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- 2021-06-24 发布
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不等式选讲
【2019年高考考纲解读】
本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．
【重点、难点剖析】
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0)⇔－a0，b>0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．
7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.
【题型示例】
题型一 含绝对值不等式的解法
【例1】（2018年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲]
设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）,(2)
【解析】（1）当时，
可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
【变式探究】已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
【解析】(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，
得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当20.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为
.
(2)由题设可得，
f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
题型二 不等式的证明
【例2】已知函数f(x)＝|x－1|＋.
(1)解不等式f(x)≤x＋1；
(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝c，求证：＋≥1.
(2)证明 由绝对值不等式的性质，
得|x－1|＋≥＝2，
当且仅当(x－1)(x－3)≤0，即1≤x≤3时，等号成立，
∴c＝2，即a＋b＝2.
令a＋1＝m，b＋1＝n，则m>1，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，
＋＝＋＝m＋n＋＋－4＝≥＝1，
当且仅当m＝n＝2时，等号成立，∴原不等式得证．
【感悟提升】(1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．
(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．
【变式探究】已知函数f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|，M为不等式f(x)<6的解集．
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，求证：|ab＋1|>|a＋b|.
(1)解 f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|<6.
当x<－时，f(x)＝－3x－1－3x＋1＝－6x，
由－6x<6，解得x>－1，∴－1时，f(x)＝3x＋1＋3x－1＝6x，
由6x<6，解得x<1，∴0，
∴>|a＋b|.
【变式探究】【2017课标II，理23】已知。证明：
（1）；
（2）。
(2)若f(x)≤2x的解集包含，求a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时，不等式f(x)≥2可化为|x＋1|＋|2x－1|≥2，
①当x≥时，不等式为3x≥2，解得x≥，故x≥；
②当－1≤x＜时，不等式为2－x≥2，解得x≤0，
故－1≤x≤0；
③当x<－1时，不等式为－3x≥2，
解得x≤－，
故x＜－1.
综上，原不等式的解集为.
(2)f(x)≤2x的解集包含，
不等式可化为|x＋a|≤1，
解得－a－1≤x≤－a＋1，
由已知得
解得－≤a≤0，
所以a的取值范围是.
【变式探究】已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．
【规律方法】解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值．
【变式探究】 已知非负实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＋x＋2y＋3z＝，求x＋y＋z的最大值．
【解析】条件可化为2＋(y＋1)2＋2＝，
则2≤3
＝，
从而x＋y＋z≤，当且仅当x＋＝y＋1＝z＋＝时，等号成立．所以，当x＝1，y＝，z＝0时，x＋y＋z取得最大值.
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