2019届二轮复习　等差数列与等比数列作业（全国通用） 7页

第八章　数列与数学归纳法 第1节　等差数列与等比数列 一、选择题 ‎1.已知数列{an}满足2an=an+1(n∈N*),且前n项和为Sn,则的值为(　A　)‎ ‎(A) (B) (C)4 (D)2‎ 解析:由2an=an+1知{an}是等比数列,公比q=2,‎ ‎===,故选A.‎ ‎2.等差数列{an}的公差d≠0,且a3=0,若ak是a6与ak+6的等比中项,则k等于(　C　)‎ ‎(A)5 (B)6 (C)9 (D)11‎ 解析:等差数列{an}的公差d≠0,由a3=0得a2=-d,可得a1=a2-d=-2d,‎ 则an=a1+(n-1)d=(n-3)d,若ak是a6与ak+6的等比中项,即有=a6ak+6,即为(k-3)2d2=3d·(k+3)d,由d不为0,可得k2-9k=0,解得k=9(k=0舍去),故选C.‎ ‎3.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且a2,a4+2,a5成等差数列,记Sn是数列{an}的前n项和,则S5等于(　B　)‎ ‎(A)32 (B)62 (C)27 (D)81‎ 解析:设等比数列{an}的公比为q,由a2,a4+2,a5成等差数列可知,a2+a5=2(a4+2),‎ 即2q+2q4=2(2q3+2),‎ q+q4=2q3+2,q(1+q3)=2(q3+1),‎ 又等比数列{an}各项均为正数,‎ 所以q>0,从而q=2,S5==62,选B.‎ ‎4.已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3-+a11=0,数列{bn}为等比数列,且b7=a7,则b1·b13等于(　A　)‎ ‎(A)16 (B)8 (C)4 (D)25‎ 解析:由a3-+a11=0,得‎2a7-=0,a7=4,‎ 所以b7=4,b1·b13==16,选A.‎ ‎5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个实根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于(　C　)‎ ‎(A)1 (B) (C) (D)‎ 解析:设这个方程的四个实根为x10,解得0,前n项和为Sn,若‎2a3,a5,‎3a4成等差数列,a‎2a4a6=64,则an=　　　　,Sn=　　　　. ‎ 解析:因为a‎2a4a6=64,‎ 所以=64,所以a4=4,‎ 又‎2a3+‎3a4=‎2a5,2×+3×4=2×4×q,‎ 即2q2-3q-2=0,q=-(舍去)或q=2.‎ a1=,an=×2n-1=2n-2,‎ Sn==.‎ 答案:2n-2　‎ ‎10.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=　　　　. ‎ 解析:|a1|+|a2|+…+|a15|=8+6+4+2+0+2+4+…+20=130.‎ 答案:130‎ ‎11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　; ‎ 解析:法一　设等差数列{an}的公差为d,‎ 由题意可得 解得d=,a1=,‎ 则S30=30×+×=+=60.‎ 法二　因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,‎ 所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),‎ 所以40=10+S30-30,所以S30=60.‎ 答案:60‎ ‎12.已知{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,且An=an+bn,Bn=anbn.若A1=1,A2=3,则An=　　　　;若{Bn}为等差数列,则d1d2=　　　　. ‎ 解析:因为{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,且An=an+bn,‎ 所以数列{An}是等差数列,又A1=1,A2=3,‎ 所以数列{An}的公差d=A2-A1=2,则An=2n-1;‎ 因为Bn=anbn,且{Bn}为等差数列,‎ 所以Bn+1-Bn=an+1bn+1-anbn ‎=(an+d1)(bn+d2)-anbn ‎=and2+bnd1+d1d2‎ ‎=[a1+(n-1)d1]d2+[b1+(n-1)d2]d1+d1d2‎ ‎=a1d2+b1d1-d1d2+2d1d2n.为常数.‎ 所以d1d2=0.‎ 答案:2n-1　0‎ 三、解答题 ‎13.已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn=2n-1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Sn.‎ 解:(1)由已知a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项,‎ 有‎2a2=a1+(a3-1)=a3,‎ 所以q==2,故an=a1qn-1=2n-1.‎ ‎(2)由bn=2n-1+an(n∈N*)有bn=2n-1+2n-1,‎ 则Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+[(2n-1)+2n-1]‎ ‎=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1)=+=n2+2n-1.‎ ‎14.已知数列{an}的前n项和Sn=-an-()n-1+2(n∈N*),数列{bn}满足bn=2nan.证明数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式.‎ 解:在Sn=-an-()n-1+2中,‎ 令n=1,可得a1=S1=-a1-1+2,‎ 解得a1=.‎ 当n≥2时,Sn-1=-an-1-()n-2+2,‎ 所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1,‎ 即2an=an-1+()n-1,‎ 所以2nan=2n-1an-1+1.‎ 而bn=2nan,所以bn=bn-1+1,‎ 即当n≥2时,bn-bn-1=1.‎ 又b1=‎2a1=1,‎ 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列,于是bn=1+(n-1)×1=n,所以an=.‎ ‎15.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S3=14,且a1+13,‎4a2,a3+9成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=an(n+2-λ),且数列{bn}是递减数列,求实数λ的取值范围.‎ 解:(1)设正项等比数列{an}的公比为q,‎ 由题意可得0bn+1,‎ 即(n+2-λ)·()n-4>(n+3-λ)·()n-3,‎ 所以n+2-λ>(n+3-λ),‎ 所以λ