2019届二轮复习二次函数与幂函数学案（全国通用） 14页

‎2019届二轮复习 二次函数与幂函数 学案 （全国通用）‎ ‎ ‎ ‎1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；‎ ‎2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．‎ ‎ ‎ ‎1．幂函数 ‎(1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．‎ ‎(2)常见的5种幂函数的图象 ‎(3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ y＝x y＝x－1‎ 定义域 R R R]‎ ‎[0，＋∞)‎ ‎{x|x∈R，且x≠0}‎ 值域 R ‎[0，＋∞)‎ R ‎[0，＋ ∞)‎ ‎{y|y∈R，且y≠0}‎ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 ‎2.二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式：‎ 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．‎ 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在上单调递减；‎ 在上单调递增 在上单调递增；‎ 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 ‎【必会结论】‎ ‎1．一元二次不等式恒成立的条件 ‎(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是 ‎(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是 ‎2．二次函数表达式的三种形式 ‎(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．‎ ‎(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．‎ 高频考点一 幂函数的图象和性质 例1、(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈ )的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)‎ A．－3 B．1 C．2 D．1或2‎ 答案　B 解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．故选B.‎ ‎(2)设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a 答案　B 解析　由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数y＝x0.1，x∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性，知c＜a＜b.学 - ‎ ‎ 【变式探究】(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ ‎(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(－1，2) D. 解析　(1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，‎ 所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.‎ ‎(2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，‎ 且在定义域内为增函数，‎ 所以不等式等价于 解得 即≤m<2.‎ 答案　(1)C　(2)D ‎【方法规律】　(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；‎ ‎(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降．‎ ‎(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．‎ ‎【变式探究】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)‎ ‎(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn 2－3n(n∈ )的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)‎ A．－3 B．1 C．2 D．1或2‎ 高频考点二 求二次函数的解析式 例2、已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．‎ 解　解法一：(利用一般式)‎ 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ 由题意得解得 ‎∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.‎ 解法二：(利用顶点式)‎ 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．‎ ‎∵f(2)＝f(－1)，‎ ‎∴抛物线的对称轴为x＝＝.‎ ‎∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.‎ ‎∴y＝f(x)＝a2＋8.‎ ‎∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，‎ ‎∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.‎ 解法三：(利用两根式)‎ 由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，‎ 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，‎ 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.‎ 又函数有最大值f(x)max＝8，即＝8.‎ 解得a＝－4或a＝0(舍)．‎ ‎∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.‎ ‎【方法技巧】确定二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：‎ ‎【变式探究】　已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．‎ 解　解法一：(一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 则⇒∴f(x)＝－x2＋2x.‎ 高频考点三　二次函数的图象与性质 命题角度1　二次函数的单调性 学 ]‎ 例3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．‎ ‎(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；‎ ‎(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．‎ 解　(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.‎ ‎(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，‎ ‎∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－4,6]，‎ 且f(x)＝ ‎∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，‎ 单调递减区间是[－4,0]．‎ 命题角度2　二次函数的最值 例　2、已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 命题角度3　二次函数中恒成立问题 例3、设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为 ．‎ 答案　 解析　由f(x)＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈(1,4)，得a＞－＋在(1,4)上恒成立．‎ 令g(x)＝－＋＝－22＋，‎ ∈，所以g(x)max＝g(2)＝，‎ 所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立，只要a＞即可．‎ ‎【方法技巧】二次函数的最值及恒成立问题 ‎(1)解决二次函数最值问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．‎ ‎(2)解决二次函数恒成立问题有两个解题思路：一是分离参数，思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；二是不分离参数，对参数进行分类讨论．‎ 高频考点四　二次函数的应用 ‎ 例4、 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　)‎ A．0 B． m C．2m D．4m 解析　由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x＝1对称．‎ 不妨设x10时，f(x)＝ax2－2x图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.‎ ‎①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在[0，]上递减，在[，1]上递增．‎ ‎∴f(x)min＝f()＝－＝－.‎ ‎②当>1，即01时，如图3所示．‎ 当x＝1时，y有最大值．‎ ymax＝f(1)＝2a－a＝2.‎ ‎∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.‎ 综上可知，a的值为－1或2.‎ ‎【方法技巧】二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动.此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论.‎ ‎【举一反三】设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．‎ 解　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.‎ 当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；‎ 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；‎ 当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.‎ 综上可知，f(x)min＝ ‎1．[2017·浙江高考]若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)‎ A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 答案　B ‎1.【2016高考新课标3理数】已知，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，，所以，故选A．‎ ‎1．（2014·全国卷）若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间是减函数，则a的取值范围是 ．‎ ‎【答案】(－∞，2]　‎ ‎【解析】f(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1，令sin x＝t，则f(x)＝－2t2＋at＋1.因为x∈，所以t∈，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈.因为f(x)＝cos 2x＋asin x在区间是减函数，所以f(x)＝－2t2＋at＋1在区间上是减函数，又对称轴为x＝，∴≤，所以a∈(－∞，2]．‎ ‎2．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是(　　) ]‎ ‎　 　　A　　　　　　　　　　　　B ‎　 　　C　　　　　　　　　　　　D ‎【答案】D　‎ ‎【解析】只有选项D符合，此时00，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝>0，且在区间0，上y<0，此时f(x)＝|ax2－x|在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．‎ ‎4．（2013·湖南卷）函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为(　　)‎ A．3 B．‎2 C．1 D．0‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】法一：作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：‎ 可知，其交点个数为2，选B.‎ 法二：也可以采用数值法：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ f(x)＝2ln x ‎0‎ ‎2ln 2＝ln 4>1‎ ln 42<5‎ g(x)＝x2－4x＋5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ 可知它们有2个交点，选B.‎ ‎5．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)‎ A．x0∈R，f(x0)＝0‎ B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0‎ ‎【答案】C　‎ ‎6．（2013·北京卷）函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)‎ A．ex＋1 B．ex－‎1 C．e－x＋1 D．e－x－1‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x－1)的图像，又y＝ex的图像关于y轴对称的图像的解析式为y＝e－x，所以f(x－1)＝e－x，所以f(x)＝e－x－1.‎ ‎ ‎