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- 2021-06-24 发布
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新疆阿勒泰地区2019-2020学年
高二下学期期末考试试题(A卷)
一选择题(每题5分,共60分)
1全称命题“∀x∈R,x2+5x=4”的否定是( )
A.∃x0∈R,x+5x0=4 B.∀x∈R,x2+5x≠4
C.∃x0∈R,x+5x0≠4 D.以上都不正确
2.若a为实数,且=3+i,则a=( )
A.-4 B.-3 C.3 D.4
3已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为-,则切点的横坐标为
( )
A.3 B.2 C.1 D.
4已知函数f(x)=x2-x,则f(x)的单调增区间是( )
A.(-∞,-1)和(0,+∞) B.(0,+∞)
C.(-1,0)和(1,+∞) D.(1,+∞)
5.函数f(x)=x3-3x2+m在区间[-1,1]上的最大值是2,则常数m=( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
6(A1)电路如图所示,在A,B间有四个开关,若发现A,B之间电路不通,则这四个开关打开或闭合的方式有( )
A.3种 B.8种 C. 13种 D.16种
6(A2)在极坐标系中,极坐标化为直角坐标为( )
A.(1,1) B.(-1,1) C.(-1,-1) D.(1,-1)
7(A1)若A=132,则n等于( )
A.11 B.12 C.13 D.14
7(A2)将点P的直角坐标(-2,2)化为极径ρ是正值,极角θ∈[0,2π)的极坐标是( )
A. B. C. D.
8(A1)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
8(A2)已知直线l的参数方程为(t为参数),则直线l的倾斜角为( )
A. B. C. D.
9(A1)某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )
A.30种 B.35种 C.42种 D.48种
9(A2)下列方程可以作为x轴的参数方程的是( )
A. B. C. D.
10设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
11设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)在R上为增函数的充要条件是( )
A.b2-4ac≥0 B.b>0,c>0C.b=0,c>0 D.b2-3ac≤0
12已知f(x)=x2+sin,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象是( )
二.填空题(每题5分,共20分)
13命题“若a∉A,则b∈B”的逆否命题是________.
14定积分3xdx的值为_______
15已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是___________.
16给出以下数对序列:
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第j个数对为aij,如a43=(3,2),则anm=( )
三解答题,(17题10分,18,19,20,21,22题12分)
17命题p:函数y=cx(c>0,c≠1)是R上的单调减函数;命题q:1-2c<0.若p∨q是真命题,p∧q是假命题,求常数c的取值范围.
18(A1)课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?
(1)只有1名女生;(2)两队长当选;
(3)至少有1名队长当选;(4)至多有2名女生当选
18(A2)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.
19设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2.
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
20.证明:1已知,,求证:
2已知,,求证:.
21如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角QBPC的余弦值.
22已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,焦距是2.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,|CD|=,求k的值.
参考答案
一选择题(每题5分,共60分)
1全称命题“∀x∈R,x2+5x=4”的否定是(C )
A.∃x0∈R,x+5x0=4 B.∀x∈R,x2+5x≠4
C.∃x0∈R,x+5x0≠4 D.以上都不正确
C 解析全称命题的否定既要改变量词,又要否定结论,故C项正确.
2.若a为实数,且=3+i,则a=( D )
A.-4 B.-3 C.3 D.4
解析:选D ==+i=3+i,所以解得a=4,故选D.
3已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为-,则切点的横坐标为
( B )
A.3 B.2 C.1 D.
解:y′=-,令-=-,解得x=2或x=-3(舍去).故选B.
4已知函数f(x)=x2-x,则f(x)的单调增区间是( D )
A.(-∞,-1)和(0,+∞) B.(0,+∞)
C.(-1,0)和(1,+∞) D.(1,+∞)
解:f′(x)=x-1,令f′(x)>0,解得x>1.故选D.
5.函数f(x)=x3-3x2+m在区间[-1,1]上的最大值是2,则常数m=( C )
A.-2 B.0 C.2 D.4
解:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
令f′(x)=0,得x=0或x=2(舍去),
当-1≤x<0时,f′(x)>0;
当0<x≤1时,f′(x)<0.
所以当x=0时,f(x)取得最大值为m,m=2.故选C.
6(A1)电路如图所示,在A,B间有四个开关,若发现A,B之间电路不通,则这四个开关打开或闭合的方式有( C )
A.3种 B.8种 C. 13种 D.16种
解:各个开关打开或闭合有2种情形,故四个开关共有24种可能,其中能使电路通的情形有:1,4都闭合且2和3中至少有一个闭合,共有3种可能,故开关打开或闭合的不同情形共有24-3=13(种).故选C.
6(A2)在极坐标系中,极坐标化为直角坐标为( C )
A.(1,1) B.(-1,1) C.(-1,-1) D.(1,-1)
解析:∵ρ=,θ=π,∴x=ρcos θ=×cos =-1,y=ρsin θ=×sin =-1,∴极坐标化为直角坐标为(-1,-1).答案:C
7(A1)若A=132,则n等于(B )
A.11 B.12 C.13 D.14
解析:选B 因为A=132,
所以n(n-1)=132,n2-n-132=0,
所以n=12或n=-11(舍去).
7(A2)将点P的直角坐标(-2,2)化为极径ρ是正值,极角θ∈[0,2π)的极坐标是( B )
A. B. C. D.
解析:ρ= =4,∵点(-2,2)在第二象限,且tan θ=-,
∴θ=,∴点P的极坐标为.
8(A1)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( C )
A.30 B.20 C.15 D.10
解:含x3项为x(C14·x2)=15x3,所以含x3项的系数为15,故选C.
8(A2)已知直线l的参数方程为(t为参数),则直线l的倾斜角为( C)
A. B. C. D.
由直线l的参数方程(t为参数),得==-,
∴直线的斜率k=-,其倾斜角为,故选C.
9(A1)某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( A )
A.30种 B.35种 C.42种 D.48种
解析:选A 法一:选修1门A类,2门B类课程的选法有CC种;选修2门A类,1门B类的课程的选法有CC种.故选法共有CC+CC=18+12=30(种).
9(A2)下列方程可以作为x轴的参数方程的是( A )
A. B. C. D.
解析:x轴上的点横坐标可取任意实数,纵坐标为0.答案:A
10设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( C )
A.4 B.3 C.2 D.1
解:由双曲线方程可知渐近线方程为y=±x,又a>0,可知a=2.故选C.
11设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)在R上为增函数的充要条件是( D)
A.b2-4ac≥0 B.b>0,c>0
C.b=0,c>0 D.b2-3ac≤0
解:f′(x)=3ax2+2bx+c,∵a>0,∴3a>0,
又∵f(x)在R上为增函数,∴f′(x)≥0恒成立,
∴Δ=(2b)2-4×3ac≤0,即b2-3ac≤0.故选D.
12已知f(x)=x2+sin,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象是( A )
二.填空题(每题5分,共20分)
13命题“若a∉A,则b∈B”的逆否命题是________.
答案:若b∉B,则a∈A
14定积分3xdx的值为_______
解:3xdx=x2|=.
15已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是____________.
解:由椭圆C的右焦点为F(1,0)知c=1,且焦点在x轴上,又e==,∴a=2,a2=4,b2=a2-c2=3,椭圆C的方程为+=1.故填+=1.
16给出以下数对序列:
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第j个数对为aij,如a43=(3,2),则anm=(m,n-m+1 )
三解答题,(17题10分,18,19,20,21,22题12分)
17命题p:函数y=cx(c>0,c≠1)是R上的单调减函数;命题q:1-2c<0.若p∨q是真命题,p∧q是假命题,求常数c的取值范围.
解:∵p∨q是真命题,p∧q是假命题,
∴p,q中一个是真命题,一个是假命题.,,,,,,,,,,,2分
若p真q假,则有解得01. ,,,,,,,,,,,,8分
综上可知,满足条件的c的取值范围是∪(1,+∞),10分
18(A1)课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?
(1)只有1名女生;
(2)两队长当选;
(3)至少有1名队长当选;
(4)至多有2名女生当选;
解:(1)1名女生,4名男生,故共有C·C=350(种)….3分
(2)将两队长作为一类,其他11个作为一类,故共有C·C=165(种)…….6分
(3)至少有1名队长当选含有两类:只有1名队长和2名队长.故共有:C·C+C·C=825(种)……9分
或采用间接法:C-C=825(种).
(4)至多有2名女生含有三类:有2名女生、只有1名女生、没有女生,故选法为:C·C+C·C+C=966(种).,,,,,12分
18(A2)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.
解析 (1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,,,,,,,,,,3分
C2:+=1,。。。。。。。。。6分
C1为圆心是(-4,3),半径为1的圆.
C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长轴长是16短轴长是6的椭圆.
(2)当t=时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),
故M(-2+4cosθ,2+sinθ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,8分
C3为直线x-2y-7=0,M到C3的距离
d=|4cosθ-3sinθ-13|,。。。。。。。。10分
从而当cosθ=,sinθ=-时,d取最小值.。。。。。。。。12分
19设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2.
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
解:(1)f′(x)=2a(x-5)+,...2分
依题意,f′(1)=6-8a=2,得a=.。。。。。。。。4分
(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6lnx(x>0),
f′(x)=x-5+=.。。。。。。。。6分
令f′(x)=0,得x=2或3. 。。。。。。。。7分
x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,2)
2
(2,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
故f(x)的单调增区间为(0,2)和(3,+∞),单调减区间为(2,3).。。。。。。。。10分
f(x)的极大值f(2)=+6ln2,极小值f(3)=2+6ln3.,, 12分
20.证明:1已知,,求证:
2已知,,求证:.
21如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角QBPC的余弦值.
解:以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA,DP,DC为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.
(1)证明:依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).
则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0). …………………2
所以·=0,·=0.
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC. ………..4
又DQ∩DC=D,故PQ⊥平面DCQ.
又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ…………………………………….6
(2)依题意有B(1,0,1),=(1,0,0),=(-1,2,-1).
设n=(x1,y1,z1)是平面PBC的一个法向量,则 即
因此可取n=(0,-1,-2). …………………………8
设m=(x2,y2,z2)是平面PBQ的一个法向量,则即
可取m=(1,1,1). …………………………………10
所以cos〈m,n〉=-.
由图可知,二面角QBPC为钝角,…………………….11
故二面角QBPC的余弦值为-……………………………………………………12
22已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,焦距是2.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,|CD|=,求k的值.
解析:(1)由题意得2c=2,所以c2=2,
又=,所以a2=3,b2=1,
∴椭圆方程为+y2=1. ….4
(2)设C(x1,y1)、D(x2,y2),将y=kx+2带入+y2=1,
整理得(1+3k2)x2+12kx+9=0,
所以Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0,①
………………………7
又|CD|=,
y1-y2=k(x1-x2),
所以=,…………………………………9
又(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-, ……10
代入上式,整理得7k4-12k2-27=0,即(7k2+9)(k2-3)=0,
解得k2=-(舍去)或k2=3,即k=±,
经验证,k=±能使①成立,故k=±……………………….12