【数学】2018届一轮复习人教A版9-4直线与圆圆与圆的位置关系学案 13页

‎§9.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 考纲展示►　‎ ‎1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．‎ ‎2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．‎ ‎3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．‎ 考点1　直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 ‎(1)三种位置关系：________、________、________.‎ ‎(2)两种研究方法：‎ ‎(3)圆的切线方程常用结论：‎ ‎①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.‎ ‎②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.‎ ‎③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.‎ 答案：(1)相交　相切　相离 ‎(2)①相交　相切　相离　②相交　2 相切　相离 ‎(1)[教材习题改编]圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交过圆心 D．相离 答案：B 解析：由题意知，圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．‎ ‎(2)[教材习题改编]圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．‎ 答案：x－y＋2＝0‎ 解析： 圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上．‎ 易知切线的斜率存在，设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，‎ ‎∴＝2，解得k＝，‎ ‎∴切线方程为y－＝(x－1)，‎ 即x－y＋2＝0.‎ 圆的切线：注意切线的条数．‎ 过点(2,3)作圆x2＋y2＝4的切线，则切线方程为________．‎ 答案：5x－12y＋26＝0或x－2＝0‎ 解析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x－2＝0.‎ 当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，‎ 即kx－y＋3－2k＝0，‎ 由圆心到切线的距离等于半径得＝2，‎ 解得k＝，‎ 所以切线方程为y－3＝(x－2)，‎ 即5x－12y＋26＝0.‎ 综上可知，切线方程为5x－12y＋26＝0或x－2＝0.‎ ‎[典题1]　(1)[2017·湖北七市联考]将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 ‎[答案]　B ‎[解析]　依题意得，直线l的方程是y＝tan 150°(x－1)，即x＋y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝＝2，因此该直线与圆相切．‎ ‎(2)[2017·陕西西安一模]直线(a＋1)x＋(a－1)y＋‎2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎[答案]　B ‎[解析]　解法一：x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，‎ 故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，‎ 圆心到直线的距离d＝＝ .‎ 再根据r2－d2＝9－＝，‎ 而‎7a2－‎4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，‎ 故有r2＞d2，即d＜r，故直线与圆相交．‎ 解法二：由(a＋1)x＋(a－1)y＋‎2a＝0(a∈R)，‎ 整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，‎ 则由解得 即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋‎2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，‎ 则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋‎2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．‎ ‎(3)已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.‎ ‎①求证：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；‎ ‎②求直线l被圆C截得的最短弦长．‎ 解法一：①[证明]　由 消去y，得 ‎(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，‎ 因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，‎ 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．‎ ‎②[解]　设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，‎ 则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝2＝2 ，‎ 令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，‎ 当t＝0时，k＝－；‎ 当t≠0时，因为k∈R，‎ 所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，‎ 解得－1≤t≤4，且t≠0，‎ 故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.‎ 则直线l被圆C截得的最短弦长为2.‎ 解法二：①[证明]　因为不论k为何实数，直线l总过点P(0,1)，而|PC|＝<2＝r，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．‎ ‎②[解]　由平面几何知识知，过圆内定点P(0,1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，‎ 而此时点P(0,1)为弦AB的中点，‎ 由勾股定理知，|AB|＝2＝2，‎ 即直线l被圆C截得的最短弦长为2.‎ ‎[点石成金]　判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．‎ 考点2　切线、弦长问题 ‎[教材习题改编]过点P(1,0)的直线l被圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1截得的弦长为，则直线l的斜率为________．‎ 答案：1或－1‎ 解析：点P(1,0)在圆O上，而圆O的半径为1，由图(图略)可知直线l的斜率为1或－1.‎ ‎1.圆的弦长问题：几何法．‎ 直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于________．‎ 答案：2 解析：由题意可知，圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为＝1，‎ 则|AB|＝2＝2.‎ ‎2．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法．‎ 过点P(－1,0)作圆(x－1)2＋y2＝1的切线，则切线方程是________．‎ 答案：y＝±(x＋1)‎ 解析：作出图形(图略)，可知过点P(－1,0)的圆的切线的倾斜角为30°或150°，‎ 所以切线方程为y＝±(x＋1).‎ ‎[典题2]　(1)已知圆C过点(－1,0)，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线l：y＝x＋1被该圆所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l平行的直线方程为________．‎ ‎[答案]　x－y＋3＝0‎ ‎[解析]　设圆心为(a,0)(a＜0)，则圆的半径 r＝|a＋1|，‎ 圆心(a,0)到y＝x＋1的距离为，‎ 由截得的弦长为2，得|a＋1|2＝2＋2，解得a＝－3，‎ 所以过圆心且与 l 平行的直线为 y－0＝x＋3，即x－y＋3＝0.‎ ‎(2)已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.‎ ‎①求过点P的圆C的切线方程；‎ ‎②求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．‎ ‎[解]　由题意，得圆心C(1,2)，半径r＝2.‎ ‎①∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，‎ ‎∴点P在圆C上．‎ 又kPC＝＝－1，‎ ‎∴切线的斜率k＝－＝1.‎ ‎∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.‎ ‎②∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，‎ ‎∴点M在圆C外部．‎ 当过点M的直线斜率不存在时，‎ 直线方程为x＝3，即x－3＝0.‎ 又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，‎ 即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．‎ 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，‎ 则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.‎ ‎∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.‎ 综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.‎ ‎∵|MC|＝＝ ，‎ ‎∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.‎ ‎[点石成金]　1.圆的切线方程的两种求法 ‎(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.‎ ‎(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.‎ ‎[提醒]　若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过点M的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.‎ ‎2．弦长的两种求法 ‎(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．‎ ‎(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.‎ ‎[提醒]　代数法计算量较大，我们一般选用几何法.‎ ‎1.[2017·重庆调研]过点(－2,3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为(　　)‎ A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0‎ C．x－y－5＝0 D．2x＋y＋1＝0‎ 答案：A 解析：由题意，得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．‎ 过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝＝－1.‎ 当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，‎ 所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.‎ ‎2．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．‎ 答案：4‎ 解析：将圆的方程化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径为.‎ 由题意可设切线方程为y＝kx，则圆心(3,4)到直线y＝kx的距离等于半径，‎ 即＝，解得k＝或k＝，‎ 则切线方程为y＝x或y＝x.‎ 联立切线方程与圆的方程，解得两切点P，Q的坐标分别为(4,2)，，由两点间的距离公式得|PQ|＝4.‎ 考点3　圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).‎ ‎　　　　方法 　　　‎ 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 ‎________________‎ ‎________________‎ 外切 ‎________________‎ ‎________________‎ 相交 ‎________________‎ ‎________________‎ 内切 ‎____________‎ ‎____________‎ 内含 ‎____________‎ ‎____________‎ 答案：d>r1＋r2　无解　d＝r1＋r2　一组实数解　|r1－r2|0)相切，则a＝________.‎ 答案：或 解析：两圆的圆心距为a，半径分别为r1＝1，r2＝2.‎ 当两圆内切时， a＝2－1＝1，得a＝；‎ 当两圆外切时， a＝2＋1＝3，得a＝.‎ ‎[典题3]　已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(　　)‎ A. B. C. D．2 ‎[答案]　C ‎[解析]　由圆C1与圆C2相外切，可得 ＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本(均值)不等式可知，ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立．故选C.‎ ‎ [题点发散1]　把本例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．‎ 解：由C1与C2内切，得 ＝1.‎ 即(a＋b)2＝1，又ab≤2＝，‎ 当且仅当a＝b时等号成立，‎ 故ab的最大值为.‎ ‎[题点发散2]　把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．‎ 解：由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．‎ 圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①‎ 圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②‎ 由②－①，得(‎2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，‎ 即(‎2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程．‎ ‎[题点发散3]　将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系．‎ 解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离，‎ 故>3.‎ ‎∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3.‎ ‎∴圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝>1，‎ ‎∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．‎ ‎[点石成金]　1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．‎ ‎2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.‎ ‎1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 答案：B 解析：两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.‎ ‎∵3－2