【数学】福建省南平市2020届高三上学期第一次综合质量检查试题（理）（解析版） 15页

福建省南平市2020届高三上学期第一次综合质量检查 数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】因为复数，‎ 所以复数对应的点在第三象限.‎ 故选：C.‎ ‎3.已知命题：，．则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为：，，‎ 所以：，.‎ 故选：D.‎ ‎4.下列函数中，既是奇函数又在单调递减的函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对A，函数在单调递增，故A不符合；‎ 对B，函数为偶函数，故B不符合；‎ 对C，函数在恒成立，所以在单调递增，故C不符合；‎ 对D，函数既是奇函数又在单调递减，故D符合；‎ 故选：D.‎ ‎5.已知函数，则函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为定义域为，且，‎ 所以为偶函数，故排除A,D；‎ 当时，，故排除B.‎ 故选：C.‎ ‎6.从区间随机抽取个数，，…，，，，…，，组成坐标平面上的 个点，，…，，其中到原点距离小于的点有个，用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得满足的点共个，利用几何概型得，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 此时，再执行，再跳出循环.‎ 故答案为：B.‎ ‎8.已知非零向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 所以向量，的夹角为.‎ 故选：B.‎ ‎9.设抛物线：焦点为，直线与交于，两点，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，将直线代入，‎ 消去得：，‎ 所以，，‎ 抛物线：的准线方程为，‎ 因为，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎10.已知函数给出下列三个结论：‎ ‎①函数的最小正周期是；‎ ‎②函数在区间上是增函数；‎ ‎③函数的图像关于点对称.‎ 其中正确结论的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为.‎ 对①，函数的周期为，故①正确；‎ 对②，因为，所以在上是减函数，故②错误；‎ 对③，，函数不关于点对称，故③错误.‎ 故选：B.‎ ‎11.设数列满足，，则数列的前项和是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设为数列的前项的和，‎ 则.‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 各式相加得：.‎ 故选：B.‎ ‎12.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，，若平面交于点，四棱锥的五个顶点都在球的球面上，则球半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图1，三点共线，连结从而平面，则与的交点即为点，又与相似，所以；‎ 如图2，设的外接圆圆心为，半径为，球半径为，在中，，由正弦定理得，所以，在中，解得，即，所以所求的球的半径为.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.函数的单调减区间是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.‎ ‎14.将名志愿者分派到个不同社区参加公益活动，要求每个社区至少安排人参加活动，则不同的分派方案共有________种；（用数字作答）‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】由题意得：两个社区的志愿者分别为2人与3人，或者3人与2人，‎ 即.‎ 故答案为：‎ ‎15.设是公差不为零的等差数列，是与的等比中项，，则________；‎ ‎【答案】2n ‎【解析】因为是与的等比中项，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 解得：，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎16.双曲线：的左、右焦点分别是，，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设由 ，‎ 即，得 因为，‎ 所以，即.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.锐角的内角，，的对边分别为，，，设．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的周长．‎ 解：（1）由已知及余弦定理可得：‎ ‎，‎ ‎∴∵为锐角三角形，∴·‎ ‎（2）由正弦定理，可得，‎ ‎∵，∴，‎ 解得，‎ 由余弦定理得，‎ ‎，于是的周长为.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若为线段上的一点，，，，求平面 与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎（1）证明：设交于点，，，所以，所以，在中，‎ 且，得，即，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以 ‎（2）解：平面平面，平面平面，平面，，所以平面，‎ 以为原点，以射线为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系，，，，，,,‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，得 设平面的法向量为，‎ 则，取，得，‎ 设所求角为，则，‎ 所求的锐二面角余弦值为 ‎19.已知椭圆：的长轴长是离心率的两倍，直线：=交于，两点，且的中点横坐标为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若，是椭圆上的点，为坐标原点，且满足，求证：，斜率的平方之积是定值．‎ 解：（1）由椭圆：的长轴长是离心率的两倍 得，即………..①‎ 设 联立和 整理得；‎ 所以，‎ 依题意得：，即……..②·‎ 由①②得依题意得：，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，由得 因为在椭圆上，‎ 所以，‎ ‎=.‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围．‎ 解：（1）.‎ 当时，单调递增；‎ 当时，单调递减.‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎(2)由得 也就是，令 则=，由知，.‎ 设，，在单调递增，‎ 又，所以存在使得，‎ 即.‎ 当时，，在单调递减；‎ 当时，，在单调递增;‎ 所以=.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎21.某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”．现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：‎ ‎（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程适合用来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；‎ ‎（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：‎ 支付方式 现金 会员卡 扫码 比例 商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受折优惠的概率为，享受折优惠的概率为，享受折优惠的概率为．现有一名顾客购买了元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？‎ 参考数据：设，，，‎ 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．‎ 解：（1）由，两边同时取常用对数得：；‎ 设 ‎，，‎ ‎，‎ 把样本中心点代入,得:，‎ ‎，‎ 关于回归方程为：；‎ 把代入上式，；‎ 活动推出第8天使用扫码支付的人次为331；‎ ‎（2）记一名顾客购物支付的费用为，‎ 则的取值可能为：，，，；‎ ‎；；‎ ‎；‎ 分布列为：‎ 所以，一名顾客购物的平均费用为：‎ ‎（元）‎ 请考生在第22、23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为：（为参数），，为直线上距离为的两动点，点为曲线上的动点且不在直线上．‎ ‎（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程．‎ ‎（2）求面积的最大值．‎ 解：（1）直线的极坐标方程化成，‎ ‎，直线的直角坐标方程为，‎ 曲线的参数方程化成：.‎ 平方相加得，即 ‎（2）设点，则到直线的距离为：‎ ‎，‎ 当时，，‎ 设的面积为，则.‎ ‎23.已知函数，若的解集为．‎ ‎（1）求并解不等式；‎ ‎（2）已知：，若对一切实数都成立，求证：．‎ 解：（1）由可得：，即，‎ 解集为，所以.‎ 当时，不等式化成，解得：‎ 当时，不等式化成，解得：‎ 综上所述，解集为…‎ ‎（2）由题意得对一切实数恒成立，‎ 从而，‎ ‎，‎ 的最小值为3.‎ ‎，又，‎ ‎.‎