2018届二轮复习　选修系列课件（全国通用） 42页

专题八　选修 4 系列 高考导航 热点突破 备选例题 阅卷评析 高考导航 演真题 · 明备考 真题体验 (1) 写出 C 的普通方程 ; (2) 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 设 l 3 :ρ(cos θ+sin θ) - =0,M 为 l 3 与 C 的交点 , 求 M 的极径 . 2 .(2017 · 全国 Ⅰ 卷 , 理 23) 已知函数 f(x)=-x 2 +ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1) 当 a=1 时 , 求不等式 f(x)≥g(x) 的解集 ; (2) 若不等式 f(x)≥g(x) 的解集包含 [-1,1], 求 a 的取值范围 . 解 : (2) 当 x∈[-1,1] 时 ,g(x)=2. 所以 f(x)≥g(x) 的解集包含 [-1,1] 等价于当 x∈[-1,1] 时 f(x)≥2. 又 f(x) 在 [-1,1] 上的最小值必为 f(-1) 与 f(1) 中的一个 , 所以 f(-1)≥2 且 f(1)≥2, 得 -1≤a≤1. 所以 a 的取值范围为 [-1,1]. 3. (2017 · 全国 Ⅱ 卷 , 理 23) 已知 a>0,b>0,a 3 +b 3 =2. 证明 : (1)(a+b)(a 5 +b 5 )≥4; (2)a+b≤2. 证明 : (1)(a+b)(a 5 +b 5 )=a 6 +ab 5 +a 5 b+b 6 =(a 3 +b 3 ) 2 -2a 3 b 3 +ab(a 4 +b 4 ) =4+ab(a 2 -b 2 ) 2 ≥4. 考情分析 1. 考查角度 (1) 坐标系与参数方程主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为普通方程以及参数方程与极坐标的综合应用 . (2) 不等式选讲主要考查平均值不等式的应用 , 绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法 ( 比较法、综合法、分析法、放缩法 ) 及它们的应用 . 其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点 . 2. 题型及难易度 解答题 . 难度中档 . 热点突破 剖典例 · 促迁移 热点一 坐标系与参数方程 考向 1 　方程互化及两曲线交点问题 【 例 1】 (2017 · 河北石家庄二模 ) 在直角坐标系 xOy 中 , 以 O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ=a(a>0).Q 为 l 上一点 , 以 OQ 为边作等边三角形 OPQ, 且 O,P,Q 三点按逆时针方向排列 . (1) 当点 Q 在 l 上运动时 , 求点 P 运动轨迹的直角坐标方程 ; (2) 若曲线 C:x 2 +y 2 =a 2 , 经过伸缩变换 得到曲线 C′, 试判断点 P 的轨迹与曲线 C′ 是否有交点 , 如果有 , 请求出交点的直角坐标 , 没有则说明理由 . 【 方法技巧 】 (1) 直角坐标方程化为极坐标方程 , 只需把公式 x=ρcos θ 及 y=ρsin θ 直接代入并化简即可 ; 而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形 , 构造形如 ρcos θ,ρsin θ,ρ 2 的形式 , 进行整体代换 . 其中方程的两边同乘以 ( 或同除以 )ρ 及方程两边平方是常用的变形方法 . 但对方程进行变形时 , 方程必须保持同解 , 因此应注意对变形过程的检验 . (2) 参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等 . 对于与角 θ 有关的参数方程 , 经常用到的公式有 sin 2 θ+cos 2 θ=1, 1+tan 2 θ= 等 . (3) 在将曲线的参数方程化为普通方程时 , 还要注意其中的 x,y 的取值范围 , 即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 . 热点训练 1 :(2017 · 河北唐山三模 ) 点 P 是曲线 C 1 :(x-2) 2 +y 2 =4 上的动点 , 以坐标原点 O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 以极点 O 为中心 , 将点 P 逆时针旋转 90° 得到点 Q, 设点 Q 的轨迹方程为曲线 C 2 . (1) 求曲线 C 1 ,C 2 的极坐标方程 ; (2) 射线 θ= (ρ≥0) 与曲线 C 1 ,C 2 分别交于 A,B 两点 , 定点 M(2,0), 求△ MAB 的面积 . 考向 2 　最值与范围问题 【 例 2】 (2017 · 东北三省四市教研联合体二模 ) 已知平面直角坐标系 xOy 中 , 以坐标原点 O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 1 的极坐标方程 为 ρ=4cos θ, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ). (1) 求曲线 C 1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程 ; 解 : (1) 曲线 C 1 :x 2 +y 2 -4x=0, l:x+2y-3=0. 【 方法技巧 】 一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了. (1) 写出曲线 C 2 的直角坐标方程 ; (2) 设点 P,Q 分别在 C 1 ,C 2 上运动 , 若 |PQ| 的最小值为 1, 求 m 的值 . 热点二 不等式选讲 考向 1 　绝对值不等式的解法 【 例 3】 (2017 · 山西太原三模 ) 已知函数 f(x)=2|x+a|+|x- |(a≠0). (1) 当 a=1 时 , 解不等式 f(x)<4; (2) 求函数 g(x)=f(x)+f(-x) 的最小值 . 【 方法技巧 】 解绝对值不等式的基本方法 (1) 利用绝对值的定义 , 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式 . (2) 当不等式两端均为正数时 , 可通过两边平方的方法 , 转化为解不含绝对值符号的普通不等式 . (3) 利用绝对值的几何意义 , 数形结合求解 . (4) 利用绝对值三角不等式求解 . 热点训练 3 :(2017 · 福建福州适考 ) 已知函数 f(x)=|2x-1|+|x+1|,g(x)=|x-a|+|x+a|. (1) 解不等式 f(x)>9; (2)∀x 1 ∈ R ,∃x 2 ∈ R , 使得 f(x 1 )=g(x 2 ), 求实数 a 的取值范围 . 考向 2 　含绝对值不等式的证明 【 例 4】 (2017 · 四川宜宾二诊 ) 已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈ R , 且 f(x+2)≥0 的解集为 [-3,3]. (1) 解不等式 f(x)+f(x+2)>0; (1) 解 : 因为 f(x+2)=m-|x|, 所以 f(x+2)≥0 等价于 |x|≤m, 由 |x|≤m 有解 , 得 m≥0, 且其解集为 {x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为 [-3,3], 故 m=3. 所以 f(x)+f(x+2)>0 可化为 3-|x-2|+3-|x|>0, 所以 |x|+|x-2|<6. ① 当 x≤0 时 ,-x-x+2<6, 所以 x>-2, 则 -22 时 ,x+x-2<6, 所以 x<4, 又 x>2, 所以 20 的解集为 {x|-20), 且 f(x-2)≥0 的解集为 [-3,-1]. (1) 求 m 的值 ; (1) 解 : 依题意 f(x-2)=m-|x+2|≥0, 即 |x+2|≤m⇔-m-2≤x≤-2+m, 又 f(x-2)≥0 的解集为 [-3,-1], 所以 m=1. 备选例题 挖内涵 · 寻思路 【 例 1】 (2017 · 河北石家庄二模 ) 已知函数 f(x)=2|x+1|-|x-1|. 　 (1) 求函数 f(x) 的图象与直线 y=1 围成的封闭图形的面积 m; (2) 在 (1) 的条件下 , 若正数 a,b 满足 a+2b=abm, 求 a+2b 的最小值 . 【 例 2】 (2017 · 福建福州 5 月适考 ) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的参数方程为 (t 为参数 ). 以坐标原点为极点 , 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ρcos θ=tan θ. (1) 求曲线 C 1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程 ; 解 : (1) 曲线 C 1 的普通方程为 4x+3y-2=0; 曲线 C 2 的直角坐标方程为 y=x 2 . 【 例 3】 (2017 · 福建 4 月质检 ) 在极坐标系中 , 曲线 C 1 :ρ=2cos θ, 曲线 C 2 :ρsin 2 θ=4cos θ. 以极点为坐标原点 , 极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标 系 xOy, 曲线 C 的参数方程为 (t 为参数 ). (1) 求 C 1 ,C 2 的直角坐标方程 ; 解 : (1) 因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ, 由 ρ=2cos θ 得 ρ 2 =2ρcos θ, 所以曲线 C 1 的直角坐标方程为 (x-1) 2 +y 2 =1, 由 ρsin 2 θ=4cos θ 得 ρ 2 sin 2 θ=4ρcos θ, 所以曲线 C 2 的直角坐标方程为 y 2 =4x. (2)C 与 C 1 ,C 2 交于不同四点 , 这四点在 C 上的排列顺次为 P,Q,R,S, 求 ||PQ|-|RS|| 的值 . 【 例 4】 (2017 · 河南考前预测 ) 已知函数 f(x)=|a-2x|+|2x+3|,g(x)=|2x-3|+2. (1) 解不等式 g(x)+|x+1|<5; (2) 若对任意 x 1 ∈ R 都存在 x 2 ∈ R , 使得 f(x 1 )=g(x 2 ) 成立 , 求实数 a 的取值范围 . 解 : (2) 由题意知 ,{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}, 因为 f(x)=|a-2x|+|2x+3|≥|(a-2x)+(2x+3)|=|a+3|, g(x)=|2x-3|+2≥2, 所以 |a+3|≥2, 解得 a≥-1 或 a≤-5. 即 a 的取值范围为 (-∞,-5]∪[-1,+∞). 阅卷评析 抓关键 · 练规范 参数方程的应用 (1) 若 a=-1, 求 C 与 l 的交点坐标 ; (2) 若 C 上的点到 l 距离的最大值为 , 求 a. 【 答题启示 】 (1) 参数方程化为普通方程的主要方法就是消参 , 常用代入消参及利用同角三角函数关系式等 . (2) 求解最值问题 , 要根据目标函数中的参数取值进行分类讨论 , 避免漏解 . 点击进入 限时训练