2019届二轮复习第九章第1节　直线的方程学案（全国通用） 14页

第1节　直线的方程 最新考纲　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.‎ 知 识 梳 理 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；‎ ‎(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；‎ ‎(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).‎ ‎2.直线的斜率 ‎(1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan α；‎ ‎(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0)‎ 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1‎ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2‎ 所有直线 ‎≠0)‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：‎ α ‎0°‎ ‎0°<α<90°‎ ‎90°‎ ‎90°<α<180°‎ k ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ ‎2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.‎ ‎3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)‎ ‎(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)‎ ‎(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)‎ ‎(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　　)‎ 解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.‎ ‎(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.‎ ‎(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(2018·衡水调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为(　　)‎ A.30° B.45° C.120° D.150°‎ 解析　由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°，故选B.‎ 答案　B ‎3.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距 ‎－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.‎ 答案　C ‎4.(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为 .‎ 解析　由题意得＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，‎ ‎∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，‎ 整理得12x－y－18＝0.‎ 答案　12x－y－18＝0‎ ‎5.(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为 .‎ 解析　当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；‎ 当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.‎ 答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0‎ 考点一　直线的倾斜角与斜率(典例迁移)‎ ‎【例1】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(一题多解)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .‎ 解析　(1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，‎ 因为α∈，所以≤cos α≤，‎ 因此k＝2·cos α∈[1，].‎ 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].‎ 又θ∈[0，π)，所以θ∈，‎ 即倾斜角的取值范围是.‎ ‎(2)法一　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).‎ 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－].‎ 故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).‎ 法二　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.‎ ‎∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，‎ ‎∴(2k－1－k)(－－k)≤0，‎ 即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.‎ 即直线l的斜率k的取值范围是 ‎(－∞，－]∪[1，＋∞).‎ 答案　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ ‎【迁移探究1】 若将例1(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.‎ 解　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.‎ ‎∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，‎ ‎∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，‎ 即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤.‎ 即直线l的斜率的取值范围是.‎ ‎【迁移探究2】 若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.‎ 解　由例1(2)知直线l的方程kx－y－k＝0，‎ ‎∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，‎ ‎∴(2k－1－k)(2k＋1－k)≤0，‎ 即(k－1)(k＋1)≤0，解得－1≤k≤1.‎ 即直线l倾斜角的范围是∪.‎ 规律方法　1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α的单调性，当α取值在，即由0增大到时，k由0增大到＋∞，当α取值在时，即由增大到π(α≠π)时，k由－∞增大到0.‎ ‎2.斜率的两种求法 ‎(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率.‎ ‎(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率.‎ ‎【训练1】 (2018·惠州一调)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.[0，π) B.∪ C. D.∪ 解析　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π，故选B.‎ 答案　B 考点二　直线方程的求法 ‎【例2】 根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；‎ ‎(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.‎ 解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4).‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)由题设知纵、横截距不为0，设直线方程为＋＝1，‎ 又直线过点(－3，4)，‎ 从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.‎ 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；‎ 当斜率存在时，设其为k，‎ 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋10－5k＝0.‎ 由点线距离公式，得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 规律方法　1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.‎ ‎2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).‎ ‎【训练2】 求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；‎ ‎(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.‎ 解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，‎ 若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(4，1)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α.‎ ‎∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.‎ 又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).‎ 所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.‎ 考点三　直线方程的综合应用 ‎【例3】 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.‎ ‎(1)证明　直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令解得 ‎∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).‎ ‎(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).‎ ‎(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，‎ 得A，B(0，1＋2k).‎ 依题意得解得k>0.‎ ‎∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝ ‎≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，‎ ‎∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ 规律方法　1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.‎ ‎2.求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.‎ ‎【训练3】 (一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.‎ 解　法一　设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，‎ 点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，‎ 从而S△ABO＝ab≥12，‎ 当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，‎ 从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.‎ 法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0.‎ 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，‎ 且有A，B(0，2－3k)，‎ ‎∴S△ABO＝(2－3k) ‎＝≥ ‎＝×(12＋12)＝12.‎ 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：25分钟)‎ 一、选择题 ‎1.直线x＝的倾斜角等于(　　)‎ A.0 B. C. D.π 解析　由直线x＝，知倾斜角为.‎ 答案　C ‎2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)‎ A.k1α3，所以00，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合.‎ 答案　B ‎8.(2018·郑州一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)‎ A.y＝x＋2 B.y＝x－2‎ C.y＝x＋ D.y＝－x＋2‎ 解析　∵直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.‎ 答案　A 二、填空题 ‎9.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为 .‎ 解析　BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.‎ 答案　x＋13y＋5＝0‎ ‎10.已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .‎ 解析　设直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x，y).‎ 则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2，4)，B(3，2)，‎ 设直线l的斜率为k.‎ 又kOA＝2，kOB＝.‎ 如图所示，可知≤k≤2.‎ ‎∴直线l的斜率的取值范围是.‎ 答案　 ‎11.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 .‎ 解析　若直线过原点，则k＝－，‎ 所以y＝－x，即4x＋3y＝0.‎ 若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，‎ 即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，‎ 所以直线的方程为x＋y＋1＝0.‎ 答案　4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0‎ ‎12.设直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点 .‎ 解析　直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，‎ 由解得 所以直线l恒过定点(2，－2).‎ 答案　(2，－2)‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：10分钟)‎ ‎13.已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　　)‎ A.4x－3y－3＝0 B.3x－4y－3＝0‎ C.3x－4y－4＝0 D.4x－3y－4＝0‎ 解析　由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，‎ 所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，‎ 即4x－3y－4＝0.‎ 答案　D ‎14.(2018·成都诊断)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)‎ A. B.[－1，0]‎ C.[0，1] D. 解析　由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.‎ 答案　A ‎15.(2018·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为 .‎ 解析　∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，‎ ‎∴a＋b＝ab，即＋＝1，‎ ‎∴a＋b＝(a＋b) ‎＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ 当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.‎ ‎∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.‎ 答案　4‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是 .‎ 解析　直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1，1)，‎ ‎∴H(1，0)，直线HB的方程为y＝x－1，‎ 代入半圆方程得B.‎ 所以直线AB的方程为＝，‎ 即x＋y－－1＝0.‎ 答案　x＋y－－1＝0‎