2018届二轮复习三角函数及解三角形教案（全国通用） 9页

春季课程: 三角函数及解三角形 适用学科 高中数学 适用年级 高中三年级 适用区域 通用 课时时长（分钟）‎ ‎120‎ 知识点 三角函数基本概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数图像和性质、两角和与差的计算及二倍角公式以及三角函数的实际应用,正余弦定理等 教学目标 掌握三角函数的性质、化简求值、图像变换、恒等变换 重视解三角形，特别是实际应用问题 重视与其他知识的综合，如平面向量等.‎ 教学重点 三角函数的性质、化简求值、图像变换、恒等变换；‎ 教学难点 三角函数与其他知识的综合，如平面向量.简答题重视解三角形，特别是实际应用问题.‎ 教学过程 一、考纲解读 在复习该部分内容时要有整体意识，抓住角的变换主线解决相关问题，其中三角函数的图形和性质是核心内容，相对于其它模块而言，三角函数的考查的点分散得比较细，这也要引起重视，复习一定要全面，常见的思想方法有化归转化，数形结合等.‎ 三角函数模块在高考试卷中通常有1大1小两个问题，总分值在25分左右，小题难度中等，大题属简单题，无论是全国卷还是省市卷大都放在第一个解答题位置，是考生得分的关键点之一.‎ ‎（1）任意角的概念、弧度制 ‎（2）三角函数 ‎① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.‎ ‎② 能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性.‎ ‎③ 理解正弦函数、余弦函数在区间的性质（如单调性、最大和最小值以及与轴交点等）.理解正切函数在区间的单调性.‎ ‎④ 理解同角三角函数的基本关系式：‎ ‎⑤ 了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响.‎ ‎⑥ 会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.‎ ‎（3）两角和与差的三角函数公式 ‎① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.‎ ‎② 会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.‎ ‎③ 会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.‎ ‎（4）简单的三角恒等变换 ‎　　能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.‎ ‎（5）正弦定理和余弦定理 ‎　　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ ‎ (6) 应用 ‎　　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.‎ 二、复习预习 复习相关概念:三角函数基本概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数图像和性质、两角和与差的计算及二倍角公式以及三角函数的实际应用,正余弦定理等.‎ 在复习该部分内容时要有整体意识，抓住角的变换主线解决相关问题，其中三角函数的图形和性质是核心内容，相对于其它模块而言，三角函数的考查的点分散得比较细，这也要引起重视，复习一定要全面，常见的思想方法有化归转化，数形结合等.‎ 三、知识讲解 考点1 三角函数的定义及性质 ‎（1）任意角的概念、弧度制.扇形相关内容,如弧长,面积,圆锥侧面等 ‎（2）三角函数 ‎①任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.‎ ‎②正弦、余弦、正切的诱导公式， 的图像，三角函数的周期性.‎ ‎③正弦函数、余弦函数在区间的性质（如单调性、最大和最小值以及与轴交点等）.正切函数在区间的单调性.‎ ‎④ 理解同角三角函数的基本关系式：‎ ‎⑤ 了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响.‎ ‎⑥ 会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.‎ 考点2 三角恒等变形 ‎ ‎（1）两角和与差的三角函数公式 ‎① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.‎ ‎② 会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.‎ ‎③ 会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.‎ ‎（2）简单的三角恒等变换 ‎　　能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.‎ 考点3 解三角形 ‎(1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ ‎(2) 应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.‎ 四、例题精析 例1 [2014全国1卷]设，，且，则 ( )‎ ‎. . . .‎ ‎【规范解答】解法1.选B（演绎推理）‎ ‎∵，∴‎ ‎，‎ ‎∴，即 解法2.选B（特殊角）‎ 取代入，可得，所以，通过四个选项验证，只有选项B符合。‎ ‎【总结与反思】　（1）本题三角函数中的恒等变换应用和切割化弦的技巧.‎ ‎（2）解法1采用了化弦为切，主要从复杂化简单的思维模式出发的，但三角变换是基本的方向和方法，在确定角的关系式正弦函数的单调性起了关键作用。解法2根据题意提供的范围选择适当的特殊角来验证，达到事半功倍的作用。‎ ‎（3）夯实三角变换的基本功一直是学习的重点，而不是一味的记忆一些结论，在求值、化简、恒等式证明中,切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。‎ 例2 [2014全国1卷]如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为 ( )‎ ‎【规范解答】解法1.选B（图象法）如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则 PM=，OM=,在中，MD=，∴，‎ 其周期为，最大值为，最小值为 解法2.选B（特值排除法）在角运动的过程中，当角的终边落在坐标轴上时，即时，则MD的长度为0，排除A、D两个选项，当角的终边不落在坐标轴上时，MD处于中，它的长度不可能等于1，排除C选项，所以选B ‎【总结与反思】　（1）本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用，是一道基础题。‎ ‎（2）解法1解题思路：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择。解法2通过几个端点值来分析，结合选项作出排除，选出正确选项。‎ 例3[2014全国大纲版]若函数在区间是减函数，则a的取值范围是_________‎ ‎【规范解答】‎ ‎【总结与反思】　(1)本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数的图像性质及导数性质。‎ ‎(2)本题亦可以采用换元为二次函数,利用复合函数单调性进行解答.‎ ‎(3)三角函数的图象与性质的考查难度仍以中、低档题为主，有时也以小而活的选择题和填空题的形式出现，重在基础知识的考查，淡化特殊技巧，讲究通性通法。‎ 例4[2014广东]在中，角所对应的边分别为，已知，则 ．‎ ‎【规范解答】解法1：由射影定理得 ，结合题意有．‎ 解法2：由正弦定理得即，‎ ‎ ，即．‎ 解法3：由余弦定理得，化简得 ‎【总结与反思】　本题综合考查三角恒等变形以及余弦或正弦定理的应用．考查转化与化归思想的应用,在三角函数综合问题中,边角转化是重点考察的内容.要予以重视 ‎ ‎ 例5[2014安徽]若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称， 则的最小正值是___.‎ ‎【规范解答】填 为偶函数， 取得 ‎【总结与反思】　此题以三角函数图象的平移变换知识为背景，考察数形结合思想的运用意识.为容易题.‎ 例6[2014全国2卷]设函数f（x）＝sin．若存在f（x）的极值点x0满足x02＋［f（x0）］2＜m2，则m的取值范围是（ ）‎ ‎ A．（－∞，－6）∪（6，＋∞） B．（－∞，－4）∪（4，＋∞） ‎ C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－∞，－1）∪（4，＋∞）‎ ‎【规范解答】∵ f（x）＝sin的极值为±，即［f（x0）］2＝3，│x0│≤‎ ‎∴ x02＋［f（x0）］2≥＋3，∴ ＋3＜m2，解得│m│＞2，故选C ‎【总结与反思】　考查三角函数的最值,函数极值,导数的应用,逻辑量词,不等式的解法等知识点.是一道综合性强,难度大的问题.这类问题 例7[2014大纲版]△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，求B。‎ ‎【规范解答】由题设和正弦定理得： 3sinAcosC=2sinCcosA,故 3tanAcosC=2sinC ‎ 因为 ,所以cosC=2sinC, ‎ 所以 tanB=tan[1800-(A-C)] =-tan(A+C)‎ ‎ ‎ 即B=1350‎ ‎【总结与反思】　这道试题从整体上看保持了往年的解题形式，依然是通过边角的转换，结合三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理和正切定理来求解三角形中的角的问题，通过三角函数关系的化简得到角A、C的正切函数值，然后通过正切的两角和与差求出角B的正切函数值求出来．‎ 例8在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：‎ ‎（1）a和c的值；‎ ‎（2）的值.‎ ‎【规范解答】解法1‎ （1） ‎，，，即①，‎ 由余弦定理可得，化简整理得②，‎ ‎①②联立，解得，a=3，c=2；‎ （2） ‎，‎ 因为a=3，，c=2，由余弦定理可得，‎ ‎，‎ ‎.‎ 解法2‎ （2） 在△ABC中，，‎ 根据正弦定理可得，‎ ‎，为锐角，，‎ ‎.‎ ‎【总结与反思】　（1）本题涉及到向量积定义、余弦定理、三角函数平方和关系公式等不下3个基本知识点；与前几年的三角函数题目难度基本持平；‎ ‎（2）解法1：（1）解法涉及到3个步骤：求ac的值，求的值，联立解得a，c得结果；（2）分别求、、、的值，代入得结果.‎ 解法2中第（2）与解法1中第（2）问中的不同在于解法1使用余弦定理，解法2使用了正弦定理.‎ （3） 可涉及到方程的思想，考查了运算求解能力；‎ 例9[2014北京]函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）写出的最小正周期及图中、的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【规范解答】⑴ 的最小正周期为，．‎ ‎⑵ 因为，所以．‎ 于是当，即时，取得最大值0；‎ 当，即时，取得最小值．‎ ‎【总结与反思】　（1）根据图形可以看出该三角函数的周期，再结合最值从而求出、的值；（2）把作为一个整体，结合定义域，求出其最大与最小值. ‎ ‎(2)本题主要考查三角函数的图像与性质，求三角函数的周期，点调性，特殊点，最值等基本知识，考查学生数形结合，转化与化归的数学思想.‎ 例10已知函数.‎ （1） 若，且，求的值；‎ （2） 求函数的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎【规范解答】方法一：(1)因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.‎ 所以＝×（+）－＝.‎ (2) 因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ 所以T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为.‎ 方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos 2x＝sin。‎ ‎(1)因为0<α<，sinα＝，所以α＝，从而f(α)＝sin＝sin＝.‎ ‎(2) T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为.‎ ‎【总结与反思】　本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式以及三角函数的图象与性质等基础知识，考查运用求解能力，考查化归与转化思想.‎ 课程小结 ‎1. 三角函数模块在高考试卷中通常有1大1小两个问题，总分值在25分左右，小题难度中等，大题属简单题，无论是全国卷还是省市卷大都放在第一个解答题位置，是考生得分的关键点之一.‎ ‎2.解答题第一题一般都是三角函数问题，涉及到的三角函数图形与性质，正弦定理，余弦定理、向量等相关知识点，‎ 内容稳定、形式稳定、位置稳定，难度稳定，均为中档题．‎ ‎3.在复习该部分内容时要有整体意识，抓住角的变换主线解决相关问题，其中三角函数的图形和性质是核心内容，相对于其它模块而言，三角函数的考查的点分散得比较细，这也要引起重视，复习一定要全面，常见的思想方法有化归转化，数形结合等.‎