【数学】2018届一轮复习北师大版　柯西不等式与排序不等式学案 8页

第3讲　柯西不等式与排序不等式 ‎[学生用书P252])‎ ‎1．二维形式的柯西不等式 ‎(1)定理1(二维形式的柯西不等式)‎ 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．‎ ‎(2)(二维变式)·≥|ac＋bd|，·≥|ac|＋|bd|．‎ ‎(3)定理2(柯西不等式的向量形式)‎ 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．‎ ‎(4)定理3(二维形式的三角不等式)‎ 设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥．‎ ‎(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥．‎ ‎2．柯西不等式的一般形式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．‎ ‎3．排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．‎ 排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．‎ ‎　柯西不等式的证明[学生用书P253]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　若a，b，c，d都是实数，求证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．‎ ‎【证明】　因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2‎ ‎＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd ‎＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，‎ 当且仅当ad＝bc时，等号成立．‎ 即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，‎ 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，‎ 当且仅当ad＝bc时，等号成立．‎ 设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．‎ ‎[证明] 如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.‎ 根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ，‎ 所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.‎ 因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.‎ 如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．‎ 柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．‎ 如下：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则 ＋≥ . ‎ 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．‎ 由|CA|＋|CB|≥|BA|与两点间的距离公式得＋≥.‎ 当且仅当点C位于线段BA上时取等号．‎ ‎　设a1，a2，b1，b2为实数，求证：＋≥.‎ ‎[证明] (＋)2‎ ‎＝a＋a＋2＋b＋b ‎≥a＋a＋2|a1b1＋a2b2|＋b＋b ‎≥a＋a－2(a1b1＋a2b2)＋b＋b ‎＝(a－2a1b1＋b)＋(a－2a2b2＋b)‎ ‎＝(a1－b1)2＋(a2－b2)2，‎ 所以＋≥ .‎ ‎　利用柯西不等式求最值[学生用书P253]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知正实数u，v，w满足u2＋v2＋w2＝8，求＋＋的最小值．‎ ‎【解】　因为u2＋v2＋w2＝8.‎ 所以82＝(u2＋v2＋w2)2＝ ‎≤(9＋16＋25)，‎ 所以＋＋≥＝.‎ 当且仅当÷3＝÷4＝÷5，即u＝，v＝，w＝2时取到“＝”，所以当u＝，v＝，w＝2时＋＋的最小值为.‎ 利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a＋a＋…＋a)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设x，y，z∈R，2x－y－2z＝6，试求x2＋y2＋z2的最小值．‎ ‎[解] 考虑以下两组向量 u＝(2，－1，－2)，v＝(x，y，z)，‎ 根据柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2，‎ 得[2x＋(－1)y＋(－2)z]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2](x2＋y2＋z2)，‎ 即(2x－y－2z)2≤9(x2＋y2＋z2)，‎ 将2x－y－2z＝6代入其中，‎ 得36≤9(x2＋y2＋z2)，‎ 即x2＋y2＋z2≥4，‎ 故x2＋y2＋z2的最小值为4.‎ ‎2．设x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝25，试求x－2y＋2z的最大值与最小值．‎ ‎[解] 根据柯西不等式，有(1·x－2·y＋2·z)2≤[12＋(－2)2＋22](x2＋y2＋z2)，‎ 即(x－2y＋2z)2≤9×25，‎ 所以－15≤x－2y＋2z≤15，‎ 故x－2y＋2z的最大值为15，最小值为－15.‎ ‎　利用柯西不等式证明不等式[学生用书P254]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥.‎ ‎【证明】　＋＋ ‎＝(12＋12＋12) ‎≥ ‎＝ ‎＝ ‎≥×(1＋9)2＝，‎ 当且仅当a＝b＝c时等号成立，所以所求证的不等式成立．‎ 利用柯西不等式证明的关键是恰当构造变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．注意等号成立的条件．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知a，b为正数，求证＋≥.‎ ‎[证明] 因为a>0，b>0，所以由柯西不等式，‎ 得(a＋b) ‎＝[()2＋()2]· ‎≥＝9，当且仅当a＝b时取等号，所以＋≥.‎ ‎2．设a，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≥.‎ ‎[证明] 因为(12＋12) ‎≥ ‎＝ ‎＝≥25，当且仅当a＝b＝时取等号，‎ 所以＋≥.‎ ‎　利用排序不等式求最值[学生用书P255]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　设a，b，c为任意正数，求＋＋的最小值．‎ ‎【证明】　不妨设a≥b≥c，‎ 则a＋b≥a＋c≥b＋c，≥≥，‎ 由排序不等式得，‎ ＋＋≥＋＋，‎ ＋＋≥＋＋，‎ 上述两式相加得：2≥3，‎ 即＋＋≥.‎ 当且仅当a＝b＝c时，‎ ＋＋取最小值.‎ 求最小(大)值时，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当的一个或两个乱序和，从而求出其最小(大)值．　 ‎ ‎　设0>…>，‎ 且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.‎ 利用排序不等式，有 ＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.‎ 故原不等式成立．‎ ‎3．已知大于1的正数x，y，z满足x＋y＋z＝3.求证：＋＋≥.‎ ‎[证明] 由柯西不等式及题意得，‎ ·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27.‎ 又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝18，‎ 所以＋＋≥＝，‎ 当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．‎ ‎4．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，求x＋y＋z的值．‎ ‎[解] 由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，‎ 即(x＋2y＋3z)2≤14，‎ 因此x＋2y＋3z≤.‎ 因为x＋2y＋3z＝，‎ 所以x＝＝，‎ 解得x＝，y＝，z＝，‎ 于是x＋y＋z＝.‎ ‎5．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．‎ ‎[解] 由柯西不等式得 ‎(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，‎ 所以9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.‎ 因为2a＋2b＋c＝8，‎ 所以(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，‎ 当且仅当＝＝c－3时等号成立，‎ 所以(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.‎ ‎6．已知x，y，z均为实数．‎ ‎(1)若x＋y＋z＝1，求证：＋＋≤3；‎ ‎(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．‎ ‎[解] (1)证明：因为(＋＋)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27.‎ 所以＋＋≤3.‎ 当且仅当x＝，y＝，z＝0时取等号．‎ ‎(2)因为6＝x＋2y＋3z≤·，‎ 所以x2＋y2＋z2≥，‎ 当且仅当x＝＝即x＝，y＝，z＝时，x2＋y2＋z2有最小值.‎