2018届二轮复习高考中的数列问题课件（文）（江苏专用） 45页

高考专题突破三 高考 中的数列 问题 考点自测 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 考点自测 1.( 2017· 苏州 月考 ) 数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数列，且 a 1 ， a 3 ， a 7 为等比数列 { b n } 中连续的三项，则数列 { b n } 的公比为 ____. 答案 解析 设数列 { a n } 的公差为 d ( d ≠ 0) ， 由 ＝ a 1 a 7 ，得 ( a 1 ＋ 2 d ) 2 ＝ a 1 ( a 1 ＋ 6 d ) ，解得 a 1 ＝ 2 d ， 2 2. 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 5 ＝ 5 ， S 5 ＝ 15 ，则 数列 的 前 100 项和为 _____. 答案 解析 设等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d . ∴ a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ n . ∵ a 5 ＝ 5 ， S 5 ＝ 15 ， 3.(2016· 南通、淮安模拟 ) 在等比数列 { a n } 中， a 2 ＝ 1 ，公比 q ≠ ±1. 若 a 1 ， 4 a 3 ， 7 a 5 成等差数列，则 a 6 的值是 ____. 答案 解析 因为 { a n } 为等比数列，且 a 2 ＝ 1 ，所以 a 1 ＝ ， a 3 ＝ q ， a 5 ＝ q 3 ， 由 a 1 ， 4 a 3 ， 7 a 5 成等差数列得 8 q ＝ ＋ 7 q 3 ， 解得 q 2 ＝ 1( 舍去 ) 或 q 2 ＝ ， 故 a 6 ＝ a 2 q 4 ＝ . 4.(2015· 课标全国 Ⅱ ) 设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1 ＝－ 1 ， a n ＋ 1 ＝ S n S n ＋ 1 ， 则 S n ＝ ____. 答案 解析 由题意，得 S 1 ＝ a 1 ＝－ 1 ，又由 a n ＋ 1 ＝ S n S n ＋ 1 ，得 S n ＋ 1 － S n ＝ S n S n ＋ 1 ， 因为 S n ≠ 0 ， 所以 ＝ 1 ， 所以 ＝－ 1 － ( n － 1) ＝－ n ，所以 S n ＝ . 5. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 对任意 n ∈ N * 都有 S n ＝ ， 若 1< S k <9 ( k ∈ N * ) ，则 k 的值为 ____. 答案 解析 4 由题意， S n ＝ ， 当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ ， 两式相减，得 a n ＝ ， ∴ { a n } 是以－ 1 为首项，以－ 2 为公比的等比数列， ∴ a n ＝－ ( － 2) n － 1 ， 由 1< S k <9 ，得 4<( － 2) k <28 ， 又 k ∈ N * ， ∴ k ＝ 4. ∴ a n ＝－ 2 a n － 1 ， 又 a 1 ＝－ 1 ， 题型分类　深度剖析 题型一　等差数列、等比数列的综合问题 例 1 　 (2016· 苏州暑假测试 ) 已知等差数列 { a n } 的公差为 2 ，其前 n 项和 S n ＝ pn 2 ＋ 2 n ， n ∈ N * . (1) 求实数 p 的值及数列 { a n } 的通项公式； 解答 S n ＝ na 1 ＋ ＝ na 1 ＋ n ( n － 1) ＝ n 2 ＋ ( a 1 － 1) n ， 又 S n ＝ pn 2 ＋ 2 n ， n ∈ N * ， 所以 p ＝ 1 ， a 1 － 1 ＝ 2 ，即 a 1 ＝ 3 ， 所以 a n ＝ 3 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n ＋ 1. (2) 在等比数列 { b n } 中， b 3 ＝ a 1 ， b 4 ＝ a 2 ＋ 4 ，若 { b n } 的前 n 项和为 T n . 求证： 数列 { T n ＋ } 为等比数列 . 证明 因为 b 3 ＝ a 1 ＝ 3 ， b 4 ＝ a 2 ＋ 4 ＝ 9 ，所以 q ＝ 3. 所以 b n ＝ b 3 q n － 3 ＝ 3 × 3 n － 3 ＝ 3 n － 2 ，所以 b 1 ＝ . 所以数列 { T n ＋ } 是 以 为 首项， 3 为公比的等比数列 . 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1) 分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差 ( 公比 ) 等，确定解题的顺序 . (2) 注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的 . 思维 升华 跟踪训练 1 　在等差数列 { a n } 中， a 10 ＝ 30 ， a 20 ＝ 50. (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解答 设数列 { a n } 的公差为 d ，则 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ， 由 a 10 ＝ 30 ， a 20 ＝ 50 ，得方程组 解 得 所以 a n ＝ 12 ＋ ( n － 1)·2 ＝ 2 n ＋ 10. (2) 令 b n ＝ ， 证明：数列 { b n } 为等比数列； 证明 由 (1) ，得 b n ＝ 2 a n － 10 ＝ 2 2 n ＋ 10 － 10 ＝ 2 2 n ＝ 4 n ， 所以 { b n } 是首项为 4 ，公比为 4 的等比数列 . (3) 求数列 { nb n } 的前 n 项和 T n . 解答 由 nb n ＝ n × 4 n ，得 T n ＝ 1 × 4 ＋ 2 × 4 2 ＋ … ＋ n × 4 n ， ① 4 T n ＝ 1 × 4 2 ＋ … ＋ ( n － 1) × 4 n ＋ n × 4 n ＋ 1 ， ② ① － ② ，得－ 3 T n ＝ 4 ＋ 4 2 ＋ … ＋ 4 n － n × 4 n ＋ 1 题型二　数列的通项与求和 例 2 　 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，在数列 { b n } 中， b 1 ＝ a 1 ， b n ＝ a n － a n － 1 ( n ≥ 2) ，且 a n ＋ S n ＝ n . (1) 设 c n ＝ a n － 1 ，求证： { c n } 是等比数列； 证明 ∵ a n ＋ S n ＝ n ， ① ∴ a n ＋ 1 ＋ S n ＋ 1 ＝ n ＋ 1. ② ② － ① ，得 a n ＋ 1 － a n ＋ a n ＋ 1 ＝ 1 ， ∴ 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 ， ∴ 2( a n ＋ 1 － 1) ＝ a n － 1 ， ∴ { a n － 1} 是等比数列 . ∵ 首项 c 1 ＝ a 1 － 1 ，又 a 1 ＋ a 1 ＝ 1 . 又 c n ＝ a n － 1 ， ∴ { c n } 是 以 为 首项 ， 为公比 的等比数列 . (2) 求数列 { b n } 的通项公式 . 解答 ∴ a n ＝ c n ＋ 1 ＝ 1 － ( ) n . ∴ 当 n ≥ 2 时， b n ＝ a n － a n － 1 又 b 1 ＝ a 1 ＝ ， 代入上式也符合， ∴ b n ＝ ( ) n . (1) 一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息 . (2) 根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等 . 思维 升华 跟踪训练 2 　已知 { a n } 是等差数列，其前 n 项和为 S n ， { b n } 是等比数列，且 a 1 ＝ b 1 ＝ 2 ， a 4 ＋ b 4 ＝ 21 ， S 4 ＋ b 4 ＝ 30. (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式； 解答 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q . 由 a 1 ＝ b 1 ＝ 2 ，得 a 4 ＝ 2 ＋ 3 d ， b 4 ＝ 2 q 3 ， S 4 ＝ 8 ＋ 6 d . 由条件 a 4 ＋ b 4 ＝ 21 ， S 4 ＋ b 4 ＝ 30 ， 所以 a n ＝ n ＋ 1 ， b n ＝ 2 n ， n ∈ N * . (2) 记 c n ＝ a n b n ， n ∈ N * ，求数列 { c n } 的前 n 项和 . 解答 由题意知 c n ＝ ( n ＋ 1) × 2 n . 记 T n ＝ c 1 ＋ c 2 ＋ c 3 ＋ … ＋ c n . 则 T n ＝ 2 × 2 ＋ 3 × 2 2 ＋ 4 × 2 3 ＋ … ＋ n × 2 n － 1 ＋ ( n ＋ 1) × 2 n ， 2 T n ＝ 2 × 2 2 ＋ 3 × 2 3 ＋ … ＋ ( n － 1) × 2 n － 1 ＋ n × 2 n ＋ ( n ＋ 1)2 n ＋ 1 ， 所以－ T n ＝ 2 × 2 ＋ (2 2 ＋ 2 3 ＋ … ＋ 2 n ) － ( n ＋ 1) × 2 n ＋ 1 ， 即 T n ＝ n ·2 n ＋ 1 ， n ∈ N * . 题型三　数列与其他知识的交汇 命题点 1 　数列与函数的交汇 例 3 　 已知二次函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx 的图象过点 ( － 4 n, 0) ，且 f ′ (0) ＝ 2 n ， n ∈ N * ，数列 { a n } 满足 ， 且 a 1 ＝ 4. (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解答 f ′ ( x ) ＝ 2 ax ＋ b ，由题意知 b ＝ 2 n ， 16 n 2 a － 4 nb ＝ 0 ， ∴ a ＝ ， 则 f ( x ) ＝ ＋ 2 nx ， n ∈ N * . 数列 { a n } 满足 又 f ′ ( x ) ＝ x ＋ 2 n ， 由叠加法可 得 ＝ 2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ … ＋ 2( n － 1) ＝ n 2 － n ， 化简可得 a n ＝ ( n ≥ 2) ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 4 也符合， ∴ a n ＝ ( n ∈ N * ). (2) 记 b n ＝ ， 求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 解答 ∴ T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b n 命题点 2 　数列与不等式的交汇 例 4 　 数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ( n ∈ N * ) ， S n 为其前 n 项和 . 数列 { b n } 为等差数列，且满足 b 1 ＝ a 1 ， b 4 ＝ S 3 . (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； 由题意知， { a n } 是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列， ∴ a n ＝ a 1 ·2 n － 1 ＝ 2 n － 1 . ∴ S n ＝ 2 n － 1. 设等差数列 { b n } 的公差为 d ，则 b 1 ＝ a 1 ＝ 1 ， b 4 ＝ 1 ＋ 3 d ＝ 7 ， ∴ d ＝ 2 ， b n ＝ 1 ＋ ( n － 1) × 2 ＝ 2 n － 1. 解答 (2) 设 c n ＝ ， 数列 { c n } 的前 n 项和为 T n ，证明 ： ∵ log 2 a 2 n ＋ 2 ＝ log 2 2 2 n ＋ 1 ＝ 2 n ＋ 1 ， ∴ 数列 { T n } 是一个递增数列， ∴ T n ≥ T 1 ＝ . 证明 命题点 3 　数列应用题 例 5 　 (2016· 南京模拟 ) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 . 该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%. 预计以后每年年增长率与第一年的相同 . 公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产 . 设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 a n 万元 . (1) 用 d 表示 a 1 ， a 2 ，并写出 a n ＋ 1 与 a n 的关系式； 解答 由题意，得 a 1 ＝ 2 000(1 ＋ 50%) － d ＝ 3 000 － d ， a 2 ＝ a 1 (1 ＋ 50%) － d ＝ a 1 － d ＝ 4 500 － ， … a n ＋ 1 ＝ a n (1 ＋ 50%) － d ＝ － d . (2) 若公司希望经过 m ( m ≥ 3) 年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值 ( 用 m 表示 ). 解答 由 (1) ，得 a n ＝ a n － 1 － d ＝ ( a n － 2 － d ) － d ＝ … 整理，得 a n ＝ ( ) n － 1 (3 000 － d ) － 2 d [( ) n － 1 － 1 ] ＝ ( ) n － 1 (3 000 － 3 d ) ＋ 2 d . 由题意，得 a m ＝ 4 000 ， 即 ( ) m － 1 (3 000 － 3 d ) ＋ 2 d ＝ 4 000. 故该企业每年上缴资金 d 的值 为 时 ，经过 m ( m ≥ 3) 年企业的剩余资金为 4 000 万元 . 数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 (1) 数列与函数的交汇问题 ① 已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ② 已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形 . 另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决 . 思维 升华 (2) 数列与不等式的交汇问题 ① 函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式； ② 放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③ 比较方法：作差或者作商比较 . (3) 数列应用题 ① 根据题意，确定数列模型； ② 准确求解模型； ③ 问题作答，不要忽视问题的实际意义 . 跟踪训练 3 　设 n ∈ N * ， x n 是曲线 y ＝ x 2 n ＋ 2 ＋ 1 在点 (1,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标 . (1) 求数列 { x n } 的通项公式； 解答 y ′ ＝ ( x 2 n ＋ 2 ＋ 1) ′ ＝ (2 n ＋ 2) x 2 n ＋ 1 ， 曲线 y ＝ x 2 n ＋ 2 ＋ 1 在点 (1,2) 处的切线斜率为 2 n ＋ 2 ， 从而切线方程为 y － 2 ＝ (2 n ＋ 2)( x － 1). 令 y ＝ 0 ，解得切线与 x 轴交点的 横坐标 证明 由题设和 (1) 中的计算结果知 当 n ＝ 1 时， T 1 ＝ . 综上可得，对任意 n ∈ N * ，均有 T n ≥ . 课时作业 1.(2016· 全国甲卷 ) 等差数列 { a n } 中， a 3 ＋ a 4 ＝ 4 ， a 5 ＋ a 7 ＝ 6. (1) 求 { a n } 的通项公式； 解答 设数列 { a n } 的公差为 d ，由题意有 2 a 1 ＋ 5 d ＝ 4 ， a 1 ＋ 5 d ＝ 3 . 解得 a 1 ＝ 1 ， d ＝ . 所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ . 1 2 3 4 5 (2) 设 b n ＝ [ a n ] ，求数列 { b n } 的前 10 项和，其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数，如 [0.9] ＝ 0 ， [2.6] ＝ 2. 解答 由 (1) 知， b n ＝ . 当 n ＝ 1,2,3 时， 1 ≤ < 2 ， b n ＝ 1 ； 当 n ＝ 4,5 时， 2 ≤ <3 ， b n ＝ 2 ； 所以数列 { b n } 的前 10 项和为 1 × 3 ＋ 2 × 2 ＋ 3 × 3 ＋ 4 × 2 ＝ 24 . 当 n ＝ 6,7,8 时， 3 ≤ < 4 ， b n ＝ 3 ； 当 n ＝ 9,10 时， 4 ≤ <5 ， b n ＝ 4 . 1 2 3 4 5 2.(2016· 山东 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 3 n 2 ＋ 8 n ， { b n } 是等差数列，且 a n ＝ b n ＋ b n ＋ 1 . (1) 求数列 { b n } 的通项公式； 解答 由题意知，当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 6 n ＋ 5 ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 11 ，所以 a n ＝ 6 n ＋ 5. 设 数列 { b n } 的公差为 d . 由 即 可 解得 b 1 ＝ 4 ， d ＝ 3 ，所以 b n ＝ 3 n ＋ 1 . 1 2 3 4 5 (2) 令 c n ＝ ， 求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . 解答 由 (1) 知， c n ＝ ＝ 3( n ＋ 1)·2 n ＋ 1 . 又 T n ＝ c 1 ＋ c 2 ＋ … ＋ c n ， 得 T n ＝ 3 × [2 × 2 2 ＋ 3 × 2 3 ＋ … ＋ ( n ＋ 1) × 2 n ＋ 1 ] ， 2 T n ＝ 3 × [2 × 2 3 ＋ 3 × 2 4 ＋ … ＋ ( n ＋ 1) × 2 n ＋ 2 ]. 两式作差，得－ T n ＝ 3 × [2 × 2 2 ＋ 2 3 ＋ 2 4 ＋ … ＋ 2 n ＋ 1 － ( n ＋ 1) × 2 n ＋ 2 ] ＝－ 3 n ·2 n ＋ 2 ，所以 T n ＝ 3 n ·2 n ＋ 2 . 1 2 3 4 5 3. 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， n ∈ N * . 已知 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ ， a 3 ＝ ， 且当 n ≥ 2 时， 4 S n ＋ 2 ＋ 5 S n ＝ 8 S n ＋ 1 ＋ S n － 1 . (1) 求 a 4 的值； 解答 当 n ＝ 2 时， 4 S 4 ＋ 5 S 2 ＝ 8 S 3 ＋ S 1 ， 解得： a 4 ＝ . 1 2 3 4 5 (2) 证明 ： 为 等比数列； 证明 因为 4 S n ＋ 2 ＋ 5 S n ＝ 8 S n ＋ 1 ＋ S n － 1 ( n ≥ 2) ， 所以 4 S n ＋ 2 － 4 S n ＋ 1 ＋ S n － S n － 1 ＝ 4 S n ＋ 1 － 4 S n ( n ≥ 2) ， 即 4 a n ＋ 2 ＋ a n ＝ 4 a n ＋ 1 ( n ≥ 2) ， 所以 n ＝ 1 也满足此式 ， 当 n ＝ 1 时， 4 a 3 ＋ a 1 ＝ 4 × ＋ 1 ＝ 6 ＝ 4 a 2 ， 所以 4 a n ＋ 2 ＋ a n ＝ 4 a n ＋ 1 ( n ∈ N * ) ， 所以数列 { a n ＋ 1 － a n } 是以 a 2 － a 1 ＝ 1 为首项，公比 为 的 等比数列 . 1 2 3 4 5 (3) 求数列 { a n } 的通项公式 . 解答 由 (2) 知：数列 { a n ＋ 1 － a n } 是以 a 2 － a 1 ＝ 1 为首项，公比 为 的 等比数列， 所以 a n ＋ 1 － a n ＝ ( ) n － 1 . 所以 数列 是以 ＝ 2 为首项，公差为 4 的等差数列 ， 所以 ＝ 2 ＋ ( n － 1) × 4 ＝ 4 n － 2 ， 即 a n ＝ (4 n － 2 ) × ( ) n ＝ (2 n － 1 ) × ( ) n － 1 ， 所以数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ (2 n － 1 ) × ( ) n － 1 . 1 2 3 4 5 4.(2016· 常州期末 ) 已知等差数列 { a n } 的公差 d 为整数，且 a k ＝ k 2 ＋ 2 ， a 2 k ＝ ( k ＋ 2) 2 ，其中 k 为常数且 k ∈ N * . (1) 求 k 及 a n ； 解答 由题意得 ② － ① ，得 d ＝ 4 ＋ . 因为 k ∈ N * 且 d 为整数，所以 k ＝ 1 或 k ＝ 2. 当 k ＝ 1 时， d ＝ 6 ，代入 ① ，解得 a 1 ＝ 3 ，所以 a n ＝ 6 n － 3. 当 k ＝ 2 时， d ＝ 5 ，代入 ① ，解得 a 1 ＝ 1 ，所以 a n ＝ 5 n － 4 . 1 2 3 4 5 (2) 设 a 1 >1 ， { a n } 的前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的首项为 1 ，公比为 q ( q >0) ，前 n 项和为 T n . 若存在正整数 m ， 使得 ＝ T 3 ，求 q . 解答 因为 a 1 >1 ，所以 a n ＝ 6 n － 3 ，从而 S n ＝ 3 n 2 . 由 ＝ T 3 ， 得 ＝ 1 ＋ q ＋ q 2 ， 整理得 q 2 ＋ q ＋ 1 － ＝ 0. 因为 Δ ＝ 1 － 4(1 － ) ≥ 0 ，所以 m 2 ≤ . 因为 m ∈ N * ，所以 m ＝ 1 或 m ＝ 2. 当 m ＝ 1 时， q ＝ ( 舍去 ) 或 q ＝ . 当 m ＝ 2 时， q ＝ 0 或 q ＝－ 1( 均舍去 ). 综上所述， q ＝ . 1 2 3 4 5 5.(2015· 山东 ) 已知数列 { a n } 是首项为正数的等差数列， 数列 的 前 n 项和 为 (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解答 1 2 3 4 5 设数列 { a n } 的公差为 d ， 所以 a 1 a 2 ＝ 3. ① 所以 a 2 a 3 ＝ 15. ② 由 ①② 解得 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 2 ，所以 a n ＝ 2 n － 1. 经检验，符合题意 . (2) 设 b n ＝ ( a n ＋ 1)· 2 a ， 求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 1 2 3 4 5 解答 由 (1) 知 b n ＝ 2 n ·2 2 n － 1 ＝ n ·4 n ， 所以 T n ＝ 1·4 1 ＋ 2·4 2 ＋ … ＋ n ·4 n ， 所以 4 T n ＝ 1·4 2 ＋ 2·4 3 ＋ … ＋ n ·4 n ＋ 1 ， 两式相减，得－ 3 T n ＝ 4 1 ＋ 4 2 ＋ … ＋ 4 n － n ·4 n ＋ 1 n