2018届二轮复习　导数的简单应用课件（全国通用） 34页

第 2 讲　导数的简单应用 热点突破 高考导航 阅卷评析 高考导航 演真题 · 明备考 高考体验 1.( 2014 · 全国 Ⅱ 卷 , 文 11 ) 若函数 f(x)=kx-ln x 在区间 (1,+∞) 上单调递增 , 则 k 的取值范围是 ( 　 　 ) (A)(-∞,-2] (B)(-∞,-1] (C)[2,+∞) (D)[1,+∞) D 2.( 2013 · 全国 Ⅱ 卷 , 文 11 ) 已知函数 f(x)=x 3 +ax 2 +bx+c, 下列结论中错误的是 ( 　 　 ) (A)∃x 0 ∈ R ,f(x 0 )=0 (B) 函数 y=f(x) 的图象是中心对称图形 (C) 若 x 0 是 f(x) 的极小值点 , 则 f(x) 在区间 (-∞,x 0 ) 上单调递减 (D) 若 x 0 是 f(x) 的极值点 , 则 f′(x 0 )=0 C 解析 : 因为函数 f(x) 的值域为 R , 故选项 A 正确 . 假设函数 y=f(x) 的对称中心为 (m,n), 按向量 a =(-m,-n) 将函数的图象平移 , 则所得函数 y=f(x+m)-n 为奇函数 , 因此 f(x+m)+f(-x+m)-2n=0, 代入化简得 (3m+a)x 2 +m 3 +am 2 +bm+c-n=0 对 x∈ R 恒成立 . 3.( 2015 · 全国 Ⅰ 卷 , 文 14 ) 已知函数 f(x)=ax 3 +x+1 的图象在点 (1,f(1)) 处的切线过点 (2,7), 则 a= 　　　 　 .   解析 : 因为 f(x)=ax 3 +x+1, 所以 f′(x)=3ax 2 +1, 所以 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线斜率为 k=3a+1, 又 f(1)=a+2, 所以切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1), 因为点 (2,7) 在切线上 , 所以 7-(a+2)=3a+1, 解得 a=1. 答案 : 1 4.( 2016 · 全国 Ⅲ 卷 , 文 16 ) 已知 f(x) 为偶函数 , 当 x≤0 时 ,f(x)=e -x-1 -x, 则曲线 y=f(x) 在点 (1,2) 处的切线方程是 　　　　 .   解析 : 令 x≥0, 则 -x≤0,f(-x)=e x-1 +x, 又 f(x) 为偶函数 , 所以 x≥0 时 ,f(x)=e x-1 +x, 所以 f(1)=2, f′(x)=e x-1 +1, f′(1)=2, 所求切线方程为 y-2=2(x-1), 即 y=2x. 答案 : y=2x 5.( 2013 · 全国 Ⅰ 卷 , 文 20 ) 已知函数 f(x)=e x (ax+b)-x 2 -4x, 曲线 y=f(x) 在点 (0, f(0)) 处的切线方程为 y=4x+4. (1) 求 a,b 的值 ; (2) 讨论 f(x) 的单调性 , 并求 f(x) 的极大值 . 解 : (1)f′(x)=e x (ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f′(0)=4. 故 b=4,a+b=8, 从而 a=4,b=4. (2) 由 (1) 知 ,f(x)=4e x (x+1)-x 2 -4x. f′(x)=4e x (x+2)-2x-4=4(x+2) ( e x - ) . 令 f′(x)=0 得 ,x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞) 时 ,f′(x)>0; 当 x∈(-2,-ln 2) 时 ,f′(x)<0. 故 f(x) 在 (-∞,-2),(-ln 2,+∞) 上单调递增 , 在 (-2,-ln 2) 上单调递减 . 当 x=-2 时 , 函数 f(x) 取得极大值 , 极大值为 f(-2)=4(1-e -2 ). 高考感悟 1. 考查角度 (1) 导数的几何意义 : 求切线方程或求参数 . (2) 利用导数求函数的单调区间或由单调性求参数范围 . (3) 利用导数求函数的极值、最值或由极值、最值求参数范围 . 2. 题型及难易度 选择题、填空题、解答题、难度中档偏上 . 热点突破 剖典例 · 促迁移 导数的几何意义 热点一 【 例 1】 (1) 曲线 y=x(3ln x+1) 在点 (1,1) 处的切线方程为 　　　　　 ;   解析 : (1) 由 y=x(3ln x+1) 得 y′=3ln x+4, 则所求切线斜率为 4, 则所求切线方程为 y=4x-3. 答案 : (1)y=4x-3 　 (2)( 2016 · 福建 “ 四地六校 ” 联考 ) 已知曲线 f(x)= x 3 -x 2 +ax-1 存在两条斜率为 3 的切线 , 且切点的横坐标都大于零 , 则实数 a 的取值范围为 　　　　 .   【 方法技巧 】 求曲线 y=f(x) 的切线方程的三种类型及方法 . (1) 已知切点 P(x 0 ,y 0 ), 求 y=f(x) 过点 P 的切线方程 . 求出切线的斜率 f′(x 0 ), 由点斜式写出方程 . (2) 已知切线的斜率为 k, 求 y=f(x) 的切线方程 . 设切点 P(x 0 ,y 0 ), 通过方程 k=f′(x 0 ) 解得 x 0 , 再由点斜式写出方程 . (3) 已知切线上一点 ( 非切点 ), 求 y=f(x) 的切线方程 . 设切点 P(x 0 ,y 0 ), 利用导数求得切线斜率 f′(x 0 ), 然后由斜率公式求得切线斜率 , 列方程 ( 组 ) 解得 x 0 , 再由点斜式或两点式写出方程 . (2)( 2016 · 贵阳二模 ) 过点 (-1,0) 作抛物线 y=x 2 +x+1 的切线 , 则其中一条切线为 ( 　　 ) (A)2x+y+2=0 (B)3x-y+3=0 (C)x+y+1=0 (D)x-y+1=0 解析 : (2) 因为 y′=2x+1, 设切点坐标为 (x 0 ,y 0 ), 则切线斜率为 2x 0 +1, 且 y 0 = +x 0 +1, 所以切线方程为 y- -x 0 -1=(2x 0 +1)(x-x 0 ), 又点 (-1,0) 在切线上 , 代入上式可解得 x 0 =0 或 x 0 =-2, 当 x 0 =0 时 ,y 0 =1, 当 x 0 =-2 时 ,y 0 =3. 验证知 D 正确 . 选 D. 利用导数研究函数的单调性 热点二 考向 1 　确定函数的单调性 ( 区间 ) 【 例 2】 ( 2016 · 甘肃河西部分高中联考 ) 已知函数 f(x)= -1. (1) 试判断函数 f(x) 的单调性 ; 解 : (1) 函数 f(x) 的定义域是 (0,+∞), 由已知得 f′(x)= , 令 f′(x)=0 得 x=e, 当 00; 当 x>e 时 ,f′(x)<0; 所以 f(x) 在 (0,e) 上单调递增 , 在 (e,+∞) 上单调递减 . (2) 设 m>0, 求 f(x) 在 [m,2m] 上的最大值 . 考向 2 　由函数的单调性求参数的范围 【 方法技巧 】 (1) 求函数的单调区间的方法 . 确定函数 y=f(x) 的定义域 ; 求导数 y′=f′(x); 解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0, 解集在定义域内的部分为单调区间 . (2) 根据函数 y=f(x) 在 (a,b) 上的单调性 , 求参数范围的方法 . ① 若函数 y=f(x) 在 (a,b) 上单调递增 , 转化为 f′(x)≥0 在 (a,b) 上恒成立求解 . ② 若函数 y=f(x) 在 (a,b) 上单调递减 , 转化为 f′(x)≤0 在 (a,b) 上恒成立求解 . ③ 若函数 y=f(x) 在 (a,b) 上单调 , 转化为 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在 (a,b) 上恒 成立 . ④ 若函数 y=f(x) 在 (a,b) 上不单调 , 转化为 f(x) 在 (a,b) 上有极值点 . 热点训练 2:(1)( 2016 · 福建 “ 四地六校 ” 联考 ) 若函数 f(x)=x+aln x 不是单调函数 , 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) (A)[0,+∞) (B)(-∞,0] (C)(-∞,0) (D)(0,+∞) (2)( 2016 · 广西来宾调研 ) 设函数 f′(x) 是奇函数 f(x)(x∈ R ) 的导函数 ,f(-1) =0, 当 x>0 时 ,xf′(x)-f(x)<0, 则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是 ( 　　 ) (A)(-∞,-1)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(1,+∞) (C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(0,1)∪(1,+∞) 利用导数研究函数的极值、最值 热点三 【 例 4】 ( 2016 · 闽粤部分名校联考 ) 已知函数 f(x)= x 3 - x 2 +cx+d 有极值 . (1) 求 c 的取值范围 ; (2) 若 f(x) 在 x=2 处取得极值 , 且当 x<0 时 ,f(x)< d 2 +2d 恒成立 , 求 d 的取值范围 . 【 方法技巧 】 (1) 若求极值 , 则先求方程 f′(x)=0 的根 , 再检验 f′(x) 在方程根的左右函数值的符号 . (2) 若已知函数 f(x) 的极值大小或存在情况 , 则转化为已知方程 f′(x)=0 的根的大小或存在情况来求解 . (3) 求函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上的最值时 , 在得到极值的基础上 , 结合区间端点的函数值 f(a),f(b) 与 f(x) 的各极值进行比较得到函数的最值 . ② 当 b=-1,c=3 时 ,f′(x)=-(x+3)(x-1),x∈(-3,1) 时 ,f′(x)>0,f(x) 单调递增 ;x∈(1,+∞) 时 ,f′(x)<0,f(x) 单调递减 , 所以 f(x) 在 x=1 处取得极大值 , 符合题意 . 综上所述 ,b=-1,c=3. (2) 设当 x∈ ( ,3 ) 时 , 函数 y=f(x)-c(x+b) 图象上任一点 P 处的切线斜率为 k, 若 k≤2, 求实数 b 的取值范围 . 阅卷评析 抓关键 · 练规范 利用导数研究函数的性质 ( 2016 · 全国 Ⅱ 卷 , 文 20,12 分 ) 已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1) 当 a=4 时 , 求曲线 y=f(x) 在 (1,f(1)) 处的切线方程 ; 评分细则 : 解 : (1) 当 a=4 时 , f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f′(x)=ln x+ -3, …… 1 分 f′(1)=-2, …………………………………………… 2 分 f(1)=0. ………………………………………………… 3 分 所以曲线 y=f(x) 在 (1,f(1)) 处的切线方程为 2x+y-2=0. ………………………………………………………… 4 分 注 : 切线方程不化为一般式的同样得分 . (2) 若当 x∈(1,+∞) 时 ,f(x)>0, 求 a 的取值范围 . ② 当 a>2 时 ,f′(1)=2-a<0, 故存在 x 0 ∈(1,+∞),f′(x 0 )=0, 此时函数 f(x) 在 (1,x 0 ) 上单调递减 , 在 (x 0 ,+∞) 上单调递增 , 又 f(1)=0, 可得存在 x 0 ∈(1,+∞),f(x 0 )<0, 不合题意 . ……………………………………………… 11 分 综上所述 ,a 的取值范围为 (-∞,2]. ……… 12 分 注 :① 最后无总结扣 1 分 . ② 本题不采用二次求导的只要是能求出 a 的范围同样得分 . 【 答题启示 】 1. 求切线问题把握三点 :(1) 切点在切线上 ;(2) 切点在曲线上 ;(3) 导数即斜率 . 2. 解决问题 (2) 的关键是求函数 f(x) 在 (1,+∞) 上的最小值 . 由 f(x) min >0 求 a 的范围 . 而发现 f(1)=0 是解决问题的关键 . 3. 在求解此类问题时注意数形结合思想的应用 . 点击进入 限时训练