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- 2021-06-24 发布
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第四节 数系的扩充与复数的引入
1.复数的有关概念
(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数,若b≠0,则a+bi为虚数,若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.
(2)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
(4)复数的模:向量的模r叫做复数z=a+bi的模,即|z|=|a+bi|=.
2.复数的几何意义
复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b) 平面向量=(a,b).
3.复数代数形式的四则运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
==+i(c+di≠0).
(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图441所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即=+,=-.
图441
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( )
(3)实轴上的点表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2. (教材改编)如图442,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是( )
图442
A.A B.B
C.C D.D
B [共轭复数对应的点关于实轴对称.]
3.设i为虚数单位,则复数(1+i)2=( )
A.0 B.2
C.2i D.2+2i
C [(1+i)2=1+2i+i2=2i.]
4.复数=( )
A.i B.1+i
C.-i D.1-i
A [法一:===i.
法二:===i.]
5.复数i(1+i)的实部为________.
-1 [i(1+i)=-1+i,所以实部为-1.]
复数的有关概念
(1)若z=1+2i,则=( )
A.1 B.-1
C.i D.-i
(2)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________.
(1)C (2)-2[(1)因为z=1+2i,则=1-2i,所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则==i.故选C.
(2)由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数可得a+2=0,1-2a≠0,解得a=-2.]
[规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可.
2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z,然后利用复数模的定义求解.
[变式训练1] (1)(2017·嘉兴二次质检)已知i为虚数单位,复数z=的虚部为( )
A.- B.-
C. D.
(2)设z=+i,则|z|=( )
A. B.
C. D.2
(1)D (2)B [(1)复数z====+i,则其虚部为,故选D.
(2)z=+i=+i=+i,|z|==.]
复数代数形式的四则运算
(1)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=( )
A.-2-i B.-2+i
C.2-i D.2+i
(2)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为________.
【导学号:51062150】
(1)C (2)2 [(1)∵(z-1)i=i+1,∴z-1==1-i,∴z=2-i,故选C.
(2)∵(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,b∈R,∴1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,∴=2.]
[规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.
2.记住以下结论,可提高运算速度
(1)(1±i)2=±2i;(2)=i;(3)=-i;(4)-b+ai=i(a+bi);(5)i4n=1;i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i(n∈N).
[变式训练2] (1)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
(2)已知i是虚数单位,8+2 018=________.
(1)D (2)1+i [(1)由=1+i,得z====-1-i,故选D.
(2)原式=8+1 009
=i8+1 009=i8+i1 009
=1+i4×252+1=1+i.]
复数的几何意义
(1)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-3,1) B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( )
A.-5 B.5
C.-4+i D.-4-i
(1)A (2)A [(1)由题意知即-3<m<1.故实数m的取值范围为(-3,1).
(2)∵z1=2+i在复平面内的对应点的坐标为(2,1),又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z2的对应点的坐标为(-2,1)即z2=-2+i,
∴z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.]
[规律方法] 1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
[变式训练3] (2017·湖州二次质检)定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B [由题意得z×2i-(1+i)(-i)=0,所以z==--i,则=-+i在复平面内对应的点为,位于第二象限,故选B.]
[思想与方法]
1.复数分类的关键是抓住z=a+bi(a,b∈R)的虚部:当b=0时,z为实数;当b≠0时,z为虚数;当a=0,且b≠0时,z为纯虚数.
2.复数除法的实质是分母实数化,其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数.
3.化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法,其中,复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提,复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁.
[易错与防范]
1.判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.
2.两个虚数不能比较大小.
3.利用复数相等a+bi=c+di列方程时,应注意a,b,c,d∈R
的前提条件.
4.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2∈C,z+z=0,就不能推出z1=z2=0;z2<0在复数范围内有可能成立.
课时分层训练(二十五)
数系的扩充与复数的引入
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.(2017·宁波一模)在复平面内,复数(1+i)·i对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B [复数(1+i)i=-+i在复平面内对应的点为(-,1),位于第二象限,故选B.]
2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
A [(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由题意知a-2=1+2a,解得a=-3,故选A.]
3.若复数z=,其中i为虚数单位,则=( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
B [∵z====1+i,∴=1-i.]
4.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )
A.1 B.
C. D.2
B [∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi.
又∵x,y∈R,∴x=1,y=x=1.
∴|x+yi|=|1+i|=,故选B.]
5.设z是复数,则下列命题中的假命题是( )
A.若z2≥0,则z是实数
B.若z2<0,则z是虚数
C.若z是虚数,则z2≥0
D.若z是纯虚数,则z2<0
C [实数可以比较大小,而虚数不能比较大小,设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由z2≥0,得,则b=0,或a,b都为0,即z为实数,故选项A为真,同理选项B为真;选项C为假,选项D为真.]
6.若i为虚数单位,图443中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )
图443
A.E B.F
C.G D.H
D [由题图知复数z=3+i,
∴====2-i.
∴表示复数的点为H.]
7.已知复数z=1+,则1+z+z2+…+z2 019=( )
A.1+i B.1-i
C.i D.0
D [z=1+=1+=i,∴1+z+z2+…+z2 019==
==0.]
二、填空题
8.复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是________.
5 [因为z=(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i2=5+5i,所以z的实部是5.]
9.已知a∈R,若为实数,则a=________. 【导学号:51062151】
- [===+i.
∵为实数,∴=0,∴a=-.]
10.已知复数z=x+yi,且|z-2|=,则的最大值为________.
[∵|z-2|==,
∴(x-2)2+y2=3.
由图可知max==.]
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.已知复数z1=-+i,z2=--i,则下列命题中错误的是 ( )
A.z=z2
B.|z1|=|z2|
C.z-z=1
D.z1,z2互为共轭复数
C [依题意,注意到z=2=-i=--i=z2,因此选项A正确;注意到|z1|=1=|z2|,因此选项B正确;注意到=--i=z2,因此选项D正确;注意到z=z·z1=2·==1,同理z=1,因此z-z=0,选项C错误.综上所述,选C.]
2.设f(n)=n+n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.无数个
C [f(n)=n+n=in+(-i)n,
f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,…,
∴集合中共有3个元素.]
3.已知集合M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为________. 【导学号:51062152】
3或6 [∵M∩N={3},∴3∈M且-1∉M,
∴m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3或m=3,
∴m2-5m-6=0且m≠-1或m=3,
解得m=6或m=3.]
4.已知复数z1=cos 15°+sin 15°i和复数z2=cos 45°+sin 45°i,则z1·z2=________.
+i [z1·z2=(cos 15°+sin 15°i)(cos 45°+sin 45°i)=(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)i=cos 60°+sin 60°i=+i.]