B.关于轴对称
C.关于原点对称 D.所围成图形的面积为
12.已知函数.则下面结论正确的是( )
A.是奇函数 B.在上为增函数
C.若,则 D.若,则
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.的展开式中,的系数为__________.
14.已知
________,________.(本小题第一空2分,第二空3分)
15.已知P,A,B,C是球O的球面上的四个点,平面
,则球O的表面积为__________.
16.已知函数.若,使得,则实数的最大值为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
如图,半圆O的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上异于A,B两点的一个动点,以点P为直角顶点作等腰直角△PCD,且点D与圆心O分布在PC的两侧,设.
(1)把线段PC的长表示为的函数;
(2)求四边形ACDP面积的最大值.
18.(12分)
在下面的数表中,各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列,各列中的数从上到下依次成公比为正数的等比数列,且公比都相等,表示第行,第列的数.已知.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
19.(12分)
在如图所示的圆柱中,AB为圆的直径,的两个三等分点,EA,FC,GB都是圆柱的母线.
(1)求证:平面ADE;
(2)设BC=1,已知直线AF与平面ACB所成的角为30°,求二面角A—FB—C的余弦值.
20.(12分)
在平面直角坐标系中,
①已知点,直线,动点P满足到点Q的距离与到直线的距离之比
为.
②已知点是圆上一个动点,线段HG的垂直平分线交GE于P.
③点分别在轴,y轴上运动,且,动点P满足.
(1)在①,②,③这三个条件中任选一个,求动点P的轨迹C的方程;
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
(2)设圆上任意一点A处的切线交轨迹C于M,N两点,试判断以MN为直径的圆是否过定点?若过定点,求出该定点坐标.若不过定点,请说明理由.
21.(12分)
近年来,我国大力发展新能源汽车工业,新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位.某电动汽车厂新开发了一款电动汽车.并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试,其中剩余电量y与行驶时问 (单位:小时)的测试数据如下表:
(1)根据电池放电的特点,剩余电量y与行驶时间之间满足经验关系式:,通过散点图可以发现y与之间具有相关性.设,利用表格中的前8组数据求相关系数r,并判断是否有99%的把握认为与之间具有线性相关关系;(当相关系数r满足时,则认为有99%的把握认为两个变量具有线性相关关系)
(2)利用的相关性及表格中前8组数据求出之间的回归方程;(结果保留两位小数)
(3)如果剩余电量不足0.8,电池就需要充电.从表格中的10组数据中随机选出8组,设X表示需要充电的数据组数,求X的分布列及数学期望.
附:相关数据:.
表格中前8组数据的一些相关量:
,
,
相关公式:对于样本,其回归直线的斜率和戗距的最小二乘估计公式分别为:,
相关系数.
22.(12分)
已知函数,其中e是自然对数的底数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,讨论函数零点的个数,并说明理由.
参考答案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1.A 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.BD 10.AC 11.ABCD 12.BCD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 14. (本小题第一空2分,第二空3分) 15. 16.2
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解:(1)依题设易知为直角的直角三角形,
又已知, ,所以.………………1分
在,
由余弦定理得,.……2分
所以,…………………………3分
定义域为.…………………………4分
(2)
………………………………………………5分
.………………………………………………………………6分
(方法一)
……………………………………………………………………7分
其中为锐角.……………………………………………………8分
因为.
又因为,所以,…………………………………………9分
所以当时,最大值为.
所以四边形ACDP面积的最大值为5.…………………………………………………10分
(方法二)设
则…………………………………………………………7分
设的根为.
当;
当,所以,
又因为上的图象是连续不断的,
所以,函数上单调递增;………………………………………………8分
当.
所以,函数上单调递减.………………………………………………9分
所以,最大,此时的最大值为5.
所以四边形ACDP面积的最大值为5.…………………………………………………10分
18.解:(1)设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是,各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是,
则,……………………………………………………………1分
.①………………………………………2分
②………………………………3分
联立①②解得,(舍去)
从而,
所以.……………………………………………………6分
(2)由(1)知,.
所以,……………………………………………………7分
所以,………………………………………………8分
所以
………………………………………………………………………………………………9分
………………………………………………………11分
…………………………………………………………12分
19.解:(1)连接,
因为C,D是半圆的两个三等分点,
所以,
又,
所以均为等边三角形.
所以,
所以四边形是平行四边形.
所以,………………………………1分
又因为平面ADE,平面ADE,
所以平面ADE.……………………………………………………………………2分
因为EA,FC都是圆柱的母线,
所以EA//FC.
又因为平面ADE,平面ADE,
所以平面ADE.………………………………………………………………………3分
又平面,
所以平面平面ADE,……………………………………………………………4分
又平面,
所以平面ADE.……………………………………………………………………5分
(2)连接AC,
因为FC是圆柱的母线,
所以圆柱的底面,
所以即为直线AF与平面ACB所成的角,即.…………………6分
因为AB为圆的直径,所以,
在,
所以,
所以在………………………………………………7分
(方法一)因为
又因为,
所以平面FBC,
又平面FBC,
所以.
在内,作于点H,连接AH.
因为平面ACH,
所以平面ACH,……………………………………………………………………8分
又平面ACH,
所以,
所以就是二面角的平面角.…………………………………………9分
在.………………………………………………10分
在,
所以,……………………………………………………11分
所以,
所以二面角的余弦值为.…………12分
(方法二)以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
所以.…………………………………………………8分
设平面AFB的法向量为,则
………………………………………………………………9分
令,
所以平面AFB的一个法向量为.………………………………………10分
又因为平面BCF的一个法向量,…………………………………………11分
所以.
所以二面角的余弦值为.………………………………………………12分
(注:如果用左手系解答,全对不扣分.若有错,不得分.)
20.解:(1)若选①
设,根据题意得,,………………………………2分
整理得,.
所以动点P的轨迹C的方程为.………………………………………………4分
若选②
由,………………………………1分
由题意得,
所以,…………………………2分
所以点P的轨迹C是以H,E为焦点的椭圆,且,……3分
所以动点P的轨迹C的方程为.………………………………………………4分
若选③
设…………………………………1分
因为,
所以…………………………………………………………………………2分
即……………………………………………………………………………3分
将其代入,
所以动点P的轨迹C的方程为.……………………………………………4分
(2)当过点A且与圆O相切的切线斜率不存在时,切线方程为.
当切线方程为为直径的圆的方程为.①
当切线方程为为直径的圆的方程为.②
由①②联立,可解得交点为.………………………………………………………5分
当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时,设切线方程为,
则.……………………………………………………6分
联立切线与椭圆C的方程并消去y,得
.………………………………………………………7分
因为
,
所以切线与椭圆C恒有两个交点.
设.………………………8分
因为,
所以………………………………9分
.…………………………………………10分
所以.…………………………………………………………………………11分
所以以MN为直径的圆过原点.
综上所述,以为直径的圆过定点.…………………………………………12分
21.解:(1)由题意知,.…2分
因为,所以有99%的把握认为之间具有线性相关关系.……3分
(2)对两边取对数得,
设,…………………………………………………4分
,……………………………………………5分
易知.
.………………………………………………6分
所以.……………………………………………………………………7分
所以所求的回归方程为.……………………………8分
(3)10组数据中需要充电的数据组数为4组,X的所有可能取值为2,3,4.
.………10分
所以X的分布列如下:
………………………………………………………………………………………………11分
X的数学期望为.…………………………12分
22.解:(1)因为,
所以.………………………………………………………………1分
由;
由.………………………………………………………………2分
所以由的增区间是,减区间是.………………………3分
(2)因为.
由,得
.………………………………………………………………………4分
设,
又不是的零点,
故只需再讨论函数零点的个数.
因为,
所以当单调递减;
当单调递增.…………………………………………5分
所以当取得最小值.………………………………………6分
①当无零点;…………………………………7分
②当有唯一零点;…………………………………………8分③当,
因为,
所以上有且只有一个零点.……………………………………………9分
令.
设,
所以上单调递增,
所以,.
所以.………………………………………………………10分
所以上有且只有一个零点.
所以当有两个零点.………………………………………………………11分
综上所述,当有一个零点;
当有两个零点;
当有三个零点.……………………………………………………………12分